第二章實數(shù)

1認(rèn)識實數(shù)（第1課時）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第二章“實數(shù)”的第一節(jié)第1課時。從整體

課程內(nèi)容看，屬于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，課標(biāo)內(nèi)

容要求為：了解無理數(shù)和實數(shù)，知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一

一對應(yīng)。能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，能比較實數(shù)的大小。會求實數(shù)的相反數(shù)和絕對值。能用

有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。

本節(jié)內(nèi)容分2個課時，實數(shù)是繼有理數(shù)之后，在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的數(shù)系的又一次擴(kuò)充。引

入無理數(shù)后，有理數(shù)的運算法則和運算規(guī)律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。相關(guān)學(xué)習(xí)活動涉及類比

學(xué)習(xí)及歸納椎理，為后續(xù)高中階段學(xué)習(xí)從實數(shù)向復(fù)數(shù)的數(shù)系擴(kuò)展再次積累活動經(jīng)驗。第I

課時讓學(xué)生感悟數(shù)系的擴(kuò)充，辯證認(rèn)識無理數(shù)的存在，初步建立無理數(shù)的印象，結(jié)合勾股定

理，會根據(jù)要求畫線段；借助計算器感受無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，會判斷一個數(shù)是不是有

理數(shù)。第2課時主要是讓學(xué)生知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，并能對實數(shù)按要求進(jìn)行不同

的分類，同時了解實數(shù)范圍內(nèi)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義，讓學(xué)生在動手操作中明確實數(shù)

和數(shù)軸上的點是-一對應(yīng)的，結(jié)合勾股定理知識，在數(shù)地上確定無理數(shù)的位置。

本節(jié)課是第1課時，學(xué)生將在具體的實例中，通過操作、估算、分析等活動，感受無理

數(shù)的客觀存在性和引入的必要性，并能判斷一個數(shù)是不是有理數(shù)。

二、學(xué)生起點分析

學(xué)生知識技能基礎(chǔ)：數(shù)系隨著現(xiàn)實生活及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求不斷擴(kuò)充，這體現(xiàn)了新數(shù)產(chǎn)生

的必要性。代數(shù)運算的核心是研究數(shù)的性質(zhì)、運算法則及運算律，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過一次數(shù)系

擴(kuò)充，即七年級在引入負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，將數(shù)的研究范圍擴(kuò)充到有理數(shù)。利用數(shù)軸探究有理數(shù)

的運算法則中體現(xiàn)的分類討論、從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想為實數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基

礎(chǔ)。在前一章“勾股定理”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握勾股數(shù)的概念，但在探究過程中發(fā)現(xiàn),

并不是所有的直角三角形的邊長都是勾股數(shù)，甚至有些直角三角形的邊長連有理數(shù)都不是。

這為引入“新數(shù)”奠定了必要性，同時，勾股定理的學(xué)習(xí)也為學(xué)生提供了數(shù)形結(jié)合的思考方

法。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些拼圖操作、網(wǎng)格畫

線段和借助計算器估算的活動，也具備與同學(xué)合作交流的經(jīng)驗。在負(fù)數(shù)的引入、意義及有理

數(shù)加法的學(xué)習(xí)中，充分結(jié)合生活實際，在理解意義的基砒上獲取新知；在經(jīng)歷“觀察、比較、

分析、歸納”的合作交流過程中，積累了用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維分析問題、

用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)和解決問題的經(jīng)驗。尤其是第?章用等稅法說明勾股定理，解決了一些簡

單的現(xiàn)實問題，感受到了數(shù)系擴(kuò)充的必要性和作用，獲得了認(rèn)識實數(shù)所必需的一些數(shù)學(xué)活動

經(jīng)驗。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.在有理數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖形判斷止方形的邊長是不是有理數(shù)，感受客觀世界中

無理數(shù)的存在；能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。

2.通過拼圖活動，感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。同時，

借助計算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并利用計算器估算，培養(yǎng)估算能力，發(fā)展抽象概

拈能力，并從中體會無限遢近的思想。

3.滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般的思想，培養(yǎng)代數(shù)推理能力。

4.在拼圖和網(wǎng)格紙中作出無理數(shù)表示線段長度的過程中，發(fā)展分析問題和解決問題的能

力，積累從圖形的特征思考數(shù)學(xué)問題的思維經(jīng)驗。

教學(xué)重點：對數(shù)系擴(kuò)充合理性的理解,意識到確實存在某些數(shù)，既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，

它們具有無限不循環(huán)的特征。

教學(xué)難點：認(rèn)識到無理數(shù)既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)。

四、教學(xué)過程設(shè)計

【第一環(huán)節(jié)】回顧置疑

L活動內(nèi)容

思考：（1）一個整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？

（2）一個分?jǐn)?shù)的平方一定是分?jǐn)?shù)嗎？

2.活動目的

進(jìn)行必要的知識回顧，為第二環(huán)節(jié)埋下伏筆，便于后續(xù)問題的說理。

【第二環(huán)節(jié)】課題引入

L活動內(nèi)容

圖1中是兩個邊長為1的小正方形，剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個大的正方形。設(shè)大

正方形的邊長為〃，。滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？（要求：不允許有多余部分，

所得的正方形不允許有空缺）

圖I

嘗試-思考

（1）如圖2,以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面枳是多少？

（2）設(shè)該正方形的邊長為從人滿足什么條件？它是我們學(xué)過的數(shù)嗎？

圖2

2.活動目的

通過動手操作，初步感知客觀存在的“無理數(shù)”實例，讓學(xué)生深刻感受“數(shù)不夠用了”。

3.注意事項

無理數(shù)的學(xué)習(xí)標(biāo)志著學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)從有理數(shù)范疇拓展到實數(shù)范疇，是一次重要的數(shù)系

擴(kuò)充。由于學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是從現(xiàn)實生活需求出發(fā)的，遵循“自然數(shù)一整數(shù)一有理數(shù)一實數(shù)”

的脈絡(luò)不斷拓展和豐富。學(xué)生對有理數(shù)的認(rèn)識是具象可感的，是可以“數(shù)出來”“量出來”

的，但無理數(shù)是抽象的“想出來”的。以學(xué)生現(xiàn)有經(jīng)驗的有限性去認(rèn)識無理數(shù)概念的“無限

性”，存在理解上的I困難，因此，對無理數(shù)的認(rèn)識要從現(xiàn)實需求出發(fā)，讓學(xué)生直觀感知其客

觀存在性，讓學(xué)生在實驗操作中引發(fā)思考，通過思考感知問題中的a,b確實存在，但不是

有理數(shù)。

【第三環(huán)節(jié)】新知釋疑

1.活動內(nèi)容

思考?交流

面積為2的正方形的邊長4究竟是多少呢？

（1）如圖3,三個正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由。

?I%X,

圖3

（2）邊長。的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分佗呢？千分位呢？……借助計算器進(jìn)

行探索。

（3）小明將他的探索過程整理如下：

邊長。面積S

l<a<2\<S<4

1.4y<1.5196Vs<2.25

1.41<?<1.421.9881<5<2.0164

I.4I4<O<1.4I51.9993%<S<2.002225

l.4142<a<1.41431.99996154Vs<2.00024449

還可以繼續(xù)算下去嗎？a可能是有限小數(shù)嗎？

（4）面積為5的正方形的邊長b的值是多少？可能是有限小數(shù)嗎？與同伴進(jìn)行交流。

2.活動目的

上一環(huán)節(jié)的“嘗試?里考”讓學(xué)生感知a,/）確實存在，但不是有理數(shù)。本環(huán)節(jié)的“甩

考?交流”則意在讓學(xué)生感受〃，b的大小。如何感知？這里借助了計算器進(jìn)行逼近和估計，

在這一過程中，可以初步感受a,。的大小，同時也讓學(xué)生感受到這樣的逼近過程可以一直

重復(fù)下去，進(jìn)而感知無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。

3.注意事項

（1）這里采用了“呈現(xiàn)小明的探究”方式進(jìn)行問題研究，在實際授課中，教師可以讓

學(xué)生進(jìn)行類似的操作，然后呈現(xiàn)學(xué)生的解答。

（2）活動最后,教師需要明晰:事實上，d=1.41421356-,^=2.23606797-,它們都

不是有理數(shù)，都是無限不循環(huán)小數(shù)。

【第四環(huán)節(jié)】知識鞏固

1.活動內(nèi)容

（1）在圖4的正方形網(wǎng)格中，分別畫出滿足以下條件的兩個正方形:

①面積為9,且正方形的頂點在格點上；

②面積為13,且正方形的頂點在格點上。

圖4

（2）在圖5的正方形網(wǎng)格中分別畫出以下四個三角形：[?[[[[[??

①三邊長都是有理數(shù)；二二二二二二二二二二

②只有兩邊長是有理數(shù)；二二二二二二二二二二

③只有一切長曷有理數(shù)：

圖5

④三邊長都不是有理數(shù)?！?/p>

A

（3）如圖6,等邊三角形彳8C的邊長為2,高為/?,/?可能是有?|\

理數(shù)嗎？/\h\

（4）同一個正方形的邊長和對角線的氏度可能都是整數(shù)嗎？Jk\r

DC

2.活動目的圖6

前面2個方格紙畫圖問題，增添知識的趣味性、關(guān)聯(lián)性和層次性，讓學(xué)生初步學(xué)會辨別

有理數(shù)和無理數(shù)，進(jìn)一步感受“新數(shù)”的存在，培養(yǎng)靈活運用知識的能力。后面2個問題,

是對本節(jié)課開始問題的變式，加深對“新知”的理解.

3.注意事項

（1）問題（2）的答案不唯一。

（2）在解決問題（1）（2）的過程中，需將本章內(nèi)容與勾股定理的內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動內(nèi)容

（1）通過本課學(xué)習(xí)，你收獲了哪些數(shù)學(xué)知識和能力？

（2）通過本課學(xué)習(xí)，你提升了哪些數(shù)學(xué)思維能力？

（3）通過本課學(xué)習(xí)，你掌握了哪些數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式？

（4）除了本課所認(rèn)識的非有理數(shù)外，你還能找到其他的數(shù)嗎？

2.活動目的

通過課堂小結(jié)，理清木節(jié)課的知識脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀

察現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)為抽象能力和幾何直觀；幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界，.主要表

現(xiàn)為運算能力和推理能力；實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，主要表現(xiàn)在應(yīng)用意識。

3.注意事項

學(xué)生總結(jié)，教師補充，幫助學(xué)生逐步深化對無理數(shù)的認(rèn)識和理解。

【第六環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動內(nèi)容

基礎(chǔ)作業(yè)：習(xí)題2.1第5、第6題；

拓展作業(yè)：利用網(wǎng)格紙設(shè)計格點正方形，正方形面積小于100,共有多少種情況？（注：

面積相同的不同畫法均視為同?種情況）

實踐作業(yè)：查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)史上無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷程。完成數(shù)學(xué)小論文“我

對數(shù)系擴(kuò)充