*5.5三元一次方程組教學設計

學科數(shù)學年級八年級課型新授課單元五單元

課題*5.5三元一次方程組課時1

依據(jù)2022版數(shù)學新深標“數(shù)與代數(shù)”領域”方程與不等式”主題要求，本節(jié)需引導學生

理解三元一次方程、方程組及其解的概念，掌握代入消元法解三元一次方程組的基本思路，深

化“消元”思想的遷移應用。通過古算題情境與解題實踐，發(fā)展運算能力、邏輯推理素養(yǎng)，

課標要求

體會“多元到一元”的轉(zhuǎn)化思想，落實“用數(shù)學思維分析問題、用數(shù)學方法解決問題”的

課程目標。作為選學內(nèi)容，需兼顧基礎與拓展，為學有余力的學生搭建“二元到三元”的思

維階梯，為后續(xù)高中多元方程學習奠定認知基礎。

本節(jié)是第五章“二元一次方程組”的拓展延伸內(nèi)容，以《九章算術(shù)》中“上中下禾實”古

算題為切入點，自然引出三元一次方程與方程組的概念，承接二元一次方程組“消元”核心

思想，通過例題示范“三元一二元一一元”的轉(zhuǎn)化流程，遵循“概念引入一方法遷移一

教材分析

實踐應用一思想提煉”的思路。教材既滲透數(shù)學文化，又突出“消元思想”的一致性，雖

為選學內(nèi)容，但能完善學生對“多元一次方程”的認知體系，培養(yǎng)其思維的連貫性與遷移能

力，是深化“轉(zhuǎn)化思想”的重要載體。

學生已熟練掌握二元一次方程組的“消元”解法，具備“二元一一元”的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，但面

對“三元”時，易因未知數(shù)數(shù)量增加導致“消元順序混亂”，如不確定先消去哪個未知數(shù)、

學情分析消元后方程整理出錯；部分學生對“三個方程對應三個未知數(shù)”的邏輯關系理解不深，解題

時易遺漏某一方程的約束。此外，計算步驟增多易引發(fā)符號、系數(shù)運算錯誤，需通過分層引導

與步驟拆解突破認知難點。

1.理解三元一次方程、方程組及其解的概念，能判斷給定式子是否為三元一次方程（組），能檢

驗一組值是否為方程組的解；

2.掌握代入消元法解三元一次方程組的基本步驟，能規(guī)范完成“三元一二元一一元”的轉(zhuǎn)化

教學目標與求解,深化“消元”思想的遷移應用：

3.通過解決古算題與實際問題，體會數(shù)學文化與“轉(zhuǎn)化思想”的價值，發(fā)展運算能力與邏輯

推理能力；

4.通過小組合作探究不同消元順序，提升合作交流能力，培養(yǎng)解題策略的優(yōu)化意識。

教學重點1.理解三元一次方程、方程組及其解的概念；

2.掌握“三元一二元一一元”的消元思路，能用代入消元法解簡單的三元一次方程組。

教學難點確定合理的消元順序（如先消去系數(shù)較簡單的未知數(shù)），避免因消無順序不當導致后續(xù)計算更

雜，或在多次消元中出現(xiàn)方程整理錯誤。

教法與學教法采用問題驅(qū)動法、分層教學法，結(jié)合古算題情境激趣，通過“二元消元回顧f三元消元設

法分析問一步驟示范”引導思維遷移；學法以“回顧二元消元一嘗試三元消元一歸納步驟一

糾錯反思”為主線，學生通過小組討論探究消元順序，實現(xiàn)“教師引導、學生主動建構(gòu)”的

教學效果，兼顧不同層次學生需求。

教學過程

教學步驟教學主要內(nèi)容教師活動學生活動設計意圖

環(huán)節(jié)一：復習回顧：通過復習回積極思考通過對前面的

依標靠1什.么是二元一次方程（組）？顧，引發(fā)學問題知識回顧激發(fā)

本，獨立含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1的方程生的學習興學生學習的積

研學為二元一次方程；趣極性，為后面

兩個含有相同未知數(shù)的二元一次方程組成了二元的學習奠定基

一次方程組.礎.

2.什么是二元一次方程的解？二元一次方程組的

解？

能使二元?次方程左右兩邊相等的?組未知數(shù)的

值，叫二元一次方程的解，一般情況下二元一次

方程組有無數(shù)組解；

能同時滿足兩個二元一次方程的一組解叫二元一

次方程組的解.

3.解二元一次方程蛆的基本思路是什么？解二元

一次方程組有哪幾種方法？

基本思路為：消元；

方法有：代入消元法和加減消元法.

探究活動一：三元一次方程組出示《九章根據(jù)題意借古算題滲透

活動1：《九章算術(shù)》中記載：“今有上禾三秉，算術(shù)》古算列方程組，數(shù)學文化，讓

中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中題，引導設對比分析學生自主建構(gòu)

禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾未知數(shù)列方未知數(shù)數(shù)三元一次方程

二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上中下禾實一秉程組，通過量與次數(shù)，組概念，明確

各幾何？”對比二元一歸納三元核心特征。

題目大意；有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可次方程組，一次方程

得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可提問“新方組的定義。

得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可程組的特

得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？點”，總結(jié)三

在這個問題中，設每束上禾可得米X斗，每束元一次方程

中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根據(jù)題意組概念及條

(3x+2y+z=39,件。

可得方程組：［2x+3y+z=34,

(x+2y+3z=26。

思考：這個方程組和前面學過的二元一次方程組有

什么區(qū)別和聯(lián)系？

觀察方程3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26

問題1：它們有什么共同特點？

它們都含有三個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次

數(shù)都是1。

問題2：類比二元一次方程，你能說出這三個方程

是什么方程嗎？

是三元一次方程。

問題3：你能得出什么是三元一次方程組的解嗎？

三元一次方程組中各個方程的公共解。

歸納總結(jié)：

像這樣，共含有三個未知數(shù)的三個一次方程所組成

的一組方程，叫作三元一次方程組。

三元一次方程組必須滿足的三個條件：

1.共含有三個不相同的未知數(shù)。

2.未知數(shù)的項的次數(shù)都是1。

3共.有三個一次方程。

注意：

三元一次方程組中的方程不一定每個方程都要含

有3個未知數(shù)，只要是一共含有三個未知數(shù)的三個

一次方程所組成一組方程，就是三元一次方程組。

環(huán)節(jié)二；探究活動二；示范古算題模仿步驟通過例題示

同伴分嘗試思考：方程組的求獨立解題，范，讓學生掌

享，互助1.怎樣解上述這個三元一次方程組呢？解，強調(diào)同桌互查握“三元一二

研學我們可以仿照二元一次方程組消元的方法對三元“先消Z得消元與計元T一元”的

一次方程組進行消元（代入消元法和加減消元法）.二元方程算過程，糾消元流程，突

2.解二元一次方程組的基本思路是什么？你認為組，再解一正符號、系破計算與步驟

用類似的思路可以求解這個三元一次方程組嗎？元方程”的數(shù)錯誤。梳理難點。

請你試一試？步驟，標注

消元，將三元轉(zhuǎn)化為二元，然后再解二元一次方程消元關鍵

組即可.（用含X、

例題精講：y的式子表

（3x+2y+z=39,①示Z）。

解方程組：］2x+3y+z=34,②

（x+2y+3z=26o③

解：由①得，z=39-3x-2y。④

把④分別代入②③并化簡，得

x-y=5,⑤

8x+4y=91o?

注意；消去了未知數(shù)z,變成了二元一次方程組！

'_37

解由⑤⑥組成的二元一次方程組，得|X-J，

把X亭，y=?代入④，得Z若。

經(jīng)檢驗，x號，y=gz=:適合原方程組。

444

注意：檢驗時可以口算或在草稿紙上演算，以后可

以不寫！

37

x=Z，

所以原方程組的解是y=Y，

Z=-110

4

總結(jié)歸納：先觀察各個方程的特點，如果已有某個

未知數(shù)的表達式，直接用代入消元，否則常用加減

消元，用加減消元時，先比較未知數(shù)的系數(shù)然后再

選擇消去的未知數(shù).

環(huán)節(jié)三：探究活動三：引導學生嘗分組用不通過多方法對

全班展嘗試交流：試先消X同消元順比，讓學生優(yōu)

學，互動（1）在解上面的方程組時，你能用代入消元法先消（或y）解序解題，分化消元策略，

深入去未知數(shù)x（或y）,從而得到方程組的解嗎？同一方程享過程，歸深化對“消元

可以，消去x或y都可以變成一元一次方程組.組，對比不納最優(yōu)消思想”靈活性

（2）你還有其他方法嗎？與同伴交流各自的解法，同消元順序元技巧，驗的理解.

并思考不同方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。的優(yōu)劣，總證解的正

還可以用加減消元法，把“三元”轉(zhuǎn)化成“二元”，結(jié)“優(yōu)先消確性。

使解三元?次方程組轉(zhuǎn)化為解二元?次方程組，進

系數(shù)簡單的

而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.

未知數(shù)”的

總結(jié)歸納：

策略。

解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或

“加減”進行消元，把“三元”轉(zhuǎn)化成“二元”，

使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進

而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.

探究活動四：

思考交流：

回顧二元一次方程組和三元一次方程組的求解過

程，說說求解三元一次方程組的基本思路，并與

同伴進行交流。

解三元一次方程組的基本思路仍然是“消元”——

把“三元”化為“二元”，再化為“一元”。

I-Tp___E'L-TT-XVirlMifl|5人?一元一次方程1

總結(jié)歸納：核心思路為“消元”，步驟：

①選易消未知數(shù)（如系數(shù)為1或?1）,用代入/加減

消元法將三元化為二元；

②解二元一次方程組得2個未知數(shù)的值；

③代入原方程求第3個未知數(shù)的值，檢驗后寫解。

關鍵技巧；優(yōu)先消去系數(shù)簡單的未知數(shù)，減少計算

量；每步消元后檢驗方程整理是否正確。

環(huán)節(jié)四：鞏固訓練巡視課堂迅當堂小測，學以致用，及

鞏固內(nèi)1.下列四組數(shù)中，適合三元一次方程3x-2），+z=6速掌握學情用所學知時獲知學生對

的是（）

化，拓展識解決問所學知識的掌

A/=l,y=~1?z=-3

延伸題，學生代握情況，明確

B.x=l,y=l,z=4

表回答。哪些學生需要

C.x=0?y=0,z=6

Da=-1,y=l,z=3在課后加強輔

導，達到全面

(x+y=l,?

2.三元一次方程組Jy+z=5,②的解是（）提高的目的

(z+%=6③

‘％=1,(x=L(x=1,(x=4,

A?y=o,B|y=2.C.Jy=o,D.y=].

、z=5lz=4vz=4Vz=0

3.設■”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天

平稱了三次，如圖所示，那么這三種物體的質(zhì)量

分別是.

xoriA/

zs

\OAAz\_50g_/

IA.I

\OnA/、o36g/

?1~

zs

4.如圖是一個正方體表面展開圖，若該正方體相

對的兩個面上的代數(shù)式的值相等，則z+廣工的值

2y+3z的值等于T2,求。的值.

課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學習你收獲了什么？教師以提問學生思考課堂小結(jié)可以

1.知識：的形式小結(jié)自由回答，幫助學生理清

概念：自我小結(jié)所學知識的層

①三元一次方程：含3個未知數(shù)，未知數(shù)項次數(shù)次結(jié)構(gòu)，掌握

為1的方程；其外在的形式

②三元一次方程組：共含3個未知數(shù)的3個一和內(nèi)在聯(lián)系，

次方程組成的方程組；形成知識系列

③解：能同時滿足方程組中所有方程的一組未知及一定的結(jié)構(gòu)

數(shù)的值?？蚣?。

解法：核心思路為“消元”，步驟：

①選易消未知數(shù)（如系數(shù)為1或?1）,用代入

/加減消元法將三元化為二元；

②解二元一次方程組得2個未知數(shù)的值；

③代入原方程求第3個未知數(shù)的值，檢驗后寫

解。

關鍵技巧：優(yōu)先消去系數(shù)簡單的未知數(shù)，減少計

算量：每步消元后檢驗方程整理是否正確。

板書設計*5.5三元一次方程組利用簡潔的文

1.三元一次方程與三元一次方程組的概念字、符號、圖表

2三.元一次方程組的解等呈現(xiàn)本節(jié)課

3解.三元一次方程組的思路：消元的新知，可以

幫助學生理解

掌握知識，形

成完整的知識

體系。

作業(yè)設計基礎達標：

（2x-y+3z=1,

1.解方程組M+y-7z=2,如果要使運算簡便，那么消元時最好應（）

（5x-y+3z=3。

A.先消去xB.先消去1yC.先消去zD.先消去常數(shù)項

(x+y=4,

2.已知方程組卜+z=6,則x+y+z的