18.3分式的加法與減法（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

i.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的概念和性質(zhì)等知識的基礎(chǔ)上，類比分?jǐn)?shù)的加減法來研究分式的加減法。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是分式的加法與減法的第一課時(shí)，它緊密承接了學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)加減法和分式的基本性質(zhì)。

這節(jié)課的核心思想是“類比”，讓學(xué)生將對分?jǐn)?shù)的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)遷移到分式運(yùn)算中。分式的加減法是分式運(yùn)算的核

心內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、函數(shù)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)雜代數(shù)式運(yùn)算的基礎(chǔ)。

基于以上分析、確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：分式的加減法法則。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解分式的加減法法則，體會(huì)類比思想。

（2）會(huì)運(yùn)用法則進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，體會(huì)化歸思想。

2.目標(biāo)解析

（I）學(xué)生需能清晰地說出分式加減法的運(yùn)算法則。通過對比分?jǐn)?shù)和分式的加減運(yùn)算，領(lǐng)悟”類比”是一

種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

（2）學(xué)生需能獨(dú)立、準(zhǔn)確地完成分式加減法的計(jì)算。包括正確處理符號、準(zhǔn)確通分與約分、最后將結(jié)

果化為最簡分式或整式。對于異分母分式的加減，要通過通分將其轉(zhuǎn)化為己經(jīng)學(xué)過的同分母分式加減的問

題。

三、教學(xué)問題診斷分析

問題1：學(xué)生找不到最簡公分母，或者通分后分子漏乘相應(yīng)的整式。它源于學(xué)生對因式分解掌握不牢，

以及對“最簡公分母”的概念理解模糊。

應(yīng)對策略：課前復(fù)習(xí)因式分解的相關(guān)內(nèi)容；引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)確定最簡公分母的步驟；強(qiáng)調(diào)“分子分母同

乘”的原則，用不同顏色的筆標(biāo)出分子需要乘的部分，進(jìn)行視覺提醒。

問題2：分子是多項(xiàng)式時(shí)，學(xué)生容易漏掉括號或弄錯(cuò)符號。

應(yīng)對策略：要求學(xué)生在計(jì)算時(shí)，先把分子用括號括起來，再進(jìn)行運(yùn)算。提醒學(xué)生，分?jǐn)?shù)線本身就具有

括號的作用；設(shè)計(jì)對比練習(xí)，強(qiáng)化符號意識。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用法則進(jìn)行分式的加減運(yùn)算。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問題1回憶分式的乘方運(yùn)算法則，分式的乘除、乘方混合運(yùn)算法則.

答分式乘方要把分子、分母分別乘方.

分式的乘除、乘方混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除.

問題2類比分?jǐn)?shù)的研究路徑，木節(jié)課學(xué)習(xí)分式的加減運(yùn)算.

類比

設(shè)計(jì)意圖：通過“問題1”回顧舊知，起到承上啟下的作用，幫助學(xué)生鞏固已學(xué)的分式運(yùn)算知識，同時(shí)為

即將學(xué)習(xí)的分式加減運(yùn)算做好知識鋪墊，明確不同分式運(yùn)算的順序差異?！皢栴}2”通過類比分?jǐn)?shù)的研究路徑,

展示分式從概念、基本性質(zhì)到運(yùn)算、應(yīng)用的知識體系，讓學(xué)生體會(huì)類比思想在分式學(xué)習(xí)中的貫穿性，幫助

學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識框架，降低對新知識的認(rèn)知難度。

（二）合作探究

思考觀察下列分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的式子，回憶分?jǐn)?shù)的加減法法則.

12_312_111_32_511_32_1

I-，-9I-I-，——?

5555552366623666

你能將它們推廣，得出分式的加減法法則嗎？

答分?jǐn)?shù)的加減法法則：

同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆謹(jǐn)?shù)，再加減.

歸納分式的加減法法則:

問分母分式相加減，分母不變，把分子相加減;

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

附口04a.ba±ba.cad,bead±bc

符號語S-+-=------,-+—=------1------=----------

設(shè)計(jì)意圖：先呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)加減法法則?；趯W(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),

利用知識的遷移性，讓學(xué)生將分?jǐn)?shù)的加減法法則推廣到分式，歸納出分式加減法法則并給出符號語言，讓

學(xué)生體會(huì)從“數(shù)"到“式''的知識發(fā)展過程。

（三）典例分析

5x+3y2xm+2nn2m

例1計(jì)算：（1）(2)------+--------------

x2-y2'n-mm-nn-m

5x+3y2x5x+3y-2x_3x+3y_3

解⑴中x2-y2~x2-y2~x2-y2-x^y'

m+2nn2mm+2nn2mm+2n-n-2mn-m

(2)-------------------...............-----------------=1.

n-m+m-nn-mn-mn-mn-mn-mn-m

52,3122

例2計(jì)算:(1)------1----;-；(2)+-----.

6ab3ac4abcmz-93-m

52310c8b,910c-8b+9

解(1)一H------=-----------------1--------=-----------,

Gab3ac4abc12abc12abc12abc12abc

122122_122(m+3)

(2)4-

m2-93-m(m+3)(7n-3)m-3(m+3)(7n-3)(7n+3)(m-3)

12-2(m+3)_-2m+6_-2(m-3)2

(m+3)0n-3)(m4-3)(m-3)(7n+3)(m-3)m+3

設(shè)計(jì)意圖：這些例題是對分式加減法法則的全面應(yīng)用示范，通過不同類型的題目，幫助學(xué)生突破異分

母分式加減的難點(diǎn)，掌握通分的技巧和運(yùn)算的規(guī)范性，培維學(xué)生的運(yùn)算能力。

（四）鞏固練習(xí)

2a3a

1.計(jì)算：(1)---(2)+--------.

xxb+1b+1b+1'

x+11x+1-l.

解(1)-----=----=1.

XXX

a,2a3aa+2a-3a

(2)——+------------=-----------

b+1b+1b+1b+1

32m-n

2.計(jì)算：C)2c^d+3^2；(2)

2m-n(2m-n)2

Q2

(4)-----a--—1.

a2-b2a+ba-1

___1___L,.1—__3__d___L,____2_c__—3__d_+_2__c

2c2d3cd26c2a26c2d26c2d2'

b

(Q+b)(Q-b)'

a2Q2(Q2I)_1

(4)-----a-1

a-1缶-（a+l）a-1a-1

3.節(jié)約用水人人有責(zé)，某綠化養(yǎng)護(hù)公司原來用漫灌方式澆綠地，〃天用水機(jī)噸，現(xiàn)在改月噴灌方式,

可使這些水多用4天，現(xiàn)在比原來每天少用水（C）

A.%噸B.%噸C.興噸D.*噸

a。+4”(a+4)a(。+4)

4.甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需〃天，乙工程隊(duì)要比甲隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，兩隊(duì)共同工作一天完

成這項(xiàng)工程的幾分之幾？

1.1n+3.n2n+3

解—I-------=-------------1-----------=-----------,

nn+3n(n+3)n(n+3)n(n+3)

即西隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的誓三.

n(n+3)

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

(五)歸納總結(jié)

分式的加法與減法

文字同分母分式相加減，分母不變,把分子相加減;

語言

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?再加減.

符號a.ba±ba,cad,bead+bc

——=—+—=—+———~—

語言b~d~bd~bd~bd

(六)感受中考

1.（2025?新疆）計(jì)算：彳-冬三（A）

x-2yx-2y

A.1B.x-2yC.D.出

x-2y-4v

（?河南）化簡的結(jié)果是（）

2.2025x-l1-xA

A.x+1B.xC.x-1D.x-2

3.（2025?天津）計(jì)算言+《的結(jié)果等于（A）

A.--B.---C.--D.1

a-1a+I

4.（2025?湖北）計(jì)算卓女的結(jié)果是

5.（2023?福建）已知且ar-爪則丹的值為1.

aI）a+b

6.(2024.江蘇連云港)下面是某同學(xué)計(jì)算」y-三的解題過程:

m-\zrr-1

解：---=w,tl-----①

m-1〃3?1（陽+1）（，〃/）（m+IXw-1）

=（〃什1）-2②

=m-l③

上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請寫出完整的正確解題過程.

解：從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正確的解題過程為：

百YwH-l2wr+l-2m-l1

小1X^-1）1l（ni-1）（m+-l）（/n-l）m+1

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，運(yùn)可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（七）小結(jié)梳理

實(shí)分式有意義的條件

際

分

奧比分效分式值為0的條件

式

問

題

分式的約分與通分

分式的乘除與乘方

分式的加法與戲法

設(shè)計(jì)意圖：用思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生梳理知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生直觀感知分式單元的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，構(gòu)建

清晰、完整的知識網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化對分式學(xué)習(xí)的整體認(rèn)知。

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題18.3第1,2題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題18.3第5,6題.

五、教學(xué)反思

18.3分式的加法與減法（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，類比數(shù)的混合運(yùn)算來研究分式的

混合運(yùn)算。

2.內(nèi)容分析

分式混合運(yùn)算既是對前面所有分式知識的復(fù)習(xí)和鞏固，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分式方程、函數(shù)以及更復(fù)雜代數(shù)

運(yùn)算的關(guān)鍵基礎(chǔ)。本節(jié)課的核心是讓學(xué)生體會(huì)”類比”的數(shù)學(xué)思想，通過類比有理數(shù)的混合運(yùn)算順序，學(xué)生能

自主探索并掌握分式的混合運(yùn)算順序。這不僅是知識的遷移，更是思維方式的提升，培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)運(yùn)

算能力和邏輯推理能力。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：分式的混合運(yùn)算。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解分式混合運(yùn)算的順序；會(huì)正確進(jìn)行分式的混合運(yùn)算。

（2）體會(huì)類比方法在研究分式混合運(yùn)算過程中的重要價(jià)值。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需要明確分式混合運(yùn)算的順序與有理數(shù)混合運(yùn)算的順序完全?致。即“先乘方，再乘除，最

后加減：有括號的先算括號里面的”。學(xué)生能夠獨(dú)立、準(zhǔn)確地完成包含多種運(yùn)算的分式計(jì)算題。

（2）學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過程中主動(dòng)思考：“我們是如何知道分式混合運(yùn)算順序的？”從而認(rèn)識到足將“數(shù)”

的運(yùn)算規(guī)律“類比”到了“式”的運(yùn)算中。學(xué)生要體會(huì)到這種類比不是偶然的，而是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重

要且有效的方法。

三、教學(xué)問題診斷分析

問題I：學(xué)生對混合運(yùn)算順序的規(guī)定理解不深，運(yùn)算順序混亂。

應(yīng)對策略：強(qiáng)調(diào)“先乘方，再乘除，最后加減，有括號，元算括號內(nèi)”的運(yùn)算順序，并要求學(xué)生在做

題前先標(biāo)出運(yùn)算順序：設(shè)計(jì)對比練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)括號和分?jǐn)?shù)線對運(yùn)算順序的影響。

問題2：計(jì)算過程中步驟跳躍，導(dǎo)致出錯(cuò)。

應(yīng)對策略：要求學(xué)生規(guī)范書寫，養(yǎng)成“步步有據(jù)”的習(xí)慣；教師板書時(shí)，要展示完整的解題過程，給

學(xué)生做好示范：對于較復(fù)雜的題目，可以引導(dǎo)學(xué)生分步完成，每完成一步檢查一步。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問題1你能說一說分式的加減運(yùn)算法則嗎？

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

問題2如何進(jìn)行分式的混合運(yùn)算？

類比分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算學(xué)習(xí)分式的混合運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，鞏固上一課時(shí)的核心知識，為學(xué)習(xí)分式混合運(yùn)算做好知識鋪墊。類比分?jǐn)?shù)的研

究路徑，展示分式混合運(yùn)算在分式知識體系中的位置，讓學(xué)生體會(huì)類比思想的延續(xù)性。

（二）合作探究

探究數(shù)的混合運(yùn)算的順序是什么？你能將它們推廣，得出分式的混合運(yùn)算順序嗎？

分式的混合運(yùn)算的順序：先乘方，再乘除，然后加減.如果有括號，先算括號內(nèi)的.

計(jì)算（,）2.a一三+.

b/a-bb4

解（四）2,工一巴一。=空_g.±=4a2_t=4a2_4a（Q—b）=

'b'a-bb4b2a-bbbb2（a-b）b2b2（a-b）b2（a-b）

4a2-4a2+4ab_4ab_4a

b2（a-b）b2{a-b）ab-b2'

最終結(jié)果為最簡分式（或整式）.

設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)的混合運(yùn)算順序，并將其推廣到分式的混合運(yùn)算，讓學(xué)生經(jīng)歷“類比

一歸納”的思雄過程自主得出分式混合運(yùn)算的順序。通過完隹呈現(xiàn)一道分式混合運(yùn)算題的解題過程，讓

學(xué)生直觀掌握每一步的操作方法和注意事項(xiàng)，從而提升學(xué)生的分式混合運(yùn)算能力。

（三）典例分析

x+2X-4

例*1計(jì)算：（3萬")+

X2-4x+47x

e,x+2x-1X-4x+2x-1]X

解《五~)+=[-(￥-2)21X-4

X2-4X+4Xg-2)

_久2f

_r(x4-2)(X-2)

2

一[x(x-2)X(X-2)2JX-4

X2-4-X2+Xx

x(x-2)2x-4

x-4x1

x(x-2)2x-4(x-2)2'

例2張華和李明同時(shí)從甲地沿同?路線步行去乙地.張華在前半段路程的平均行走速度是。km/h,在

后半段路程的平均行走速度是〃km/h；李明全程的平均行走速度是竽km/h.如果在兒兩人誰先到達(dá)乙

地？

s

2_(a+b)s

解設(shè)從甲地到乙地的路程為skm,張華從甲地到乙地的時(shí)間（單位:h）為2十?,李明從甲地

b2ab

到乙地的時(shí)間（單位:⑴為

空—a+b

2

(a+b)s2s_(a+b)2s-4abs_(a2-2ab+b2)s_(a-h)2s

兩人的時(shí)間差為

2aba+b2ab(a+b)2ab(a+b)2ab(a+匕)'

跑生,即獨(dú)處＞2s

因?yàn)閟,。均大于0,且評4所以＞0

2ab(a+b)2aba+b'

因此，李明先到達(dá)乙地.

設(shè)計(jì)意圖：通過例題，鞏固分式的混合運(yùn)算法則的應(yīng)用。

（四）鞏固練習(xí)

L計(jì)算：⑴售/W一比+冬2m-4

(2)(m+2+二一)?

'2-my3-m

x+1-2%,I1、a+ba2-b,2

⑶丁(有)-U-有);(4)1-

a-2ba2-4ab+4b2'

解⑴(?2.=_告.苴

2xy2x

x2yx___

4y22xy22y2

xx2

=麗一麗

xy34x2

一麗—麗

_%y3_4%2

8y4”

⑵⑺+2+/2m-4

3-m

(m+2)(m—2)

m—2

m2-4-52(m-2)

m—23-m

(m+3)(m—3)2(m—2)

m—23—m

=-2(m+3)

=—2m.—6.：

)-x-+-1'(/--2--x)、2—(r--1-------1--)、

xvx+lyvx-lx+l7

_x+14/11

-X(X+l)2-0一1一%+1)

4x11

=-----------+-----

x+1X-11

4x(%-1)x+1(x-1

=(x+l)(x-1)-(x+1)(%-1)+(x+l)(x-1)

_4x2-4x-x-l-t-x-l

=(x+1)(%-1)

4X2-4X-2

x2-l；

qu+D.a2—b2

a-2b。2-4。匕+4。2

a+ba2―4ab+4b2

-1a-2ba2-b2

a+b(a-2b產(chǎn)

=1---------------------

a-2b(a+b'\(a-b)

a—2b

-1a-b

a-ba-2b

=,—

a-ba-b

a—b—a+2b

a—b

a-b

2.甲工程隊(duì)完成一項(xiàng)工程需〃天，乙工程隊(duì)要比甲工程隊(duì)多用3天才能完成這項(xiàng)工程，兩隊(duì)共同工作一

天完成這項(xiàng)工程的幾分之幾？

解甲工程隊(duì)的工作效率是占乙工程隊(duì)的工作效率是工？

nn+3

11n+3n2n+3

—F-----=----------1---------=---------.

nn+3n(n+3)n(n+3)n(n+3)

答:兩隊(duì)共同工作一天完成這項(xiàng)工程的學(xué)之.

n(n+3)

3.前年、去年、今年某地的森林面積(單位:km2)分別是&,&，S3,今年與去年相比，森林面積增長率

提高了多少？

解今年的森林面積增長率是過W,去年的森林面積增長率是蘭生.

S3f_Sz-S*_S1S3S1S2_SzZSiS?_-S/

■

S?SiS'S?S'S?SQS?