八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（湖北專用）

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.【回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題尸上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版八上第十三?十五章。

5.難度系數(shù)：0.65。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各組線段為邊，能組成三角形的是（）

A.5、5、11B.7、8、15C.12、20、13D.13、5、7

【答案】C

【分析】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三條邊的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形

三條邊的關(guān)系計(jì)算即可，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

【詳解】解：A.V5+5<11,/.5,5,11不能組成三角形，故A錯(cuò)誤；

B.v7+8=15,.-.7,8,15不能組成三角形，故B錯(cuò)誤；

C.V13+12>2O,-.12,20,13能組成三角形，故C正確：

D.?.?5+7<13,.73,5,7不能組成三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.下列圖標(biāo)是軸對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，理解定義：”將圖形沿某一條直線對折，直線兩邊的圖形能完全重

合的圖形是軸對稱圖形''是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱圖形的定義分析求解即可.

【詳解】解：A、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意；

B、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意：

C、不符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)不符合題意：

D、符合軸對稱圖形定義，故此項(xiàng)符合題意；

故選:D.

3.根據(jù)下列條件，不能畫出唯一確定的△力8c的是（）

A.AB=4,BC=5,AC=6B.Z.A=65°,AB=8,Z5=40°

C.AB=4,BC=3,ZA=45°D.ZC=90°,力8=8,BC=4

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的幾種判定定理是解題關(guān)鍵，根據(jù)選項(xiàng)中所給

的條件，逐條判斷是否滿足全等三角形的判定定理即可.

【詳解】解：A、符合全等三角形的判定定理SSS,能畫出唯一的△/8C,故該選項(xiàng)不符合題意；

B、符合全等三角形的判定定理4S4,能畫出唯一的△48C,故該選項(xiàng)不符合題意；

C、不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的△力8C,故該選項(xiàng)符合題意；

D、符合全等三角形的判定定理HL,能畫出唯一的△48C,故該選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.如圖，直線等邊△/灰?的頂點(diǎn)C在直線力上，若/1=32。，則N2的度數(shù)為（）

A.92°B.128°C.98°D.142°

【答案】A

【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外先定理，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平

行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理是解決問題的關(guān)鍵.設(shè)直線“與月5交丁點(diǎn)。，與/1C

交于點(diǎn)E,先由對頂角的性質(zhì)得NNOE=N1=32。，再由等邊三角形的性質(zhì)得/月=60。，然后由三角形的外

角定理可求出//b=92°,最后再根據(jù)直線。〃b可得/2的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)直線。與48交于點(diǎn)O,與月C交于點(diǎn)￡如圖所示：

.?.4OE=N1=32°,

為等邊三角形，

/.N力=60°,

￡AEF為bADE的一個(gè)外角，

NAEF=NADE+ZJ=32。+60°=92°,

???直線a“b

N2=/AEF=92°.

故選：A.

5.如圖，△ABgADEC,若/BCE=650,ZDCE=80°,則/力CE的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得到AB=ADCE=65。，再根據(jù)角的和差即可求出/ACE的度數(shù).

【詳解】解：

/.乙4cB=NDCE=80°,

?：/BCE=65。，

，^ACE=乙4cB-4BCE=80°-65°=15°.

故選：A.

6.如圖，在△/BC中，NC=90。，以4為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交/C,AB于點(diǎn)、M,N,再分

別以M,N為圓心，大于;MV長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)0,作射線40,交BC于點(diǎn)、E.已知CE=2,

AB=6,則△/E8的面積為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，作角平分線：根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可得4E平分NC49.作

ET1AB,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ET=EC=2,再利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)E作如圖所示：

由題意可知：力￡平分NC45,

vEC1AC,ETLAB,

.-.ET=EC=2,

??.S“M=；48E7=；X6X2=6,

故選：A.

7.如圖，△RBC與△彳"。'關(guān)于直線/對稱，連接力卬交對稱軸/于點(diǎn)若乙1=50。，NC'=30。，則下列

說法不正確的是（）

CIc

A.△Z8C與的周長相等

B.AM=A'M]A.AAf1.1

C.Z5=100°

D.連接88',CC,則44,BBLCC'三條線段不僅平行而且相等

【答案】D

【分析】本題考查圖形的對稱，熟練掌握對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由△48C與關(guān)于直線/對稱，三角形48c與三角形H2TC'的周長相等，AM=A'MW.AA'Ll,再利

用三角形內(nèi)角和定理可求得N8的度數(shù)，從而可判斷并得到答案.

【詳解】解：?.?18C與△48'。'關(guān)于直線/對稱，

二.三角形力8c與三角形48'。'的周長相等，NC=/C'=30。，=且44'_L/,

故A、B正確；

???4=50。，ZC=30°,

N8=180。-—NC=100°,

故C正確；

v，BC與4HC關(guān)于直線/對稱，

:.AA〃BB，〃CC,但和'工仍'工。。'，

故D錯(cuò)誤，

故選：D.

8.如圖，點(diǎn)C在線段8。上，4BLBD于點(diǎn)B,EDJ.BD于點(diǎn)、。,/4CE=90。，且4c=7cm,

CE=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)力開始以2cm/s速度沿力C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以3cm/s的速度從點(diǎn)￡開始，在

線段包上往返運(yùn)動(dòng)（即沿EfCfE運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過P、。分別作

的垂線，垂足分別為M、N.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，s,當(dāng)以P、C、A/三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△。四全等時(shí)，/

的值為（）s.

A

A.1B.1或3C.2或4D.1或4

【答案】B

【分析】本題考查三角形上的動(dòng)點(diǎn)問題，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵.分兩種情況：①點(diǎn)P在"C上，

點(diǎn)。在CE上時(shí)；②點(diǎn)Q在4。上，點(diǎn)。第一次從點(diǎn)。返回時(shí)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程即

可求解.

【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)尸在彳。上，點(diǎn)。在CE上時(shí)，

?.?以P,C,M為頂點(diǎn)的三角形與△OCN全等，

???7-2'=8-3",

②當(dāng)點(diǎn)P在4c上，點(diǎn)。第一次從點(diǎn)。返回時(shí)，

?.?以P,C,M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，

:.PC=CQ,

7-2z=3/-8,

：.t=3,

綜上所述：,的值為1或3.

故選B.

9.如圖，在△ABC中，ZBJC=90°,AB=3,AC=4,8C=5,,4。是高，AE是中線，。廠是角平分線，CF

交/。于點(diǎn)G,交力。于點(diǎn)”，給出以下結(jié)論：①S△詆=S詔￡；@^AFG=ZAGFi③NFAG=2/ACF；

?/ID=2.4,以上說法正確（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形角平分線和

高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得

/力產(chǎn)G+N/CG=90。,NQGC+NQCG=90。，再根據(jù)角平分線的定義可得4CG=/OCG,再運(yùn)用等量代

換即可判斷②；先說明=再結(jié)合角平分線的定義即可判斷③；直接運(yùn)用三角形的面積公式可

計(jì)算即可解答.

【詳解】解：WE是A45C中線,

/.AE=EC,

???△.48E的面積等于ABCE的面積，即①正確；

vABAC=90°,力。是△ZBC高，

ZAFG+ZACG=90°,ZDGC+ZDCG=90°,

???C尸是。角平分線，

:.乙4CG-4DCG,

NAFG=NDGC,

又:.NDGC=NAGF,

：ZFG=/AGF,故②正確；

ZFAG+ADAC=NDAC+NACD=90°,

：.Z.FAG=ZACD,

AACD=N4C/'+4BCF=2NXC/,

;.AFAG=2NACF,故③正確；

vS4/.inocr——2AB-AC2=—BC,AD,

.?.；x3x4=/x54。，解得：力0=2.4.故④正確.

綜上，正確的有4個(gè).

故選:D.

10.如圖，△力AC為等邊三角形，△力。石為等腰三角形，其中NN￡D=120。，AE=DE,且8,C,。在

同一直線上.連接和CE.則以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①/8Z￡+NCQE=180。；②8七為/48C的平分線；③AE=CE；（4）ZECZ）=60°.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角立分線的判定,

線段垂直平分線的判定和性質(zhì).熟練掌握以上知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.根據(jù)四邊形內(nèi)角和

等于360。可判斷結(jié)論①正確；過￡點(diǎn)作歷/的延長線于尸點(diǎn)，作召G_L6￡＞于G點(diǎn)，根據(jù)AAS證明

AEE4且EGQ,則可得E"=EG,根據(jù)角平分線的判定可得結(jié)論②正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可

得BE垂直平分力C,根據(jù)線段垂直平分線的判定可得結(jié)論③正確；由可得乙4。8=60。，乙〃;￡工60?？傻?/p>

結(jié)論④不正確.

【詳解】解：「△ABC為等邊三角形,

.\ZJ5C=60°,

?ZE。=120。，

/月〃C+N/EO=180。，

???四邊形48OE中，AABC+ZAED+ZBAE+ACDE=360°,

ZBAE+ACDE=360°-180°=180。.

故結(jié)論①正確；

如圖，過￡點(diǎn)作的延長線于尸點(diǎn)，作EG_L8。于G點(diǎn).

F

則Z.EFA=4EGD=90°,

?：ZBAE+Z.FAE=180°,NBAE+Z.CDE=180°,

/.ZFAE=ZCDE,

又,:EA=ED,

.?.△EFAgEGD(AAS),

EF=EG,

.?.8E為/月8。的平分線.

故結(jié)論②正確；

???BA=BC,BE平分/4BC,

二4E垂直平分力C,

E4=EC.

故結(jié)論③正確；

?/ZACB+ZACE+ZECD=180°,

而2ACB=60°,NACE=60°,

ZECD*60°.

故結(jié)論④不正確；

綜上，正確的結(jié)論有3個(gè).

故選：C.

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.如圖，8c為四邊形/也。。的對角線，ZJ=ZD,添加一個(gè)條件使△/ACg△04。，則你添加的條件

為______________.

【答案】NABC=NDBC（答案不唯一）

【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可得到答案.解題的關(guān)鍵是掌握全等

三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL（此方法僅用于直角三角形全等的判定）.

【詳解】解：若添加：NABC=NDBC,

在△48C和△08。中，

4=ND

?N4BC=Z.DBC,

BC=BC

.?.△N8gAQ8C(AAS)；

若添加：NACB=NDCB,

在△ABC和△。臺(tái)。中，

Z=ND

乙4cB=ZDCB,

BC=BC

48g△力8c(AAS)：

，添加一個(gè)條件使，貝IJ添力口的條件可以為N/4C=N。8c或乙4CB=/。。.

故答案為：4BC=/DBC(答案不唯一).

12.如圖，已知在△Z8C中，4=54。，N4?。的外角平分線和/4C8的外角平分線交于點(diǎn)。.則

ZP=.

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和、三角形的外角平分線，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

先由三角形的內(nèi)角和算出/ABC+/ACB,再根據(jù)外角平分線即可求解.

【詳解】解：/=54。，

.?.48。+/4。8=180。-54。=126。，

ZDBC+Z.BCE=(I80°-N48C)+(180°-N/C8)=360°-(NABC+乙4CB)=360°-126°=234°,

?:PB平分ZDBC,PC平分ZBCE,

NPBC+NPCB=-NDBC+-NBCE=-x234°=117°,

222

AZP=180O-117O=63°

故答案為：63°.

13.如圖，/ZO8內(nèi)有一點(diǎn)P,點(diǎn)分別是點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)，P￡交。4于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)

N.若的周長是5cm,則的長為.

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，那么這兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線

被這條直線垂直平分是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出NP=NP：,再由APAW的周長是

5cm,即可求出［鳥的長.

【詳解】解：???點(diǎn)幾E分別是點(diǎn)P關(guān)于。4。8的對稱點(diǎn)，48交。4于點(diǎn)交。夕于點(diǎn)M

：.MP=MP\,NP=NP2,

???4P/WV的周長是5cm,

MP+MN+NP-5cm,

二RP2=MR+MN+NP==MP+MN+NP=5cm,

故答案為：5cm.

14.如圖，△/出C中，AC=BC,ZC=90°,8。為/川5c的平分線.若點(diǎn)4到直線8。的距離力。為逐，

貝uBE長為.

【答案】2石

【分析】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì).

延長力0、BC交于點(diǎn)F,利用角平分線的定義和全等三角形證明△N8Z注2*7遼），得出力戶的長度，再通過

角度關(guān)系證明△AC產(chǎn)從而得到4后=力少.

【詳解】解：延長力。、BC交于點(diǎn)尸,

AD±BD,NACB=90°,

NABD=/FBD,Z.ADB=NFDB=90°,

BD=BD,

.,.△44。%/BQ(ASA),

/.AD—FD=y[5,AF=AD+FD=2\f5.

???△月灰?是等腰直角三角形，4ACB=90。,

NBEC+NCBE=90。,

又,NF+NCBE=90°,

NF=/BEC,

又?.N/C8=N4C/7=90。，AC=BC,

.?.△^CF^A5CE（ASA）,

BE=AF=2>/5.

故答案為：2本.

15.如圖，在△4BC中，乙4=30"將一塊足夠大的直角三角尺PUN（ZM=90°,NA/PN=30。）按如圖

放置，頂點(diǎn)P在邊力。上滑動(dòng)，三角尺的直角邊尸M始終經(jīng)過點(diǎn)8,斜邊PN交48于點(diǎn)力，當(dāng)點(diǎn)P在滑動(dòng)

中滿足力。=力。時(shí)，且8c為等腰三角形，則/C的度數(shù)為.

【答案】30?；?5?；?2.5。

【分析】本題考查了等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，由題意推出/在。=180。-75。-30。=75。：

分類討論當(dāng)3P=8C時(shí)，當(dāng)8C=PC時(shí)，當(dāng)PC=P4時(shí)，即可求解；

【詳解】解:?Z30。,AP=AD,

ZAPD=AADP=1x(180°-30°)=75°,

???AMPN=30°,

Z.BPC=180°-75°-30°=75°,

當(dāng)8P=8。時(shí)，

AZC=Z^PC=75°；

當(dāng)BC=尸C時(shí),

:.Z.CBP=Z.CPB=75°,

ZC=180°-75°-75°=30°；

當(dāng)PC=P4時(shí)，

.-.ZC=ZCBP=1x(180°-75°)=52.5°,

綜上所述：NC的度數(shù)為30?；?5。或52.5。；

故答案為:30?；?5?；?2.5。.

三、解答題(第16、17、18題，每題6分；第19、20、21題，每題8分；第22題10分；第23題

11分；第24題12分；共9小題，共75分)

16.已知b,C是的三邊長，a=4,b=6.

(1)求。的取值范圍；

(2)若。是小于8的偶數(shù)，試判斷△/3。的形狀.

【答案】⑴2<cvl0

(2)AZ"C是等腰三角形

【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和三角形三邊關(guān)系，得出。的取值范圍是解題關(guān)鍵.

(1)利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出。的取值范圍，進(jìn)而得出答案；

(2)利用等腰三角形的判定方法得出即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)椤?4,6=6,

所以2<c<10.

故C的取值范圍2<c<10.

(2)解.：因?yàn)閏是小于8的偶數(shù),

所以c=4或c=6.

當(dāng)c=4時(shí)，a=c=4,△/小。是等腰三角形；

當(dāng)c=6時(shí)，b=c=6,△川5。是等腰三角形；

綜上,ZUBC是等腰二角形.

17.如圖，△Z8C中，AD1BC,E/垂直平分力C,交4c于點(diǎn)尸,交BC于點(diǎn)、E,且BD=DE,連接

AE.

(I)求證：AB=EC；

(2)若△48C的周長為20cm,AC=9cm,求QC長.

【答案】(1)見解析

⑵5.5cm

【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到%E=EC,AB=AE,等量代換證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的周長公式得到j(luò)5+3C+/C=2(),根據(jù)=BD=DE計(jì)算,得到答案.

【詳解】(1)證明：YEb垂直平分力C,

AE=EC,

vADA.BC,BD=DE,

.?“力垂直平分8E,

???AB-AE,

AB=EC:

(2)解：，?“5C的周長為20cm,

/.AB+BC+AC=20,

vAC=9cm,

/.AB+BC=11cm，

-AB=EC,BD=DE,

DC=DE+EC=-BE+-EC+-EC

222

=-BC+-AB

22

=^(AB+BC)

=5.5cm.

(1)求證：4D平分NB4C；

(2)如圖2,當(dāng)油紙傘撐開時(shí)，傘的邊緣8,C與點(diǎn)。在同一直線上，若140。，/4。=120。，求NFD4

的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)50°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

(1)證明"EO且U/TYSSS),則/小，即可證明；

(2)先由三角形的外角性質(zhì)求出/“。七，再由全等三角形的對應(yīng)角相等求解即可.

【詳解】(1)證明：???力后二/產(chǎn),?！?二。尸,力。=力。，

絲△力/Q(SSS),

：.乙日2=NFAD、

(2)解：???/歷10=140。，4D平分NB4C,

：.NEAD=L/BAC=7Q°,

2

???4ED=/EAD+ZADE,/BED=120°,

/ADE=/BED-Z.EAD=1200-70c=50c,

v"ED注WD,

:.Z.FDA=NADE=50°.

19.在△川9c中，4。是角平分線.

（1）如圖1,過點(diǎn)。作B4C于點(diǎn)立若N8=35。，ZC=75°,求N4）/的度數(shù).

（2）如圖2,在力。上取一點(diǎn)2（不與兒。兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)、E作EFJ.AC于點(diǎn)F,寫出N4,ZC,NAEF

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）55。；

（2"B+NC=2NAEF,理由見解析.

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理.

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N8.4C=70。，根據(jù)角平分線的定義得到/。。=35。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理計(jì)算即可；

（2）根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理得到/。。=90。-根據(jù)角平分線的定義得到

ZBAC-i800-2Z.4EF,進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到,NC,尸之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】（1）???N8=35。，ZC=75°,

Z.BAC=180°-ZB-ZC=180°-35°-75°=70°,

???力。是角平分線，

Z.CAD=ABAD=-ABAC=-x7O°=35°,

22

?:DFJ.AC,

:.ZADF=180°-90°-35°=55°；

（2）NB+NC=2ZAEF,理由如下：

vEFlAC,

."C4D=900-N4EF,

???力。是角平分線，

ABAC=2/CAD=180°-2ZJEF,

VZ5/1C+Z^+ZC=I80O,

180。-2/4所+N4+NC=180。，

BPNB+NC=2N/1EF.

20.如圖，點(diǎn)8在線段4c上，點(diǎn)E在線段8。上，08為“以的高，AB=DB,EB=CB.

⑴求證："BE當(dāng)2BC；

（2）如圖：BF1AE于F,86-1。。于6,探究而'與4G的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析

（2）BF=BGRBhBG,證明見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)：

（I）利用SAS證明△力BEg即可：

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4E=C。，￡痣=￡收，再rflg爐可得8"=8G,

再證明RAH于4R△aG,可得NEBF=NCBG,即可解答.

【詳解】（1）證明：為△4CZ）的高，

:./.ABE=ZCBD=90°,

在RtACBD和RtA￡5J中，

vAB=DB,4ABE=/CBD=9N,EB=CB,

.?.△.48七三△D?C(SAS)；

(2)解：BF=BG且BF工BG,證明如下:

?:“BEmDBC,

=

：.AE=CD,SA4BES^DBC,

vBFA.AE,BGLCD,

.」于x左=-BGxCD、

22

:.BF=BG,

在RlABEF和Rt^BCG中,

VEB=CB,BF=BG,

.?網(wǎng)薪?△辦（H_）,

NEBF=ZCBG,

Z.EBF+ZSG=ZCBG+ZEBG-ZCED=90°,

即BFS.BG,

綜上所述，8尸與8G的關(guān)系為8尸=8G且8/J.8G.

21.已知：OP平分NMON,點(diǎn)、A,8分別在邊。W,ON上,且NO力0+NO8P=180。.

(1)如圖1,當(dāng)/040=90。時(shí)，求i正：OA=()B；

(2)如圖2,當(dāng)0。＜/。叱＜90。時(shí)，作尸C_LOM于點(diǎn)C.求證：

①PA=PB；

②請直接寫出04OB,力。之間的數(shù)量關(guān)系為—.

【答案】(1)詳見解析

(2)①詳見解析；(2)OA-OB=2AC

【分析1本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，線段的和與差

等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上性質(zhì).

(1)根據(jù)角的和差得出N01P=N04尸=90。，根據(jù)角平分線定義得出/尸。4=/尸。4,證明

公OPBgAOPA,即可得出結(jié)論；

(2)①過點(diǎn)尸作尸O_LON于點(diǎn)O,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和同角的補(bǔ)角相等，證明△尸8。絲△R4C,即可得

出結(jié)論；

②艱據(jù)得出的相等線段，利用線段的和差即可表示出數(shù)量關(guān)系.

【詳解】(1)證明：???/Q4P+N。4P=180°,NQ4尸=90°,

NOAP=NOBP=90°,

?：OP平分4MoN,

"OB=APOA,

vOP=OP，

.?.△OPBaOPA(AAS),

:.OA=OB；

(2)解：①如圖，過點(diǎn)P作尸。_LOV于點(diǎn)

N/

“CAM

圖2

???OP平分乙WON,且PC1OM,PD1ON,

PC=PD,

???NOBP+NPBD=180°,NOAP+NOBP=180°,

Z.PBD=Z.PAC,

?：/PCA=NPDB=9M,

:oPBD知PAC(AAS),

:.PA=PB；

②?：4PBDaPAC,

'?AC-BD,

???PC1OM,PDION,

:.ZPDO=4CO=驕,

由①得PC=PD,且。尸二O尸，

：.OC=OD,

.'.OB=OD-BD=OC-AC=OA-2AC,

：.OA-OB=2AC.

22.如圖，點(diǎn)尸、。分別是邊長為4c〃?的等邊“8C邊力&BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)夕從頂點(diǎn)力沿力B向4點(diǎn)運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)。同時(shí)從頂點(diǎn)4沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們的速度都為lc〃"s,當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為，秒，連接力。、CP交于點(diǎn)M；

A

(1)求證：“BQ知CAP；

(2)點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCWQ變化嗎？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

(3)當(dāng)/為何值時(shí)JBQ是直角三角形？

【答案】(1)見解析

(2)不變，NCMQ=60。

48

(3)當(dāng)?shù)?秒或第三秒時(shí)，APB。為直角三角形

JJ

【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)可知〃5=/IC,NB=NCAP=60。,結(jié)合“尸-3。即可得證；

(2)由△力PC四△8Q4知/8彳。=/力”，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得NCMQ=60。；

(3)可用，分別表示出8P和股，分々。8=90。和N8PQ=90。兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可

得到關(guān)于/的方程，則可求得,的值.

【詳解】(1)解：???△48C是等邊三角形

AB=AC,/8=NC4尸=60。，

又由條件得4P=8。，

在＞8。和AC/IP中

AB=CA

?ZB=/CAP,

BQ=AP

.?.△ABQ%CAP（SAS）.

（2）NCM。的大小不變，NCM0=6O。，

理由如下：

由（1）知△力4。且△。尸，

:.ABAQ=NACP,

Z.QMC是“MC的一個(gè)外角，

：,Z.CMQ=/ACP+NCAM=NBA。+NC4M=NBAC=60°,

.?./CM。=60。.

(3)由題意知彳P=80=，，PB=4-t

①當(dāng)NP08=9O。時(shí)，

???N8=60°,

4

:.PB=2BQ,得4T=2/,解得，=相

②當(dāng)/〃尸。=9。"時(shí)，

???4=60。，

:.BQ=2BP,得/=2(4-/),解得/=：；

???當(dāng)?shù)?鼻8秒或第三秒時(shí)，△尸8。為直角三角形.

【點(diǎn)評】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性

質(zhì)、外角的性質(zhì)、分類討論思想及方程思想等知識(shí).

23.【教材呈現(xiàn)】

(I)如圖1，連接△XBC的頂點(diǎn)力和它所對的邊8。的中點(diǎn)。，所得線段力。叫做△力8C的邊8c上的中線.寫

出圖1中的一個(gè)等量關(guān)系

【嘗試感悟】

(2)小明學(xué)了中線這個(gè)知識(shí)后，遇到這樣一個(gè)問題：在△4BC中，48=8,AC=6,。是8C的中點(diǎn)，求BC

上的中線力。的取值范圍.于是小明在小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2,延長力。到

E,使DE=4D,請完成證明“△?。。^△中勿的推理過程.

①求證：MDCdEDB.

②求力。的取值范圍.

【問題解決】

(3)如圖3,在△48。中，N8=90。，AB=2,是△AB。的中線，_L8C,CE=4,RZADE=90°,AE

圖I圖2圖3

【答案】(】)8O=CQ

(2)①見解析；②1<AD<7

(3)6

【分析】本題主要考查了中線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)和判定,

構(gòu)造全等三角形來解決中線的取值范圍和求解線段長度的問題，構(gòu)造輔助線是解本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中線的定義求解即可.

(2)①利用已知條件證明△4。(*2\瓦加即可；②根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得"-"<就<"+4￡,再

用全等三角形的性質(zhì)可得的取值范圍.

⑶延長力。交EC的延長線于區(qū)求證“8。包尸。(ASA),可得出。/=彳8=2,4。=。尸，再利用垂直

平分線的性質(zhì)即可求得AE的長.

【詳解】(1)解：;力。是△力3C的邊〃。上的中線，

BD=CD,

故答案為：BD=CD；

(2)①由(1)可得BD=CD,

在、EDB和△彳。。中，

DE=AD

<4EDB=ZADC,

BD=CD

瓦加(SAS),

②；"DC/EDB,

BE=AC=6,

在中，48=8,BE=6,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，

niUB-BE<AE<AB+BE,

'/AE=2AD,

8—6<2AD<8+6,

/.1<AD<7；

(3)延長4。交的延長線于尸，如圖所示:

E

'：ABLBC.EFLBC,

/..ZJ5D