20252026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版期末必刷?？碱}之組合

問(wèn)題

一.選擇題(共6小題)

I.已知-4W笛W9(i=1,2,…，10),AI+X2+---+A-IO=5O,則當(dāng)好+%；+…+瓷o取得最大值時(shí)，在月、

JV2、…、XIO這10個(gè)數(shù)中等于-4的數(shù)共有()個(gè).

A.1B.2C.3D.4

2.某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班級(jí)打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，

則不同的選派方法數(shù)為()

A.20B.35C.50D.60

3.長(zhǎng)沙是一座有著悠久歷史和豐富文化底蘊(yùn)的城市，其當(dāng)?shù)孛朗骋勃?dú)具特色.某個(gè)假期期間，一名游客

前往長(zhǎng)沙旅游打卡，現(xiàn)要每天分別從臭豆腐、炸藕夾、剁椒魚(yú)頭、辣椒小炒肉、醬板鴨、糖油耙耙這6

種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗(選擇的2種美食不分先后順序)，若三天后他品嘗完這6種美食，則這三

天他選擇美食的不同選法種數(shù)為()

A.90B.120C.150D.180

4.某學(xué)術(shù)協(xié)會(huì)收到5篇論文，需要分配給3名專家進(jìn)行評(píng)審，每名專家至少評(píng)審I篇，每篇論文由1名

專家獨(dú)立評(píng)審，則不同的分配方式共有()

A.60種B.90利?C.120種D.150種

5.設(shè)正整數(shù)〃=。0?2°+。|?2+3+濃-1?2人1+。92”,其中山€{0,1},記3(〃)=ao+a\+-+akf則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是()

A.3(10)=2.

B.a)(16n+5)=a)(4n+3).

C.0)(8〃+5)=3(4〃+5).

D.若〃V256且3(n)=3,則符合條件的〃有56個(gè).

6.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去

一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方

法種數(shù)為()

A.72B.96C.114D.124

二,多選題(共3小題)

(多選)7.小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，記事件4為“恰有兩人所去景

點(diǎn)相同”，事件8為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）

A.這四人不同的旅游方案共有64種

B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種

C.P（8M）=t

14

D.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是不

（多選）8.在樹(shù)人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一筆獎(jiǎng)的學(xué)生排

成一排合影，則（）

A.3名男生排在一起，有6種不同排法

B.2名女生排在一起,有48種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法

D.女生不站在兩端，有108種不同排法

（多選）9.為弘揚(yáng)我國(guó)古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃在暑假開(kāi)設(shè)“禮、樂(lè)、射、

御、書(shū)、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程.則（）

A.甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法

B.甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案

C.恰有三門課程沒(méi)有被三名同學(xué)選中的選課方案有120種

D.若有A,B,C,D,E五名教師教這6門課程，每名老師至少教一門，且A老師不教“數(shù)”，則有

1440種排課方式.

三,填空題（共4小題）

10.分會(huì)場(chǎng)模式是央視春晚的長(zhǎng)期傳統(tǒng)，旨在擴(kuò)大節(jié)目覆蓋面，增加觀眾互動(dòng)性，同時(shí)展示各城市獨(dú)特的

歷史人文亮點(diǎn)，今年央視春晚的四個(gè)分會(huì)場(chǎng)分別是武漢、重慶、無(wú)錫和拉薩，中央電視臺(tái)選派6名記者

去四個(gè)分會(huì)場(chǎng)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少分配一名記者，則所有不同的分配方案有種.

11將9個(gè)互不相同的向量々=（?yi）,xi,2.4）,/=1,2.…，9埴入如圖所示3X3的方格

中，每個(gè)方格填一個(gè)向量，使得每行、每列的三個(gè)向量之間兩兩都不共線，則不同的填法種數(shù)

是.

12.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為6的正整數(shù)數(shù)列佃〃｝滿足m=3,且四+i2G（1后火W5,依N）,若。6為不大于10的偶數(shù),

則符合條件的數(shù)列｛〃〃｝共有個(gè).

13.2025年，上海合作組織峰會(huì)、2025夏季達(dá)沃斯論壇雙主場(chǎng)齊聚天津！現(xiàn)需將6名工作人員安排到“內(nèi)

賓接待”、“會(huì)議保障”、“媒體宣傳”三項(xiàng)工作，每人必須安排且只能安排一項(xiàng)工作，若“內(nèi)賓接待”安

排2名工作人員,“會(huì)議保障”、“媒體宣傳"至少安排I名工作人員，則不同的安排方法有種

（用數(shù)字作答）；若三項(xiàng)工作各安排2人，則甲和乙安排相同工作的概率為.

四.解答題（共2小題）

14.組合恒等式是一類含有組合數(shù)的恒等式，其結(jié)構(gòu)工整精美，是數(shù)學(xué)園林中的一組瑰寶.其證明方法有

很多，有構(gòu)造計(jì)數(shù)模型法（算兩次），構(gòu)造函數(shù)法及數(shù)學(xué)歸納法等等.

請(qǐng)根據(jù)條件解決以下問(wèn)題：

（1）求證：Ch+C*+i=C臟;

（2）設(shè)求證：￡儲(chǔ)C，C；=C112n一4

（3）求證：4+3哈+1+5喘+2+…+（加+1）緇+n=（2m+l）$郭+1+儲(chǔ)丸+2,"?，

（提示：證明過(guò)程中，可能會(huì)用到以下公式：（。?力（/"+明…從7）,以旄R,

nGN*）.

15.甲乙丙丁戊五個(gè)同學(xué)

（1）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同的排列方法？

（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同排列方法？

（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，共有多少種不同游覽方法？

（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？

20252026學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之組合

問(wèn)題

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CDADCC

二.多選題（共3小題）

題號(hào)789

答案CDBCBCD

一.選擇題（共6小題）

1.已知-4WxW9（z=l,2,?,,,10）,xi+x2+…+.wo=5O,則當(dāng)*+底+…+*（）取得最大值時(shí)，在川、

X2、…、X1O這1（）個(gè)數(shù)中等于-4的數(shù)共有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解.

【答案】C

［分析］根據(jù)題意可得要使平方和君+以+…+Ho最大，則應(yīng)讓盡可能多的數(shù)取區(qū)間端點(diǎn)（-4或9）,

從而，建立不等式，即可求解.

【解答】解：要使平方和好+據(jù)+…+竹。最大，在固定和的情況下，根據(jù)平方和的性質(zhì)，應(yīng)讓盡可能

多的數(shù)取區(qū)間端點(diǎn)（?4或9）,

因?yàn)槎它c(diǎn)處的平方值更大，且數(shù)之間差距越大平方和越大.

假設(shè)k個(gè)數(shù)取-4,10-k個(gè)數(shù)取9,則總和為：?41+9（10-&）=90-132=50,

解得上=告k3.07,非整數(shù)，說(shuō)明無(wú)法全取端點(diǎn)，需調(diào)整1個(gè)數(shù)為中間值M-4<r<9）,使總和為50.

設(shè)％個(gè)數(shù)取-4,9-A個(gè)數(shù)取9,1個(gè)數(shù)取/,

則-必+9(9-4)+/=50,所以1=13八31,

由-4<f<9,得-4C13A-31V9,所以27<13左<40,所以女=3,

此時(shí)，=13X3?31=8,符合蕓件.

故取?4的數(shù)有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

2.某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班級(jí)打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，

則不同的選派方法數(shù)為（）

A.20B.35C.50D.60

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；排列組合：運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用分步乘法原理結(jié)合條件即得.

【解答】解：根據(jù)分步乘法原理由題可得不同的選派方法數(shù)為或x廢=60（種）.

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.長(zhǎng)沙是一座有著悠久歷史和豐富文化底蘊(yùn)的城市，其當(dāng)?shù)孛朗骋勃?dú)具特色.某個(gè)假期期間，一名游客

前往長(zhǎng)沙旅游打卡，現(xiàn)要每天分別從臭豆腐、炸藕夾、剁椒魚(yú)頭、辣椒小炒肉、醬板鴨、糖油耙耙這6

種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗（選擇的2種美食不分先后順序），若三天后他品嘗完這6種美食，則這三

天他選擇美食的不同選法種數(shù)為（）

A.90B.120C.150D.180

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】將6種美食平均分成3組，再排到3天去品嘗即可.

【解答】解；現(xiàn)要每天分別從6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗且三天后他品嘗完這6種美食，

將6種美食平均分成3組，有空咨=15種不同的分法，

該游客每天選擇其中一組美食進(jìn)行品嘗，有房=6種不同的范法，

所以這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為15X6=90種.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

4.某學(xué)術(shù)協(xié)會(huì)收到5篇論文，需要分配給3名專家進(jìn)行評(píng)審，每名專家至少評(píng)審1篇，每篇論文由1名

專家獨(dú)立評(píng)審，則不同的分配方式共有()

A.6()種B.90種C.120種D.15()種

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】先將論文分成3組，再分配給專家.

【解答】解：根據(jù)題意，先將5篇論文分成3組且每組至少一篇，只有兩種分組方法：3,1,1和2,2,

1,

由此分2種情況討論：

若5篇論文分成3,1,I三份.總共有或=10種方法，再將這三份論文分配給三名專家，因此總計(jì)廢x

Aj=60種方法；

若5篇論文分成2,2,1三份.總共有竿=15種方法，再將這三份論文分配給三名專家，因此總計(jì)

15=90種方法.

則共有60+90=150種分配方式.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)正整數(shù)〃=。0?2"+。|?2+…+以-1+伙?2”,其中。作{0,1},記3(〃)=ao+ai+-+ak^則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是()

A.co(10)=2.

B.co(16〃+5)=u)(4〃+3).

C.co(8/7+5)=3(4〃+5).

D.若〃V256且3(〃)=3,則符合條件的〃有56個(gè).

【考點(diǎn)】其他組合形式及計(jì)算.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用的定義可判斷小B的正誤，用特殊值代入可判斷C,列舉法可判斷D的正誤，即可得正

確答案.

【解答】解：對(duì)于A,10=2匚23,所以3(10)=2,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)檎麛?shù)〃=ao?2°+m?2+…+以.1?2*1+以?2*,

245k+3k+4

所以16〃+5=204-2+a0-2+a1-2???+ak^-2+ak-2,

所以3(16/2+5)=3(〃)+2,

123Mk+2

又因?yàn)?幾+3=2°4-2+a0-2+flj-2-+ak_x-2+ak?2,

所以3(4〃+3)=3(/?)+2,

所以co(16n+5)=co(4〃+3),故8正確；

對(duì)于C,13=2°+22+23,9=2C+23,故3(13)=3,a>(9)=2,

即〃=1時(shí)，o)(8n+5)工3(4/i+5),故C錯(cuò)誤;

k_1

對(duì)于D,若〃V256且3(〃)=3,由ri=a。?2°+%?2+…+ak_x-2+ak-2”,

可知；<7(4WN),攵=2時(shí)，芍廢個(gè)，2=3時(shí)，有廢個(gè)，2=4時(shí)，

有廢個(gè)，…，k=7時(shí)，有戲個(gè)，

共有戲+慮+或+程+或+費(fèi)=1+3+6+10+15+21=56,故。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于中檔題.

6.運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,。三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去

一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方

法種數(shù)為()

A.72B.96C.114D.124

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析1根據(jù)題意，用間接法分析：先求所有可能的安排方法，分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理可得所有可能

的安排方法有150種.甲、乙安排到同一個(gè)部門方法有36和，相減可得結(jié)論.

【解答】解；先將5人分二組，再將分成的二組分別安排到三個(gè)不同的部門工作.

間接法：先求所有可能的安排方法，

①第一種分法：有一組3人，另外兩組各1人，共底?a=60種不同的安排方法，

②第二種分法：有一組I人，另外兩組各2人，共廢C32?a=90種不同的安排方法.

，所有可能的安排方法有60+90=150種.

然后計(jì)算甲、乙安排到同一個(gè)部門，

把甲、乙看作1人，總共4人，可能的安排方法有：仁?陽(yáng)=36種，

，滿足上述要求且甲、乙不安排到同一個(gè)部門，則不同的安排方法種數(shù)為150-36=114.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共3小題）

（多選）7.小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，記事件4為“恰有兩人所去景

點(diǎn)相同”，事件8為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（）

A.這四人不同的旅游方案共有64種

B.“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種

C.P（B\A）=l

14

D.“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是二

27

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式；條件概率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯思維.

【答案】CD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出答案；4選項(xiàng)，根據(jù)部分平均分組方法計(jì)算出答案；。選

項(xiàng)，利用排列組合知識(shí)得到〃（A）=36,〃（AA）=6,利用條件概率公式求出答案；力選項(xiàng)，求出四

個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率.

【解答】解：4選項(xiàng)，每個(gè)人都有3種選擇，故共有34=81種旅游方案，A錯(cuò)誤;

8選項(xiàng)，每個(gè)景點(diǎn)都有人去，則必有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人,

故有.禺=36種方案，B錯(cuò)誤;

Al

C選項(xiàng)，恰有兩人所去景點(diǎn)相同，印有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人：另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人,

由8選項(xiàng)可知，/?（A）=36,

又事件A3,即小張去甲景點(diǎn)，另外3人有兩人去了同一個(gè)景點(diǎn)，其余1人去另一個(gè)景點(diǎn)

故"AZ?）=C與GA弓=6,

所以P（8H）=粵祟=〈，。王確；

71（/11O

。選項(xiàng)，“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”，分為2種情況，

第一，有3人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外一個(gè)去另外一個(gè)景點(diǎn)，則有底盤房=24種方案，

第二，2人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外2人去了另一個(gè)景點(diǎn)，故有塞?洛=18種方案，

由人選項(xiàng)可知，這四人不同的旅游方案共有81種,

故''四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率為^=不，。正確.

8127

故選：CD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵.

（多選）8.在樹(shù)人中學(xué)舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一筆獎(jiǎng)的學(xué)生排

成一排合影，則（）

A.3名男生排在?起，有6種不同排法

B.2名女生排在一起,有48種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法

D.女生不站在兩端，有108種不同排法

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】

【分析】利用捆綁法可判斷人、&利用插空法可判斷C；利用分步計(jì)數(shù)法可判斷。.

【解答】解：由題意得：

對(duì)于選項(xiàng)4：3名男生排在一起，先讓3個(gè)男生全排后再作為一個(gè)整體和2個(gè)女生做一個(gè)全排，

共有題.題=36種，

A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)"2名女生排在一起，先讓2個(gè)女生全排后再作為一個(gè)整體和3個(gè)男生做一個(gè)全排，

共有心.川=48種,

B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：3名男生均不相鄰，先讓3個(gè)男生全排后，中間留出兩個(gè)空位讓女生進(jìn)行插空，

共有房?福=12種,

。正確：

對(duì)于選項(xiàng)。：女生不站在兩端，先從三個(gè)男生種選出兩個(gè)進(jìn)夕亍全排后放在兩端，共有或?度=6種，然

后將剩卜.的3人進(jìn)行全排后放中間，

共有廉?闋?用=36種，

錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題.

（多選）9.為弘揚(yáng)我國(guó)古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃在暑假開(kāi)設(shè)“禮、樂(lè)、射、

御、書(shū)、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程.則（）

A.甲乙丙三人選擇課程方案有120種方法

B.甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案

C.恰有三門課程沒(méi)有被三名同學(xué)選中的選課方案有120種

D.若有4,B,C,D,E五名教師教這6門課程，每名老師至少教一門，且A老師不教“數(shù)”，則有

1440種排課方式.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】BCD

【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解A,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可求解從根據(jù)排列組合，結(jié)合分類即

可求解CD.

【解答】解：對(duì)于4甲乙丙三人每人都有6種選擇，共有6X6X6=216種，故4錯(cuò)誤，

對(duì)于8,甲乙丙三人選擇同樣課程有6種方案，故B正確，

對(duì)于。，恰有三門課程沒(méi)有被三名同學(xué)選中即3名學(xué)生選擇了不同的三門，故有煦=120種方案，故C

正確，

對(duì)于，若A老師教2門課程，則有《力：=240種，

若人老師教I門課程，且教2門課的老師教“數(shù)力則有瑪盤用=480種，

若A老師教1門課程,且教2門課的老師不教“數(shù)”,則有C纏屐房=720種，

因此一共有240+480+720=1440種方案，故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了計(jì)數(shù)原理，排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三.填空題（共4小題）

10.分會(huì)場(chǎng)模式是央視春晚的長(zhǎng)期傳統(tǒng)，旨在擴(kuò)大節(jié)目覆蓋面，增加觀眾互動(dòng)性，同時(shí)展示各城市獨(dú)特的

歷史人文亮點(diǎn)，今年央視春晚的四個(gè)分會(huì)場(chǎng)分別是武漢、重慶、無(wú)錫和拉薩，中央電視臺(tái)選派6名記者

去四個(gè)分會(huì)場(chǎng)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少分配一名記者，則所有不同的分配方案有」種.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合：運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】先將6名記者分成4組，再分配到四個(gè)會(huì)場(chǎng)，利用分步分類計(jì)數(shù)原理即可得解.

【解答】解：已知中央電視臺(tái)選派6名記者去四個(gè)分會(huì)場(chǎng)進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)報(bào)道，每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少分配一名記者,

先將6名記者分成4組，有3,1,1,1和2,2,1,1兩種分法，

22

共索+專rr=65種，

42

再將4組分配到四個(gè)會(huì)場(chǎng)，共用=24種，

則有(或+g￡)?題=65x24=1560種.

故答案為：1560.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

11.將9個(gè)互不相同的向量由=(刈yi)fxi,yiE{1,2,4),i=1,2,…，9填入如圖所示3X3的方格

中，每個(gè)方格填一個(gè)向量，使得每行、每列的三個(gè)向量之間兩兩都不共線，則不同的填法種數(shù)是

10368..

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】10368.

【分析】先分析共線的向量，再分步排入九宮格中，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可.

【解答】解：由題意)，作11,2,4},因此每個(gè)分量有3種選擇，所以共有9個(gè)不同的向量，

所有可能的向量為：(1，1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),

其中(1,1),(2,2),(4,4)三個(gè)共線；

(1,2),(2,4)兩個(gè)共線；

(2,I),(4,2)兩個(gè)共線；

第一步排(1,1),(2,2),(4,4),第一個(gè)放入有9種方案，

一旦放入，該行該列不能再放其他兩個(gè)，

則第二個(gè)放入有4種方案，第三個(gè)放入有1種方案，則第一步共有9X4X1=36種；

第二步排(1,2),(2,4),第一步結(jié)束后，每行每列都有一個(gè)向量，

則第一個(gè)放入有6種方案，第二個(gè)放入有3種方案，則第二步共有6X3=18種；

第三步排(2,1),(4,2),排位第一、第二步后剩余4個(gè)宮格，

剩余的宮格排布主要有三種情況，

情況h

4

3

12

按序號(hào)排入共有4X2!=8種，

情況2,

3

4

12

按序號(hào)排入共有4X2!=8種，

情況3,

23

4

1

按序號(hào)排入共有4X2!=8種，

所以第三步共有8種；

第四步排(1,4),(4,1)共有2種；

綜上，共有36X18X862=10368種.

故答案為：10368.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及向量共線的判斷，屬于中檔題.

12.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為6的正整數(shù)數(shù)列｛如｝滿足m=3,且個(gè)分(1W&W5,依N),若為不大于10的偶數(shù),

則符合條件的數(shù)列｛m｝共有496個(gè).

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；數(shù)列的單調(diào)性；組合及組合數(shù)公式.

【專題】計(jì)算題：方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解.

【答案】496.

【分析】根據(jù)題意，先確定數(shù)列中。6的值，再利用組合知識(shí)，即可得到結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意,正整數(shù)數(shù)列｛m｝中，若小=3,且次+12以(IWAW5,&WN),

而46為不大于10的偶數(shù)，則46可取的值為4、6、8、10,

分4種情況討論

當(dāng)46=4時(shí)，。1=3,則02,43,04,45可以取3或4,且逐項(xiàng)不減小,

此時(shí)滿足條件的數(shù)列僅“｝的個(gè)數(shù)有5個(gè)；

當(dāng)46=6,41=3,則“2，43，（14,45可以取3或4或5或6,且逐項(xiàng)不減小，

此時(shí)滿足條件的數(shù)列｛〃〃｝的個(gè)數(shù)有纏+盤x3+Gx3+盤=35個(gè)；

當(dāng)“6=8,6/1=3,則42，。3,44,。5可以取3或4或5或6或7或8,且逐項(xiàng)不減小，

此時(shí)滿足條件的數(shù)列｛〃〃｝的個(gè)數(shù)有以+/x3+鬣x3+廢=126個(gè)；

當(dāng)46=10,41=3,則42,43,44,。5可以取3或4或5或6或7或8或9或10,

且逐項(xiàng)不減小，此時(shí)滿足條件的數(shù)列｛〃“｝的個(gè)數(shù)有噂+或x3+或x3+己=330個(gè)；

綜上，滿足條件的數(shù)列（“〃｝共有5+35+126+330=496.

故答案為：496.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

13.2025年，上海合作組織峰會(huì)、2025夏季達(dá)沃斯論壇雙主場(chǎng)齊聚天津！現(xiàn)需將6名工作人員安排到“內(nèi)

賓接待”、“會(huì)議保障”、“媒體宣傳”三項(xiàng)工作，每人必須安排且只能安排一項(xiàng)工作，若“內(nèi)賓接待”安

排2名工作人員，“會(huì)議保障”、“媒體宣傳”至少安排1名工作人員，則不同的安排方法有210種

（用數(shù)字作答）；若三項(xiàng)工作各安排2人，則甲和乙安排相同工作的概率為.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用：古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】210,i

【分析】若“內(nèi)賓接待”安排2名工作人員，“會(huì)議保障”、“媒體宣傳”至少安排1名工作人員，則分

為兩類；一類：每項(xiàng)工作各有兩人，二類：內(nèi)賓接待”安排2名工作人員，另外兩項(xiàng)工作人數(shù)為1和3,

結(jié)合排列組合即可求解；

先三項(xiàng)工作各安排2人，再甲和乙安排相同工作的情況，結(jié)合古典概率公式即可求解.

【解答】解：將6名工作人員安排到“內(nèi)賓接待”、“會(huì)議保隙”、“媒體宣傳”三項(xiàng)工作，每人必須安排

且只能安排一項(xiàng)工作，

若“內(nèi)賓接待”安排2名工作人員，“會(huì)議保障”、“媒體宣傳”至少安排1名工作人員，

則不同的安排方法有分為兩類；

一類：每項(xiàng)工作各有兩人，則共有此底戲=90種，

二類：內(nèi)賓接待”安排2名工作人員，另外兩項(xiàng)工作人數(shù)為1和3,則有四嵬心二120種，

故有90+120=210種；

若三項(xiàng)工作各安排2人，則安排的方法有底戲廢=90種，

則甲和乙安排相同工作的情況有瑪盤戲=18種，

甲和乙安排相同工作的概率為總=

1

故答案為：210,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，還考查了古典概率公式，屬于中檔題.

四,解答題(共2小題)

14.組合恒等式是一類含有組合數(shù)的恒等式，其結(jié)構(gòu)工整精美，是數(shù)學(xué)園林中的一組瑰寶.其證明方法有

很多，有構(gòu)造計(jì)數(shù)模型法(算兩次)，構(gòu)造函數(shù)法及數(shù)學(xué)歸納法等等.

請(qǐng)根據(jù)條件解決以下問(wèn)題：

(1)求證：C7+C7+1=C器？；

(2)設(shè)區(qū)力求證：￡%=C112f

(3)求證：4+3%+i+SC,+…+(2n+1)印+〃=(2m+1)C^+1+制修+2,，〃，〃WN：

(提示：證明過(guò)程中,可能會(huì)用到以下公式:/(a?b)(L]+明”加0廠3戶+…*1),—R,

〃6N*).

【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：歸納法：排列組合：運(yùn)算求解.

【答案】證明：⑴因?yàn)楣?C產(chǎn)

=S+l)f』)!(m+l+i)

一(m+l)!(n-7n)!("+D

_(九+1)!—/m+l

一(m+l)!(n-m)!-4+i'

所以。7+毓+1=

(2)因?yàn)镃、C；=

_汨1

一亙(/一》(-—/)!

_川.(九-i)！_('i「JT

一i!-(n-i)!G-i)b(n-j)!—nn-i，

即c7C=c}1c二.

則琳C何=琳eke*(:皿

令尸八力則尸0,1,2,…，〃-i,可得以2%*二=以手n心_,二以2日可

所以E%以C=>2Z.

(3)設(shè)S(n)=%+3*+]+5維+2+…+(2n+l)%+“，nEN\

利用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式，過(guò)程如下:

當(dāng)〃=1時(shí)，左邊為eg+3%+]=l+3(m+1)=3m+4；

右邊為(2巾+1)。黑及+C黑普=2m+l+m+3=3m+4,即左邊=右邊，等式成立:

假設(shè)當(dāng)〃=k,依N*時(shí),等式成立,即S(k)=(2m+1)嗡:公1+C密公2；

當(dāng)〃=&+l時(shí)，則S(HI)=S(&)+(2k+3)c*%+1

=(2m+l)著+i+C?翟+2+(2&+3)GX+k+i，

FF1興1rm+11rm+2一r*m+2曰[]「m+2—「m+2「m+l

⑷十Lm+k+i—匕9+"+2'r|J^ni+〃+1-cm4-k4-2—cm4-k4-l>

則S(k+1)=(2〃?+1)(緇腎+2一。料卷1)+C落ez+(2"3)C辨卷1

=(2m+1)C整+2-(2m+1)黨晶】+黨意+2+(2k+3)C。

=(2m+1)嘯晨包+Cm+k+i+C麒+i+C常公2+2(〃+l?+k+1-2(m+1)C^+1=(2m+

l)CHl投+2+^m+k+2+C!H：K+2+2[(k+1)C幕+k+,—(m+1)C鑿"+1]

=(2〃?+l)C群工2+CM品+2[(HI)C-m+1)C制+J,

(A+l)(m+k+l)!

又囚為(k+l)C/+ai=m!?+l)!

=(m+l)(m+k+l)!1)C黜+1,

(m+l)!/c!=(m+

可得S(/c+1)=(2m+1)%野+2+。黑真+3；

綜上所述：對(duì)任意〃6N*均有S(n)=(2m+1)(:制+i+黨?記+2,

所以C-十5G4+2+…+(2n+1)C3rl=(2m+1)C；雷十]+C^+2.

【分析】(l)根據(jù)題意結(jié)合組合數(shù)公式分析證明即可;

(2)整理可得以。=或結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)分析證明即可;

(3)利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)(1)中的結(jié)論以及(k+DCM+n】=(m+l)(■笈+i分析證明.

n!n!

【解答】證明：(1)因?yàn)橹?CTI=+(m+i)!(「m_i)!

n!

(m4-1+n-m)

一(m+l)!(n-m)!

n!

-(m+l)!(n-m)!5+1)

(九+1)!_「m+l

"(m+l)!(n-7n)!-Ln+1'

所以優(yōu)+C『+i=。黏】.

⑵因?yàn)榈?取用」!

〃0T)!

n!1

7!"(j-i)l(n-jy.

n!(n-i)!

f!-(n-i)!'Q-O!(n-y)!=以。仁?

即以G=4cM.

則2%期=E%ci1c口=c}1a=t以二,

令，=j-3則，=0，1，2,…，可得42'c/'zj=QC：_i=以2吁，,

所以￡片cWc/=c/2i.

⑶設(shè)S(九)=*+3叫+1+5鬣+2+?一+(2八+1)邙+八，畿”,

利用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式，過(guò)程如F：

當(dāng)〃=1時(shí)，左邊為C2+34+1=1+3(m+1)=3m+4；

右邊為(26+1)?！?+。盟3=2m+1+租+3=3血+4,即左邊=右邊，等式成立；

假設(shè)當(dāng)〃=匕幺N*時(shí),等式成立,即S(k)=(2m+1)C寤認(rèn)+C常公2；

當(dāng)〃=k+l時(shí)，則S(A+I)=S(k)+(2火+3)

=(2〃?+1)C^+1+C^+2+(2k+3)C*+k+],

出平rm+1I_rrn+2nn/-m+2_rm+2

1/^m+2LfuJLLpm+1

⑷々^m+k+it^m+k+l—m+k+2lm+/c+l-m+k+2~^m+k+l'

則SJ+l)=(2〃?+l)(制擒2-緇M+i)+緇輸2+(2計(jì)3)C麒+1

=(2m+DC膝+2-Qm+1)C^+1+C^+2+(2k+3)C-+k+1

=(2m+1)C黑公2+緇，+1+C累晨+C寤邕+2(k+l?+fe+1-2(m+1)C黑3]=(2機(jī)4-

1)C黑窘2+C黑心2+C寤我+2l(/c+-(m+1)喘濕+J

=<2m+l)C界公2+黨暴+3+2[(Hl)CJH+k+1-(m+1)C爵。+J,

(k+l)(m+k+l)!

又因?yàn)?k+i)q?+k+i=

m!?(k+l)!

(m+l)(?n+k+l)!

(m+l)!永!=(m+1)案"+1

可得S(k+1)=(2m+，)C/投+2+驍+3；

綜上所述：對(duì)任意區(qū)N*均有S(n)=(2m+1)C制+1+CS；+2,

所以G%+3皓+1+5篇+2+…+（2n+l）Q+n=（2m+1）C^+1+C^+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)公式的證明、組合數(shù)的性質(zhì)等，采用數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題.

15.甲乙丙丁戊五個(gè)同學(xué)

（1）排成一排，甲乙不相鄰，共有多少種不同的排列方法？

（2）排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同排列方法？

（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，共有多少種不同游覽方法？

（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，共有多少種不同分配方法？

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解.

【答案】（1）72；

（2）78；

（3）243；

（4）150.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用不相鄰問(wèn)題插空法列式計(jì)算即得.

（2）求出無(wú)限制條件的排列數(shù)，去掉甲在首位或者乙在末位的排列數(shù)即可.

（3）根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.

（4）把5人按1：1：3或2：2：1分組，再把每一種分組方法安排到三個(gè)城市即可得解.

【解答】解：（1）排成一排，甲乙不相鄰，先將丙丁戊排成一列有屬種方法，再將甲乙插空隙中，有種

方法，

所以共有不同排法數(shù)為題&=6x12=72（種）.

（2）排成一排，無(wú)限制條件的排列有鹿，甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共

有2川-北，

則甲不在首位，乙不在末位的不同排法有庵-2川+屑=7B（種）.

（3）去三個(gè)城市游覽，每人只能去一個(gè)城市，可以有城市沒(méi)人去，因此每個(gè)人都有3種選擇，

所以不同游覽方法有3$=243（種）.

（4）分配到三個(gè)城市參加活動(dòng)，每個(gè)城市至少去一人，則先把5人按1：1：3分組，有或種分組方法，

C2c2z>2

按2：2：1分組，有專種分組方法，因此不同分組方法數(shù)為底+專，

A2展

再把每一種分組安排到三個(gè)城市，有心種方法，

43O+X6

所以不同分配方法種數(shù)是（母+2350

25)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.數(shù)列的單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

數(shù)列的單調(diào)性是指數(shù)列是遞增還是遞減的性質(zhì).

由于數(shù)列俗〃｝中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)〃是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列｛4〃｝是從正整數(shù)集N*(或它的有限子

集［1,2,…，〃｝)到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)〃，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的笫〃項(xiàng)4〃，記為4〃=

/(〃).也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值/(I)，/

(2),/(〃)，…就是數(shù)列｛m).

【解題方法點(diǎn)撥】

-定義判斷：根據(jù)數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式判斷其單調(diào)性.

-遞推關(guān)系：利用數(shù)列的遞推關(guān)系分析其單調(diào)性.

-數(shù)列差：分析數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差-an的符號(hào)判斷單調(diào)性.

【命題方向】

常見(jiàn)題型包括利用定義、遞推關(guān)系、數(shù)列差判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析.

下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是()

A.(ln=1-〃

1

BDg=不

C.an=2n2-5n+l

(n+3,n<2,

12〃一1,n>2

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對(duì)于A,加=1-〃,有?！?1■曲=1-(/?+1)-l+n=-1,是遞減數(shù)列,不符合題意,

對(duì)于8,an=<0,是遞減數(shù)列，不符合題意,

對(duì)于C,〃〃=2/尸-5〃+1,Wan+i-an—2(n+1)2-5(n+1)+1-2?2+5n-1=4n-3,由于〃21,則a〃+i

-an=4n-3>(),是遞增數(shù)列,符合題意,

對(duì)于。，%,=『+?'n"2,,則“2=5,“3=4,不是遞增數(shù)列，不符合題意,

n>2

故選：C.

2.古典概型及其概率計(jì)算公式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：

（I）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；

（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.

2.古典概率的計(jì)算公式

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果芍〃個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率

都是匕

n

如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=?=，］？紇要"

【解題方法點(diǎn)撥】

1.注意要點(diǎn)：解決占典概型的向題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因比要注意清楚以下三個(gè)方面：

（I）本試驗(yàn)是否具有等可能性；

（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

（3）事件A是什么.

2.解題實(shí)現(xiàn)步驟：

（I）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料?，加深理解題意；

（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；

（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)也

（4）利用公式P（4）=m求出事件A的概率.

3.解題方法技巧：

（I）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

<2）利用分析法求解古典概型.

3.條件概率

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

I、條件概率的定義：對(duì)于任何法個(gè)事件A和從在已知事件A發(fā)生的條件下，事件/發(fā)生的概率叫做條

件概率，用符號(hào)P(W)來(lái)表示.

(2)條件概率公式：稱為事件A與8的交(或積).

(3)條件概率的求法：

①利用條件概率公式，分別求出P(A)和尸(AB),得P(8|A)=鑼黑，其中P(4)>0；

②借助占典概型概率公式，先求出事件4包含的基本事件數(shù)〃[4),再在事件A發(fā)生的條件下求出事件4

包含的基本事件數(shù)，即〃(AGB1,得尸(8|A)=當(dāng)黑

71vv

【解題方法點(diǎn)撥】

典例I：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生I到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和仇在為偶數(shù)的條件下，|〃-司>2發(fā)生的

概率是:.

解:由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)"和兒基本事件的總個(gè)數(shù)是6X6=36,即

(小b)的情況有36種，

事件為偶數(shù)”包含基本事件：

(I,1),(1,3),(L5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6)

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18個(gè),

“在"6為偶數(shù)的條件下，|a-目>2”包含基本事件：

(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)共4個(gè)，

4

故在a+b為偶數(shù)的條件下，-b\>2發(fā)生的概率是尸=需='

36

故答案為：|

9

典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班由3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，

321

答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得。分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為:，乙隊(duì)每人答對(duì)

432

的概率都是|.設(shè)每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響，用彳表示甲隊(duì)總得分.

(I)求隨機(jī)變量《的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(?);

(II)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.

分柝：(I)由題設(shè)知1的可能取值為0,1,2,3,分別求出產(chǎn)解=0),P(^=1),尸解=2),P(^=3),

由比能求出隨機(jī)變量f的分布列和數(shù)學(xué)期望E0).

(II)設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件4,“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B,分別求出P(A),P(A8),

再由P(4/4)二夕翳，能求出結(jié)果.

解答：(I)由題設(shè)知彳的可能取值為0，1,2,3,

3711

P(2=0)—(1-