2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.I可答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：北師大版必修第一冊第一章~第五章（第I章15%,第2章30%,第3章20%,第4章

20%,第5章15%）.

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若集合M={x|T〈xvl},/V=hv^-<ot,則McN等于（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|0<x<ijC.{x|0<x<l}D.{x|-l<x<0}

1.【答案】B

【解析】因?yàn)镹={x|0Kx<2},M={X|-1<A<1},所以MCN={X[0<X<1}.

x-2

故選:B.

2.下列命題中，真命題是（）

A.若且x+y>2,則x,），至少有一個(gè)大于1B.VXGR,2X>X2

C.a+A=0的充要條件是g=-lD.3xeR,x2+2<0

b

2.【答案】A

【解析】當(dāng)XW1且時(shí)，x+y<2,所以當(dāng)無+）>2時(shí)，x,'至少有一個(gè)大于1,所以A正確；

當(dāng)x=7時(shí)，2“<（-I））所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)。=0/=0時(shí)，可知。+。=0無法推導(dǎo);=-1,所以不具備充分性，C錯(cuò)誤；

VXGR,X2>0,所以f+222,所以D錯(cuò)誤;

故選：A.

3.已知2<"3,-2<Z?<-1,則俞的取值范圍是（）

A.t2,-；,B.C.(-3,-1)

D.(1,3)

3.【答案】D

,,11,

【解析】V-2<￡><-1,:A<\b\<2,A2<|bi<

又,2<av3,..1<后<3

故選：D.

4.己知a=log°.826b=2.6°\c=0.8"9,則。也c的大小關(guān)系為()

A.ci>b>cB.c>d>bC.b>c>aD.c>b>a

4.【答案】C

【解析】?*'?=log082.6,底數(shù)0.8<1,

.??對數(shù)函數(shù)/（x）=1O&.8x單調(diào)遞減，

又2.6>1,a=logos2.6〈logos1=0?

?"=2.6°9,底數(shù)2.6>1,

二?指數(shù)函數(shù)〃"=26,單調(diào)遞增，

又0.9>0,...6=2.6°9>2.6°=1，

?“=0.809,底數(shù)0.8V1,

指數(shù)函數(shù)““=08單調(diào)遞減，

又-.0.9>0./,0<c=O.809<0.8°=I.

:.b>\>c>0>a,

故選：C.

5.（新情景）視力檢查時(shí)通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù).五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法

的數(shù)據(jù)V滿足關(guān)系式L=5+lgV.已知某學(xué)生視力用五分記錄法記錄的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力用小數(shù)記錄法記

錄的數(shù)據(jù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：燉*1.26）

A?0.4B.0.6C.0.8D.1.0

5.【答案】C

【解析】由題意知：L=5+lgV,

當(dāng)L=4.9時(shí)，可得4.9=5+lgV,解得lgV=-0.1,

則-'=薪=贏"我"叫

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為08

故選：C.

6.已知函數(shù)/（x）=l+log“（x-2）（4＞0,且a,1）圖象經(jīng)過定點(diǎn)A（柩〃），若正數(shù)％,y滿足竺+'=1,則

工y

x+y的最小值為（）

A.3+2&B.4+26C.4+2x/3D.5+26

6.【答案】C

【解析】函數(shù)/（x）=1+loga（入-2）（。＞0,aH1）,

令彳-2=1,可得x=3,代入函數(shù)可得所以定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,1）,

代入"+巴=1可得一+—=1，且x＞0,y＞0,

xyxy

M（x+y）|-+-!-|=3+l+^+-＞44-2l^x-=4+2y/3,

y）“yVxv

3vx

當(dāng)且僅當(dāng)一=一,即X=3+Gy=l+75時(shí)，等號(hào)成立，

xy

所以T+N的最小值為4I2G.

故選：C.

7.m知定義域?yàn)椋ā?”）的函數(shù)f⑴滿足對任意內(nèi),/w（O,y）,石工七，都有）1/（、）＞]j⑶=2,

W一再

則不等式/（2x-l）＜2x-2的解集為（）

A.（0,1）CJ：D.（g,3）

7.【答案】C

【解析】由題意知對于任意3，9?（0,+?）,玉工々，不妨設(shè)N＜%，則％2-內(nèi)＞。，

由至④Z至遍＞1得空色上電即-[曾°-以？耳.

X-XyX,_X------------=---------------------＞0

2毛一玉

結(jié)合”―＞。得以業(yè)-辿！＞0,即以巫,?1,

左Mx2xt

設(shè)g(x)=ndi!,“〉o),則該函數(shù)在(o,s)上單調(diào)遞增，且葭3)=%11=1,

x3

則/(21-1)<2%—2即1<1,即g(2x-1)<g⑶，

2,V-1

故Ov2x—lv3,解得g<x<2,即不等式/(2x-l)v2x-2的解集為

故選：C.

8.已知函數(shù)〃x)=[史々若有另一函數(shù)g(.r)=52⑴-2/3)+1-2〃有且僅有3個(gè)不同零點(diǎn)，則

e+2,x<0

常數(shù)。的取值范圍為()

(\5、(23、八(23](\5'

A.—B.—C.—D.—

(21)(34)(34J{27」

8.【答案】D

的圖象:

函數(shù)g(x)=af2(x)-2f(x)+\-2a的零點(diǎn)等價(jià)于方程af2(x)-z/(x)+I-2?=0,

當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程化為-2/⑴+1=。可得"X)=g,

由〃力=3,結(jié)合圖象，可得方程僅有2個(gè)解，此時(shí)不滿足題意；故〃工0；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程化為:/。)-2/0)=0可得〃x)=0或/(力=4,

由f(x)=0可得方程有一個(gè)解為X=1,

由/(x)=4,結(jié)合圖象，可得方程有3個(gè)解，此時(shí)不滿足題意；故。工；；

所以要使得函數(shù)有且僅有3個(gè)不同零點(diǎn)，則滿足/(X)23,

27

由于△二4一44(1-24)=4(2〃—+1)=4+—>0

8

所以二次方程at2-2t+\-2a=0的根僅有一個(gè)滿足壯3,另一個(gè)根/<0,

?>0”0

則滿足（9。-6+1-2〃w0或<9d-6+l-2?>0,解得，〈。吟,

1一2”01-2a>0

綜上〃的取值范圍為品，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知集合A={MaT2+2x+l=0,aeR,xeR},()

A.若IwA,則。=一3B.若。=0,則4有兩個(gè)子集

C.A不可能為0D.若A中至多有一個(gè)元素，則a=0或a之1

9.【答案】ABD

【解析】對于A,若1wA,貝！|x=1是方程渥+2%+2=0的根，所以有。+2+1=0,即。+3=0,解得a=-3,

故A正確；

對于B,若。=0,則方程ad+2x+l=0變?yōu)?x+l=0,解程所以A斗界

2I

此時(shí)A的子集個(gè)數(shù)為)=2,子集為卜；}、0，故B正確；

對于C,當(dāng)awO時(shí)，方程加+2x+l=0是一元二次方程，其判別式△=22—4axl=4—4a,當(dāng)△<(),即

4-4?<0,解得。>1,此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，A=0,故C錯(cuò)誤；

對于D,若A中至多有一個(gè)元素，分兩種情況，

當(dāng)a=0時(shí)，原方程變?yōu)?x+l=0,有一個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足A中至多有一個(gè)元素；

當(dāng)時(shí)，原方程是一元二次方程，要使A中至多有一個(gè)元素，則AKO,即4-4〃工0,解得

綜上，a=0或。之1,故D正確.

故選：ABD.

10.下列選項(xiàng)中正確的是()

A.已知函數(shù)/(f+l)=x、2/-1,則函數(shù)“力的解析式為/?(%)=--2

B.己知一次函數(shù)/a)滿足/(/*))=85+80,則/。)的解析式為/(x)=9x+8

C.已知函數(shù)/(X)滿足/(X)+3/(T)=X2-2X,則“X)的解析式為/(X)=32+X

二,x<0

G,x>oA-

D.已知函數(shù)/(x)=，間加3<0,則第(，))=,x,0^x<1

2x-1,x>1

2y[x-\,X>1

10.【答案】CD

【解析】對于A,/(^+1)=(^+1)2-2,且耐+IHI,所以f(%)=%2-2(%21),故A錯(cuò)誤;

對于B，設(shè)/■(%)=kx+b(k聲0)，則/(/(x))=々(履+力)+6=〃x+奶+〃=81x+8O,

m解利k=9:二;0,則/(x)=9x+8或/(x)=—9x—10,故B錯(cuò)誤;

所以《nV4

kb+/?=80b=8，

時(shí)于C,因?yàn)?(力+3/(-力二/一2]，所以/(_X)+3/(X)=(T『+2X,

/(x)+3/(-x)=x2-2x1

即《)、，：，、，，解得了(丫)=；，+丫，故C正確:

U(r)+3/(x)=(-x)-+2x4

對于D,當(dāng)xvO時(shí)，g(x)=g,此時(shí)g(x)<0,則/(g(x))=/2)=('J

X-

當(dāng)0GW1時(shí)，g(x)=4x,此時(shí)OVg(x)〈l,則/(g(x))=f(?)=4~=x,

當(dāng)4>1時(shí),g(x)=?,g(-r)>l,則f(g(x))=/'(五)=2五一1,

~2,X<0

X，

綜上所述，f(g(H)=?,故DiE確.

2G-l,x>1

故選：CD.

11.已知定義在R上的函數(shù)滿足：①/(X)是偶函數(shù)；②當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>l；③當(dāng)X20,)90時(shí),

/(x+)，)=/(x)/(.y).則()

A./(0)=1B.“X)在［0,技)上單調(diào)遞減

C.不等式〃工)<瑞的解集為(-2,2)D.

“X)的值域?yàn)椋郏?)

11.【答案】ACD

【解析】方法一:對于A,由條件③當(dāng)記0,)亞0時(shí)，/(x+y)=/(x)/(y),

令x=0,y=\,得：/(1)=/(0)/(1),

又由條件②得/⑴>1，?../(O)=l,故A正確；

對于B,取V.rpx2G［0,+oo)，且占<%,

則/($)-/(&)=/(%)-/(內(nèi)+&f)=/(X)-/(N)/(占-%)

=/(百)口f(x2N)］，

,.10<<x2,,x2-xt>0,.,./(x,-x))>l,

.J。)-/㈤<。即/&)</仁)，??J(x)在［0，+8)上單調(diào)遞增，B不正確;

對于c,v/(4)=/(2+2)=/(2)/(2),/(2)>1,

??.不等式fWv瑞等價(jià)于</(2).

又/(力在［0,+8)上單調(diào)遞增，且由條件①得y=/(x)是偶函數(shù)，

?..國<2,???解集為(-2,2),C正確；

對于D,由x>0時(shí),f(x)>l,/(0)=1,且f(x)是偶函數(shù),

故/(%)的值域?yàn)椋?,e),D正確.

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知4=1。832,〃=1。835,則32°"=.

4

12.【答案】y

2uh

［解析】由題設(shè)2〃一)=2log,2-log35=Iog31,則3~=3"行=

55

4

故答案為：

13.已知函數(shù)/3=4￡-4%+2的定義域?yàn)榭葎t函數(shù)g("?)=4"「華的值域?yàn)?/p>

13.【答案】U5,+oo)

【解析】由題設(shè)知，在R上丁=〃7-4x+2N0恒成立,

所以Liro/c，則〃2,2，故f=4"'NI6，

A=16-8/?z<0

所以g(m)=力⑴=r-3在口6,*o)上單調(diào)遞增,故g(⑼e|15,-KO).

t

故答案為：口5,+oo).

14.設(shè)/為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)/。)=1。1+>/7幣),式x)=4'+/2,若存在實(shí)數(shù)m方同時(shí)滿足〃a)+/S)=0

和g(G+gS)=0,則實(shí)數(shù)t的取信范圍是.

14.【答案】(-oo,f

【解析】/(x)="“+&+”,所以/(—X)=ln(-X+Vx2+1),

所以/(??+/*)=。，

所以/*)為奇函數(shù)，所以a+b=0.

g(a)+g(b)=4"+入2“+4-“+八2-"=0,即4“+4~0+*2"+2-”)=0,

令5=2"+2-"22，

4a+4'a?-22

I=-------=------=-5+—,

2a+2-ass

2

/=-S+—在[2,一)上為減函數(shù)，所以

s

故答案為：(F,T].

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

(1)計(jì)算e』3-iog43.1og32+(0.125)；的值;

(2)已知，_fg=2,求〃：+［的值.

15.(13分)

【解析】⑴原式=e'C—螞.螞十］丫=［111

lg41g3⑻32'4=12

(2)因?yàn)門_2，所以a2-a2+2=6.

16.（15分）

已知/（%）=log“x+log/4-x）（。>0,月.awl）,且/⑵=一2.

⑴求。的值及/⑴的定義域；

（2）求73在［1,3］上的最小值.

16.（15分）

【解析】（1）/（2）=log,2Mcgw2=2,即1。民,2=-1,則"會(huì)

由題意得,???0<x<4,的定義域?yàn)椋?,4）.

（2）f（X）=log1x+log,（4-x）=log?（4x-x2）

222

令，力=一/+4.一則）'=bgj,

O的對稱軸：x=-《=^=2,

???，（”在［1,2）上單調(diào)遞增，/⑴在（2,3］上單調(diào)遞減：

???gvl,???>印08『在（0,+8）單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)可知：x?l,2）時(shí)，“X）單調(diào)遞減，xe（2,3］時(shí)，/（力單調(diào)遞增,

?.—）7

17.（15分）

（新情景）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某地政府利用電商平臺(tái)為鄉(xiāng)村進(jìn)行直播帶貨，既方便了人們購物和交流，

又有效地解決了農(nóng)產(chǎn)品銷售困難的問題.為了支持家鄉(xiāng)的發(fā)展，越來越多的人注冊成為某電商平臺(tái)的會(huì)

員進(jìn)行購物和交流.已知該平臺(tái)建立前3年的會(huì)員人數(shù)如下表所示：

建立平臺(tái)年數(shù)X123

會(huì)員人數(shù),（千人）142029

為了描述建立平臺(tái)年數(shù)x（xeN'）與該平臺(tái)會(huì)員人數(shù)y（千人）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

①y=~+/?（?>0）；@y=dlogcx+e（d>0,c>1）；③y=lai'+rn（k>0,a>1）.

.X

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并說明理由，同時(shí)求出該函數(shù)的解析式；

⑵根據(jù)第（I）問選擇的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)平臺(tái)建立f年的會(huì)員人數(shù)將超過2002千人，求/的最小值.

參考數(shù)據(jù)：In2?0.693,hi3?1.099,山5yl.609.

17.（15分）

【解析】(I)從表中數(shù)據(jù)可知，所選函數(shù)必須滿足兩個(gè)條件：增函數(shù)，增長速度越來越快.

因?yàn)槟Ｐ廷贋闇p函數(shù)，模型②漕長速度越來越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個(gè)條件，所

以選擇模型③.

14=版+m女二8

切，解得.

將數(shù)據(jù)代入y二儲(chǔ)'十rn{k>()M>1)可得20=kJ?m=2

29=ka'+m3

a=—

2

所以，函數(shù)為y=8(白)+2,xeN'.

（2）由（1）知/（x）=8（|）+2,xeN「

則8c+2>2002.得（1"。,

ln25031n5+In23x1.609+0.693

t>log250=?13.60

3i,3In3-ln21.099-0.693

Ifl一

2

故f的最小值為14.

18.（17分）

已知函數(shù)/（x）=e'+eT.

⑴若方程/(力=3的兩根為演與與，求西+七的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(2力-珂(力+12,若g(x)的最小值為1,求實(shí)數(shù)。的值;

⑶設(shè)函數(shù)尸(力=/("一e\記尸(x)為F(x)的反函數(shù)，設(shè)函數(shù)〃("=，蛾(尸(x)-1)+-(心)，當(dāng)

x?e,+8)時(shí)，/i(x)>2,求實(shí)數(shù)刑的取值范圍.

18.（17分）

【解析】（1）因?yàn)閑'+eT=3,所以e2'-3e*+l=0,

令$=/,則4應(yīng)為d一3$+1=0的兩根，

X1X2Xl+Xz

所以S]?s2=ee=e=1,

所以為+占=0.

(2)g(x)=e2v+e-2x-2〃(eF尸)+12,

令/=e*+e-x,所以/=e'+e-"N2Je*xe-=2，

當(dāng)且僅當(dāng)e'=e-x，即x=0時(shí)等號(hào)成立，

又因?yàn)?2_2=e2'+eH,

所以了=/一2-為/+12=產(chǎn)-Z7/+10(/22)的最小值為I,對稱軸為，=a,

13

當(dāng)時(shí)，14?4。=1,解得“=與，不符合題意，

當(dāng)。＞2時(shí)，-a2+10=i.解得。=3或。=一3(舍)，

綜上所述。=3.

(3)因?yàn)槭?力=力所以尸(x)=lnx,

所以〃(力="aI+ln(/nv)=ckl(/,u--|+ln(wtv),

令〃=ln("iv),所以)，=e"T+〃22,

因?yàn)?,=e"T+〃在R上是增函數(shù)，且當(dāng)〃=1時(shí)，y=2,

所以〃21,即〃=In(/?it)=lnw4-lnx＞l,

所以Inx在x￡(e,+cc)上恒成立，

所以1一In〃2W1,得〃?21,

故機(jī)的取值范圍為[1,+8).

19.(17分)

(新情景)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镈,對于任意4/￡。(內(nèi)＜與)，均有‘孕＜，字，則稱

X]x2

y=〃x)為定義在D上“p階增函數(shù)”.

⑴若/(x)=2x+K,函數(shù)y=〃x)為定義在區(qū)間(0,y)上的“1階增函數(shù)”，求：實(shí)數(shù)5的取值范圍；

⑵若y=/(X)為定義在區(qū)間(0,+8)上的T階增函數(shù)"，且/("?)=〃J(〃)=4J(S)=二/(〃?+〃+S)=383,

其中0v〃7V〃<s,求證：p+g+r<383；

⑶如果存在常數(shù)對于任意都有“力<5,則稱)=〃刈在D上有上界，問：是否存在常數(shù)

歷，使得對于所有定義在區(qū)間(。,+8)