20252026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期末必刷常考題之抽樣

的基本方法

一.選擇題（共6小題）

1.某地區(qū)有大型商鋪50家，中型商鋪150家.為調(diào)查營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取

一個(gè)樣本容量為20的樣本，則應(yīng)抽取中型商鋪（）

A.5家B.10家C.15家D.20家

2.中國(guó)占代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會(huì)試分南卷、北卷、中卷，按11：7：2

的比例錄取，若某年會(huì)試錄取人數(shù)為400,則中卷錄取人數(shù)為（）

A.40B.70C.110D.150

3.為了了解某地參加計(jì)算機(jī)水平測(cè)試的5000名學(xué)生的成績(jī)，從中抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析.在這

個(gè)問題中，被抽取的200名學(xué)生是（）

A.總體B.個(gè)體C.樣本D.樣本量

4.某班同學(xué)身高的平均數(shù)為方差為$2,其中女生身高制，X2,…，的平均數(shù)為a方差為男生

身高V，”，…，加的平均數(shù)為9，方差為下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若元寸，則寸

B.若S；<S2，則s；<y2<sj

1

C.若機(jī)=〃，則，=*叵+①

c過一-M2msj+nsl

D.若％=y，則11*="2

5.某學(xué)校初中部和高中部分別有40（）名和200名學(xué)生，為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的

分層隨機(jī)抽樣方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，已知從高中部中抽取40名學(xué)生，則〃為（）

A.60B.80C.100D.120

6.某工廠生產(chǎn)4,B,C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量

為〃的樣本，若樣本中A型號(hào)的產(chǎn)品有8件，則樣本容量〃=（）

A.16B.40C.80D.100

二.多選題（共3小題）

（多選）7.下列說法正確的是（）

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體加被抽到的概

率是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,〃?，6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，川0的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2xi-l,2x2-1,…，2xio-1的標(biāo)淮差為32

（多選）8.某班有男生30人，女生20人.在某次考試中，男生成績(jī)的均分和女生成績(jī)的均分分別為五,

花后工與；方差分別為寸，sQ該班成績(jī)的均分和方差為己s2,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.±二亂+&

B.X>F%7+

32

22

CS-S+

515一

D.s2>|sf+1S2

（多選）9.港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)一座連接中國(guó)香港、廣東珠海和中國(guó)澳門的橋隧工程，因其超大的建

筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)聞名世界，為內(nèi)地前往香港的游客提供了便捷的交通途

徑.某旅行社分年齡統(tǒng)計(jì)了大橋落地以后，由港珠澳大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青年旅客的比例為5：

3：2,現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取〃名，若抽到青年旅客40人，則（）

A.抽到老年旅客100人

B.抽到中年旅客20人

C./?=400

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和不超過200

三.填空題（共4小題）

10.如圖是某汽車公司100家銷售商2025年前半年新能源汽車銷售量（單位：輛）的頻率分布直方圖，

若按比例分配分層隨機(jī)抽樣原則從這100家銷售商中抽取20家，則應(yīng)從銷售量在［50,150］內(nèi)的銷售商

II.某學(xué)校有男生800人，女生600人.為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的睡眠時(shí)間，采用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7.7小時(shí)，方差為2.1,女生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7

小時(shí)，方差為1.4.若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體方差為.

12.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人,

其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1,抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差

為0.5,則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為.

13.某市為了調(diào)查教師對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的了解程度，擬采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從A,B,。三所學(xué)

校抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查,己知A,B,。三所學(xué)校分別有180,270,90名教師，則從4學(xué)校中應(yīng)抽

取的人數(shù)為.

四.解答題（共2小題）

14.統(tǒng)計(jì)學(xué)家將戰(zhàn)爭(zhēng)中摧毀敵軍的戰(zhàn)機(jī)序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法推斷敵軍每年生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)

數(shù)量.假設(shè)敵軍某年生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量為M摧毀某年生產(chǎn)的〃架戰(zhàn)機(jī)編號(hào)從小到大為川，血,心，…，

物，最大的編號(hào)為X“，摧毀敵軍戰(zhàn)機(jī)是隨機(jī)的，摧毀戰(zhàn)機(jī)的編號(hào)XI，火，X3,…，物，相當(dāng)于從［1，M

中隨機(jī)抽取的〃個(gè)整數(shù)，這〃個(gè)數(shù)將區(qū)間10,N1分成（1+〃）個(gè)小區(qū)間（如圖），可以用前〃個(gè)區(qū)間的平

I%N

均長(zhǎng)度上估計(jì)所有（1+〃）個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度一進(jìn)而得到"的估計(jì)值.

nn+1

0464N

已知在某次戰(zhàn)斗中摧毀敵軍的戰(zhàn)機(jī)編號(hào)為：2,5,7,13,15,17,21,據(jù)此回答下列問題.

（I）根據(jù)材料估計(jì)敵軍生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量;

（2）已知敵軍所有現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)分為三個(gè)等級(jí)（四代戰(zhàn)機(jī)，四代半戰(zhàn)機(jī)，五代機(jī)），通過分層抽樣調(diào)查三類

戰(zhàn)機(jī)的飛行高度，得到各個(gè)等級(jí)飛行高度的樣本平均數(shù)為己歹，z.

（i）根據(jù)上述信息是否可以估計(jì)敵軍所有現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)的平均飛行高度？若不能，還需要什么條件，請(qǐng)補(bǔ)

充條件并寫出估計(jì)式;

（打）若敵軍現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)是按照比例生產(chǎn)的，四代戰(zhàn)機(jī)，四代半戰(zhàn)機(jī)，五代機(jī)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量分別為人，B，

ABab

C,樣本量分別為a,b,c,據(jù)此證明:x+y+-z=—■—x+—■—y+

4+8+C----A+8+C----A+8+Ca+b+ca+b+c

------5.

a+b+c

15.A校高一年級(jí)共有學(xué)生330名，為了解該校高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取66名學(xué)生，其中女生32名，男生34名，測(cè)量他們的身高.

（1）該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？

（2）若從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名都是男生的概率;

（3）在32名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，錯(cuò)將165?！ㄓ涗洖?56cm,由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)求得

這32個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161?！ǎ讲顬?3.6875,求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差.（平均數(shù)結(jié)果保留精確

值，方差結(jié)果精確到0.01）

20252026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期末必刷?？碱}之抽樣

的基本方法

參考答案與試題解析

一.選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CACBDB

二,多選題（共3小題）

題號(hào)789

答案ACADAD

一.選擇題（共6小題）

I.某地區(qū)有大型商鋪50家，中型商鋪150家.為調(diào)查營(yíng)業(yè)情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取

一個(gè)樣本容量為20的樣本，則應(yīng)抽取中型商鋪（）

A.5家B.10家C.15家D.20家

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

【專題】刈應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比求出答案.

【解答】解：分層抽樣的抽樣比為W\

20010

用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)樣本容量為20的樣本，應(yīng)抽取中型商鋪總x150=15家.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.中國(guó)古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝.明代會(huì)試分南卷、北卷、中卷，按11：7：2

的比例錄取，若某年會(huì)試錄取人數(shù)為400,則中卷錄取人數(shù)為（）

A.40B.70C.110D.150

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

t專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】依題意，求出中卷錄取的比率，再根據(jù)會(huì)試錄取人數(shù)即可求得中卷錄取人數(shù).

【解答】解：因?yàn)槟暇?、北卷、中卷，?1：7：2的比例錄取，

21

可得中卷錄取的比率為：——.

11+7+210

故會(huì)試錄取人數(shù)為400時(shí)，中卷錄取人數(shù)為400x^=40.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.為了了解某地參加計(jì)算機(jī)水平測(cè)試的5(X)0名學(xué)生的成績(jī)，從中抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析.在這

個(gè)問題中，被抽取的200名學(xué)生是()

A.總體B.個(gè)體C.樣本D.樣本量

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【答案】C

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)中抽樣調(diào)杳的概念即可得解.

【解答】解：由題意可知，總體是5000名學(xué)生的成績(jī)，

個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的成績(jī)，

樣本是200名學(xué)生的成績(jī)，

樣本容量為200,

所以抽取的200名學(xué)生的成績(jī)是樣本.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

4.某班同學(xué)身高的平均數(shù)為五方差為，，其中女生身高川，總，…，X,”的平均數(shù)為a方差為寸，男生

身高戶，”，…，如的平均數(shù)為歹，方差為或，下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若工中，則?。?中

B.若s：Vs/,則sjv/Vsg

C.若m=n,則5=i(x+y)

D.若釬區(qū)則展噂空

【考點(diǎn)】由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用分層隨機(jī)抽樣的均值和方差公式判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)?=惡斤+占歹，

m+nm+n，

_EIm_n__m_n_m_n_

右％<y則，-----x+------x<z=------x+------y<----y+----y,

m+nm+nm+nm+nm+nm+n

即寸，故A正確；

對(duì)于B若sy,當(dāng)sj,s22都比較接近于0時(shí)，而工與歹相差較大時(shí)，

此時(shí)，>S22>S/,故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,若gi,Mz=1(I+y),故C正確：

對(duì)于Df若土=y,則5=x=y,

所以、2=^【sJ+0一為勺+扁層2+(7-7)2]=離+黯=2^4故。正確.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的均值和方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.某學(xué)校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的

分層隨機(jī)抽樣方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，已知從高中部中抽取40名學(xué)生，則〃為()

A.60B.80C.100D.120

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)列式求解即可.

【解答】解：已知從高中部中抽取40名學(xué)生，

n40

根據(jù)分層抽樣可得=京，解得〃=120.

400+200200

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量之比為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量

為〃的樣本，若樣本中4型號(hào)的產(chǎn)品有8件，則樣本容量〃=()

A.16B.40C.80D.100

[考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)出樣本容量，根據(jù)在抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的變量

〃，即為要求的樣本容量.

【解答】解：設(shè)出樣本容量為〃，

???由題意知產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為2：3：5,

?2_￡

??2+3+5-n

An=40.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

二,多選題(共3小題)

(多選)7.下列說法正確的是()

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有5()個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體〃?被抽到的概

率是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,〃?，6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，KIO的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)Zri-l,2x2-1,…，2h0-1的標(biāo)淮差為32

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)：百分位數(shù).

【專題】計(jì)算題；對(duì)?應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義可判斷選項(xiàng)4，

由平均數(shù)的定義先確定〃?，再求方差即可；

由百分位數(shù)的定義及標(biāo)準(zhǔn)差的定義判斷即可.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,個(gè)體機(jī)被抽到的概率是三=0/，故正確：

50

對(duì)于選項(xiàng)8,l+2+〃?+6+7=4X5,???加=4,

故S2=/x|(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=5.2,

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,V8X70%=5.6,

，數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是從小到人排序的第6個(gè)數(shù)，即為23,

故正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，???樣本數(shù)據(jù)加，X2,…，川0的標(biāo)準(zhǔn)差為8,

工數(shù)據(jù)2川-1,ZV2-1,…，2xio-1的標(biāo)準(zhǔn)差為8X2=16,

故錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)據(jù)數(shù)字特征的分析，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）8.某班有男生30人，女生20人.在某次考試中，男生成績(jī)的均分和女生成績(jī)的均分分別為有,

石①。石）：方差分別為受，s2該班成績(jī)的均分和方差為ms2,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.5=|用'+撫

32_

B.X>gXj+可無(wú)2

C.s2=

D.s2>isf+is?

【考點(diǎn)】由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；方差.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】利用公式計(jì)算平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差判斷各個(gè)選項(xiàng).

【解答】解：對(duì)于A、B,該班成績(jī)的均分為土=|§焉+|§石=。而+|石，所以A正確，3錯(cuò)誤；

2222

對(duì)于C、D,si[（Xi-%D+（x2-x7）+（x3-x^+???+（x30-x^]

=擊[好+送+蠟■1---1"x30~2（工1+無(wú)2+無(wú)3"1---1-x30）^l+30（x7）2]

=靠用+十，+十升…+溜o-60㈤2+30㈤2]

='陽(yáng)+詔+W+…+Wo-

=建/-例2,

所以中=jo2：*才一（焉y，同理赍=4-㈤2,

該班成績(jī)的方差為s2=駕應(yīng)+后■_守]+翁[sl+（法一X）2]

=。0+（五一撫一撫）2]+看度+e—杭一[初2]

二+看s/+（看—看工2）2+（1—卷石）2〉卷S，+看S；,所以O(shè)正確，C錯(cuò)誤.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）9.港珠澳大橋是中國(guó)境內(nèi)?座連接中國(guó)香港、廣東珠海和中國(guó)澳門的橋隧工程，因其超大的建

筑規(guī)模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術(shù)聞名世界，為內(nèi)地前往杳港的游客提供了便捷的交通途

徑.某旅行社分年齡統(tǒng)計(jì)了大橋落地以后，由港珠澳大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青年旅客的比例為5：

3：2,現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取〃名，若抽到青年旅客40人，則（）

A.抽到老年旅客100人

B.抽到中年旅客20人

C.w=400

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和不超過200

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】利用分層抽樣求出設(shè)抽到老年旅客、中年旅客的人數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：由港珠澳大橋?qū)崿F(xiàn)內(nèi)地前往香港的老中青年旅客的比例為5：3：2,

現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些旅客中隨機(jī)抽取〃名，抽到青年旅客40人，

設(shè)抽到老年旅客、中年旅客的人數(shù)分別為。、b,

則a：b：40=5：3：2,

解得。=100,力=60,故〃=9方+40=200,

被抽到的老年旅客以及中年旅客人數(shù)之和為。+%=160<200,

故A。正確，8c錯(cuò)誤.

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三,填空題（共4小題）

10.如圖是某汽車公司100家銷售商2025年前半年新能源汽車銷售量（單位：輛）的頻率分布直方圖，

若按比例分配分層隨機(jī)抽樣原則從這100家銷售商中抽取20家，則應(yīng)從銷售量在［50,150］內(nèi)的銷售商

中抽取7家.

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】7.

【分析】計(jì)算銷量在內(nèi)的頻率，再結(jié)合分層抽樣計(jì)算即可.

【解答】解：由題可得：(0.001+0.002+0.003+2a+0.006)X50=l,得4=0.004,

故應(yīng)從銷量在［50,150］的銷售商中抽20X(0.003+0.004)X50=7家.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬「基礎(chǔ)題.

II.某學(xué)校有男生800人，女生600人.為調(diào)杳該校全體學(xué)生每天的睡眠時(shí)間，采用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7.7小時(shí)，方差為2.1,女生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7

小時(shí)，方差為14若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體方差為1.92

【考點(diǎn)】由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】1.92.

【分析】根據(jù)分層抽樣的方差計(jì)算公式可解.

【解答】解：采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7.7小時(shí)，方差

為2.1,女生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為7小時(shí)，方差為1.4.若男、女樣本量按比例分配,

800600

總體樣本均值為X7.7+X7=7.4,

800+600800+600

則總體方差為——-——{800X(2.1+(7.7-7.4)2l+600X[1.4+(7.4-7)2])=1.92.

800+600

故答案為：1.92.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣的方差計(jì)算公式，屬于中檔題.

12.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人,

其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1,抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差

為0.5,則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠M(jìn)間的方差為」.

【考點(diǎn)】由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；方差.

【專題】整體思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)：運(yùn)算求解.

【答案】0.94.

【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出.

8001200

【解答】解：該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為：……x9+……X8=8.4（小時(shí)），

1200+8001200+800

該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：門對(duì)…X[1+（9-8.4）2]+X[0.5+（8-

1200+8001200+800

8.4）2]=0.94.

故答案為：0.94.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.某市為了調(diào)查教師對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件的了解程度，擬采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從A,B,C三所學(xué)

校抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知A,B,。三所學(xué)校分別有180,270,90名教師，則從4學(xué)校中應(yīng)抽

取的人數(shù)為20.

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】20.

【分析】根據(jù)題意，得到A,B,C三所學(xué)校教師的人數(shù)比為2：3：1,進(jìn)而求得A學(xué)校中應(yīng)抽取的人

數(shù)，得到答案.

【解答】解：由題可得4,B,C三所學(xué)校教師的人數(shù)比為：180：270：90=2：3：I,

所以三所學(xué)校抽取60名教師，其中A學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為60x=20人.

乙IKJIJL

故答案為：20.

【點(diǎn)評(píng)】本題主:要考查分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共2小題）

14.統(tǒng)計(jì)學(xué)家將戰(zhàn)爭(zhēng)中摧毀敵軍的戰(zhàn)機(jī)序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法推斷敵軍每年生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)

數(shù)量.假設(shè)敵軍某年生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量為M摧毀某年生產(chǎn)的〃架戰(zhàn)機(jī)編號(hào)從小到大為加，血,心，…，

Xn，最大的編號(hào)為X〃，摧毀敵軍戰(zhàn)機(jī)是隨機(jī)的，摧毀戰(zhàn)機(jī)的編號(hào)XI，X2，X3，…，Xn，相當(dāng)于從[1,N|

中隨機(jī)抽取的〃個(gè)整數(shù)，這〃個(gè)數(shù)將區(qū)間[0,N]分成（1+〃）個(gè)小區(qū)間（如圖），可以用前〃個(gè)區(qū)間的平

■XN

均長(zhǎng)度上估計(jì)所有（1+〃）個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度一進(jìn)而得到"的估計(jì)值.

nn+1

0叼*2XN

已知在某次戰(zhàn)斗中摧毀敵軍的戰(zhàn)機(jī)編號(hào)為：2,5,7,13,15,17,21,據(jù)此回答下列問題.

（1）根據(jù)材料估計(jì)敵軍生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量;

（2）已知敵軍所有現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)分為三個(gè)等級(jí)（四代戰(zhàn)機(jī)，四代半戰(zhàn)機(jī)，五代機(jī)），通過分層抽樣調(diào)查三類

戰(zhàn)機(jī)的飛行高度，得到各個(gè)等級(jí)飛行高度的樣本平均數(shù)為a9，z.

（i）根據(jù)上述信息是否可以估計(jì)敵軍所有現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)的平均飛行高度？若不能，還需要什么條件，請(qǐng)補(bǔ)

充條件并寫出估計(jì)式;

（ii）若敵軍現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)是按照比例生產(chǎn)的，四代戰(zhàn)機(jī)，四代半戰(zhàn)機(jī)，五代機(jī)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量分別為A,B,

C,樣本量分別為小b,c,據(jù)此證明：三+廣工歹+三77^=±+~:^-歹+

4+B+C4+B+C4+B+Ca+b+ca+b+c

c

a+b+cZ

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量.

【專題】方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】（1）24架；

（2）（i）不能，需要知道這三個(gè)等級(jí)戰(zhàn)機(jī)具體的個(gè)體數(shù)量X,X,Z,或者抽取樣本的數(shù)量〃?，〃，/,

估計(jì)式見解析；

（ii）證明見解析.

【分析】（I）由題設(shè)得3=3求參數(shù)，即可得；

（2）（7）根據(jù)題意需要知道這三個(gè)等級(jí)戰(zhàn)機(jī)具體的個(gè)體數(shù)量X,匕Z,或者抽取樣本的數(shù)量相，“，/,

進(jìn)而寫出公式；

（/7）按比例在各層抽取的且各層抽取的樣本量分別為。、氏°,得￡=3=：=能言，應(yīng)用分層等

ABCA+B+C

比例性質(zhì)即可證.

【解答】（1）解：???可用上估計(jì)一，

nn+1

21N

—=—,解得N=24.

78

???估計(jì)敵軍生產(chǎn)的戰(zhàn)機(jī)數(shù)量為24架.

（2）（i）解：不能估計(jì)敵軍所有現(xiàn)役戰(zhàn)機(jī)的平均飛行高度，

需要知道這三個(gè)等級(jí)戰(zhàn)機(jī)具體的個(gè)體數(shù)量X,V,Z,或者抽取樣本的數(shù)量〃?，〃，/,

XYZ

估計(jì)式為------7+-------y+------z

X+Y+ZX+Y+Z7X+Y+Z

一m_nI

或-------x+-------y+------;z.

m+n+lm+n+lm+n+l

（ii）證明：???樣本是按比例在各層抽取的且各層抽取的樣本量分別為。，b,c,

abc

==一,

ABC

aAbBcC

a+b+c-A+B+c'a+b+c-A+B+c'a+b+c-4+B+C'

cuc+by+cza_b_c

???樣本平均數(shù)為:--------------=----------x+----------y+-----z,

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

4_B_C_a_bc

---------x+----------y+-----z—;—x+—:—y+—：—z.

A+B+CA+B+CA-i-B+Ca+b+ca+b+ca+b+c

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)與平均數(shù)公式，屬于中檔題.

15.A校高一年級(jí)共有學(xué)生330名，為了解該校高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣的方法

抽取66名學(xué)生，其中女生32名，男生34名，測(cè)量他們的身高.

（1）該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？

（2）若從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名都是男生的概率；

（3）在32名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，咎將165c機(jī)記錄為l56a〃，由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)求得

這32個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161cm,方差為23.6875,求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差.（平均數(shù)結(jié)果保留精確

值，方差結(jié)果精確到0.01）

【考點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個(gè)體數(shù)及抽取樣本量；由分層隨機(jī)抽樣的樣本平均數(shù)估計(jì)總體

平均數(shù)；古典概型及其概率計(jì)算公式.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法：概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】（1）男、女生各有170,160名：

17

（2）——；

65

（3）23.33.

【分析】（1）根據(jù)抽樣比即可計(jì)算出男女生人數(shù)；

（2）利用古典概型計(jì)算公式可得結(jié)果；

（3）根據(jù)方差定義，利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行整體代換即可計(jì)算出結(jié)果.

【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，抽樣比為5：1,

所以該校高一學(xué)生中男生有34X5=170名，

女生有32X5=160名；

（2）從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名共有或6種，

兩名都是男生的抽法共有廢4種，

c2

3417

--

所以這兩名都是男生的概率為P265

C66

(3)根據(jù)題意可設(shè)正確的31個(gè)數(shù)據(jù)為XI,X2,…，X31，

易知Xi4-156=32x161,可得￡當(dāng)勿=4996,

]

所以原始數(shù)據(jù)平均值為不(2嵩%,■+165)=161.28125,

由方差定義可得a[￡3區(qū)—161)2+(156-161)2]=23.6875,

因此EU1(看一1617=溫*-2xl61￡*i修+31x16"=733,

可得2出x?=2x161X?iix(-31x1612+733=805894；

22

原始數(shù)據(jù)的方差為石22(xk-161.28125)+(165-161.28125)]

=32[，首1*-2X161.28125溫Xf4-31x161.281252+3.718752]

1

?X746.46875?23.33,

即原始數(shù)據(jù)的方差為23.33.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層隨機(jī)抽樣，古典概型概率公式，方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

考點(diǎn)卡片

1.古典概型及其概率計(jì)算公式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：

（I）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；

（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的.

則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.

*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就

可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.

2.古典概率的計(jì)算公式

如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有〃個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率

都是一；

n

如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率為PGO=用=

nW基本y事.件f總?數(shù)/”

【解題方法點(diǎn)撥】

1.注意要點(diǎn)：解決古典概型的向題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)〃與事件A中所包含的基本事件數(shù).

因比要注意清楚以下三個(gè)方面：

（I）本試驗(yàn)是否具有等可能性：

（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；

（3）事件A是什么.

2.解題實(shí)現(xiàn)步驟：

（I）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件4

（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)〃與所求事件人中所包含的基本事件個(gè)數(shù)小；

（4）利用公式P（A）=與求出事件4的概率.

3.解題方法技巧：

（I）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本（〃WN）,如果每

次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

2.特點(diǎn)：

（I）有限性：總體個(gè)體數(shù)有限；

（2）逐個(gè)性：每次只抽取一個(gè)個(gè)體；

（3）不放回：抽取樣本不放回，樣本無(wú)重復(fù)個(gè)體；

（4）等概率：每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等.（如果從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為〃的樣本，則每

個(gè)個(gè)體被抽取的概率等于三）

N

3.適用范圍：總體中個(gè)數(shù)較少.

4.注意：隨機(jī)抽樣不是隨意或陛便抽取，隨意或隨便抽取都會(huì)帶有主觀或客觀的影響因素.

【解題方法點(diǎn)撥】

I.抽簽法（抓阿法）

一般地，從個(gè)體總數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為k的樣本，步驟為：

（1）編號(hào)：將總體中所有個(gè)體編號(hào)（號(hào)碼可以為1?N）；

（2）制簽：將編號(hào)寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（可用小球、卡片、紙條等制作）：

（3）攪勻：將號(hào)簽放在同一個(gè)箱子中進(jìn)行均勻攪拌：

（4）抽簽：每次從箱中取出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取及次；

（5）取樣：從總體中取出與抽到號(hào)簽編號(hào)一致的個(gè)體.

2.隨機(jī)數(shù)表法.

。隨機(jī)數(shù)表：由0-9十個(gè)數(shù)字所組成，其中的每個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，這樣的表稱為隨機(jī)數(shù)表.

。隨機(jī)數(shù)表法：按一定的規(guī)則到隨機(jī)數(shù)表中選取號(hào)碼的抽樣方法叫做隨機(jī)數(shù)表法.

實(shí)現(xiàn)步驟：

（1）編號(hào)：對(duì)總體中所有個(gè)體編號(hào)（每個(gè)號(hào)碼位數(shù)一致）；

（2）選數(shù)：在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始；

（3）取數(shù)：從選定的起始數(shù)沿任意方向取數(shù)（不在號(hào)碼范圍內(nèi)的數(shù)、重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)不?。钡饺M為止；

（4）取樣：根據(jù)所得的號(hào)碼從總體中抽取相應(yīng)個(gè)體.

【命題方向】

以基本題（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問題為背景，綜合考查學(xué)生學(xué)習(xí)

基拙知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問題的能力.

（I）考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)

例：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有100個(gè)個(gè)體的總體中依次抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體，〃被抽到的

概率為（）

1111

A.--B.-C.-D.一

100209950

分析：依據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是一樣的，再結(jié)合容量為5,可以看成

是抽5次，從而可求得概率.

解答：一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為二，

100

???以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，

則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為二x5=4.

10020

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：不論用哪種抽樣方法，不論是“逐個(gè)地抽取”，還是“?次性地抽取”，總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的

概率都是一樣的，體現(xiàn)了抽樣方法具有客觀公平性.

（2）判斷抽樣方法是否為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

常見與分層抽樣、系統(tǒng)抽樣對(duì)比，注意掌握各種抽樣方法的區(qū)分.

例：下面的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是（）

A.在某年明信片銷售活動(dòng)中，規(guī)定每100萬(wàn)張為一個(gè)開獎(jiǎng)組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號(hào)碼的后四位為

2709的為三等獎(jiǎng)

B.某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動(dòng)包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格

C.某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勒人員中抽取2人、14人、4人了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見

D.用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)后檢驗(yàn).

分析：從所給的四個(gè)選項(xiàng)里觀察因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；得到4、B不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)?/p>

總體的個(gè)體有明顯的層次，。不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，。是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

解答：4、8不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)槌槿〉膫€(gè)體間的間隔是固定的；

C不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)榭傮w的個(gè)體有明顯的層次；

。是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，考查分層抽樣，考查系統(tǒng)抽樣，是一個(gè)涉及到所學(xué)的所有抽樣的問題，注

意發(fā)現(xiàn)各種抽樣的特點(diǎn)，分析清楚抽樣的區(qū)別.

（3）考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽樣方法操作

例：利用隨機(jī)數(shù)表法對(duì)一個(gè)容量為500編號(hào)為000,0（）1,002,…，499的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，抽取一個(gè)

容量為10的樣本，若選定從第12行第5列的數(shù)開始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第II行至第15

行），根據(jù)下圖,讀出的第3個(gè)數(shù)是（）

18180792454417165809798386196206765003105523640505

26623897758416074499831146322420148588451093728871

23424064748297777781074532140832989407729385791075

52362819955092261197005676313880220253538660420453

37859435128339500830423407968854420687983585294839

4.841B.I14C.014D.146

分析：從隨機(jī)數(shù)表12行第5列數(shù)開始向右讀，最先讀到的1個(gè)的編號(hào)是389,再向右三位數(shù)一讀，將符合

條件的選出，不符合的舍去，繼續(xù)向右讀取即可.

解答：最先讀到的1個(gè)的編號(hào)是389,

向右讀下一個(gè)數(shù)是775,775它大于499,故舍去，

再下一個(gè)數(shù)是841,舍去，

再下一個(gè)數(shù)是607,舍去，

再下一個(gè)數(shù)是449,

再下一個(gè)數(shù)是983.舍去，

再下一個(gè)數(shù)是114.

讀出的第3個(gè)數(shù)是114.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽樣方法，隨機(jī)數(shù)表的使用，在隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)數(shù)出現(xiàn)在每個(gè)位置的概率是一樣的，

所以每個(gè)數(shù)被抽到的概率是一樣的，屬產(chǎn)基礎(chǔ)題.

3.分層隨機(jī)抽樣

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不

同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽

樣，其中所分的各部分叫“層”.

2.三種抽樣方法比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)從總體中逐個(gè)抽總體中的個(gè)體數(shù)

個(gè)體被抽取的概取較少

系統(tǒng)抽樣率是相同的將總體均勻分成在起始部分抽樣總體中的個(gè)體數(shù)

幾個(gè)部分，按事時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)較多

先確定的規(guī)則在抽樣

各部分抽取

分層抽樣將總體分成幾各層抽樣時(shí)采用總體由差異明顯

層，分層進(jìn)行抽簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或的幾部分組成

取系統(tǒng)抽樣

【解題方法點(diǎn)撥】

分層抽樣方法操作步驟：

（I）分層：將總體按某種特征分成若干部分；

（2）確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；

（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；

（4）在每一層進(jìn)行