第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方

程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

知識診斷自測

【知識梳理】

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓（7：（工-。）2+0，-32=’,直線/：%x+8y+C=0,圓心C（a,6）到直線1的距離為d.由

(%-Q)2+⑶-b)2=r2

‘消去M或x），得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程,其判別式為一

AxBy+C=0,

位置關(guān)系相離相切相交

A

圖形

方程觀點(diǎn)J<0生0J>0

量化

幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r

2.圓與圓的位置關(guān)系

己知兩圓?！?為F+什一川產(chǎn)在

Cz：（x-X2）2+（y-y2）2=r2,

則圓心距d=|CC2|

=jGi二&F二嶼平.

則兩圓G,C2有以下位置關(guān)系:

位置

外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切

關(guān)系

圓心距

與半徑一72l<d<門+乙2d=l打一尸21“二/十廠2

的關(guān)系

蚓

圖示噴豺慨）

公切線條數(shù)40213

3.直線被圓截得的弦長的求法

(1)幾何法:運(yùn)用弦心距d、半徑，?和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形,計(jì)算弦長

(2)代數(shù)法:設(shè)直線嚴(yán)丘+〃?與圓9+產(chǎn)力/研尸=0(。2+￡2-4￡>0)相交于點(diǎn)MN,將直線方程代入圓

的方程中，消去得關(guān)于X的一元二次方程,求出和XWXN,則

22

\MN\=yJl+k-y/(xM+xN)-4XM-XN.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.圓的切線方程常用結(jié)論

⑴過圓/+/=戶上一點(diǎn)P(XO,yo)的圓的切線方程為xox+yoy=f2.

⑵過圓(工-4+什-人戶戶J--點(diǎn)尸(_ro,次)的圓的切線方程為。0-々)。-4)+&0-6)8-/?=戶.

⑶過圓/+/=戶外一點(diǎn)A1(xo,yo)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在的直線方程為xox+yoy=f2.

2.設(shè)圓Ci:x24y+Dix+Ei)H-Fi=0,

圓GP+V+QN+EZ尸"BR,

⑴若兩圓相交,兩式相減,得(。-。2?+(臼-氏)>月汜=0,該方程表示圓G與C2的公共弦所在的直

線方程.

(2)若兩圓相切，兩式相減,得(。=。)葉(后一員))”［B=0,該方程表示圓G與C2的公共切線所在的

直線方程.

【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

L思考辨析(在括號內(nèi)打“4”或“X”)

(1)過圓上一一點(diǎn)的直線必與圓相交.()

(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切.()

(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()

(4)過圓0:/+產(chǎn)=戶外一點(diǎn)尸(血,次)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為4B,則O,P,4B四點(diǎn)共圓,且直線

力B的方程是xox+泗產(chǎn)月()

答案(1)X(2)X(3)X(4)4

解析(1)過圓上一點(diǎn)的直線與圓相切或相交;(2)除外切外,還可能內(nèi)切;(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含.

2.(蘇教選修一P66T2原題)設(shè)a,b為實(shí)數(shù),若直線ax^by=\與圓/+產(chǎn)=1相交,則點(diǎn)P(a,8)與圓的位

置關(guān)系是()

A.在圓上B.在圓外

C.在圓內(nèi)D.不能確定

答案B

解析由題意可得,:J1,即a2+b2>1,所以P(a,與在圓外.

3.(北師大選修一P36T2改編)圓f+產(chǎn)5在點(diǎn)尸(1,2)處的切線方程為()

A.x-2y+3=0B.2x+廠4=0

C.x+2廠5=0D.2x-y-4=0

答案C

解析圓心為0(0,0),公尸2,故切線的斜率為J故切線方程為y-2=-hx-V)f

即x+2廠5=0.

4.(人教A選修一P93T3改編)直線2x-)H-2=0被圓(廠4+①-2/=4截得的弦長為

答案？

解析圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑尸2.

圓心到直線的距離

.12-24-21_2_2V5

V22+(-l)2^^55",

所以弦長/=2不匚柒二2「駕.

考點(diǎn)聚焦突破

考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系

例1⑴直線/:加廠尹1-m=0與圓Cx2+&-1)2=5的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

答案A

解析法、_!_一(代小數(shù)皿y法)由.［(dmx+-①y_+li)-2=7n5=,0

消去y,整理得(1+〃戶)工2-2〃A+〃戶5=0,

因?yàn)椤?16〃?2+20>0,

所以直線/與圓相交.

法二(幾何法)由題意知,圓心(0,1)到直線/的距離為“7變<1<V5=r,

V?n2+1

所以直線/與圓相交.

法三(定點(diǎn)法)直線/:〃戊二片1-m=0,

整理得〃?(廠1)二l1=0過(1,1),

而12+(1-1)2<5,

即(1,1)在圓內(nèi)，所以直線/與圓相交.

⑵Q022?新高考II卷)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),例0,0,若直線AB關(guān)于尸〃對稱的直線與圓(工+3)2+什+2)2=1有

公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_______.

答案［?1|

解析由題意知點(diǎn)力(-2,3)關(guān)于直線尸。的對稱點(diǎn)為⑷(-2,2?-3),

所以危屋所以直線A，B的方程為)若々+。,即(3-心-2>2斫0.

由題意知直線?8與圓⑴^門+^^)2^有公共點(diǎn)，

易知圓心為(-3,-2),半徑為1,

3(3—Q)+(—2)x(—2)+2。|

所以

y(3-a)2+(-2)2<1,

整理得6〃2-11。+3W0,解得gWoWg,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是出非

思維建模判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

⑴幾何法:利用d與尸的關(guān)系.

(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用力判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

訓(xùn)I練1(1)(多選)(2021?新高考U卷)已知直線/如+”-戶=0與圓Cx2V=/，點(diǎn)4。,與,則下列說法正

確的是()

A.若點(diǎn)X在圓。上,則直線/與圓。相切

B.若點(diǎn)力在圓C內(nèi)，則直線/與圓。相離

C.若點(diǎn)力在圓C外，則直線/與圓。相離

D.若點(diǎn)力在直線/上，則直線/與圓C相切

答案ABD

22

解析圓心C(0,0)到直線/的距離心餐.若點(diǎn)A(a,6)在圓C上，則。2+從=/，所以d-^\r\,則

直線/與圓。相切，故A正確；

若點(diǎn)力S,㈤在圓。內(nèi)，則序用5所以介扁則直線/與圓c相離，故B正確；

若點(diǎn)4（。,6）在圓。外,則屋所以公事六，|,則直線/與圓。相交，故C錯(cuò)誤；

>Ja￡+hd

若點(diǎn)力（〃4）在直線/上,則〃2+廿-/=0即/+代匕所以小直線/與圓。相切,故D正確.

（2）（2025?昆明質(zhì)檢）已知直線Z:xcosa+ysina=l（a@R）與圓。:/+產(chǎn)=/。>0）相離，則廠的取值范圍是

()

A.OvrWl

C/21D.r>l

答案B

解析圓心到直線的距離為

1

d~I?==1,故0Vr<1.

yccsza+sinza

考點(diǎn)二圓的弦長、切線問題

角度1弦長問題

例2⑴已知直線x-V3jH-8=0和圓工2+產(chǎn)=戶（廠>0）相交于A,B兩點(diǎn).若|陽=6,則尸的值為.

答案5

解析法一（幾何法）由題意知圓心為。（0,0）,圓心到直線的距離笛+8.

取AB的中點(diǎn)M,連接OM（圖略）,則OMLAB.

在RtAOM4中,尸］然f+d2=5.

法二（代數(shù)法）設(shè)力但,巾）,例X2/2）,

聯(lián)立一咤+?=°'

t%+片=產(chǎn)，

得4f+16x+64-3/2=0,

3

_2

貝!JX|+X2=4,X|X2=16--47.

由|陰=J1+佶yJ（-4）2-4x（16-1r2）=6,解得『5.

⑵（2023?新高考II卷）已知直線廠股+1=0與OC（xT）2+y=4交于4B兩點(diǎn),寫出滿足“△力8。面積

為r的m的一個(gè)值.

答案2（答案不唯一,可以是±2中任意一個(gè)）

解析設(shè)直線1=0為直線/,

由條件知。。的圓心為0),半徑尸2,

則圓心°到直線/的距離—,

|J5|=2Vr2—d2=24

l+?n2

由s-4展X黑X舟4

整理得2加2-5|機(jī)|+2=0,

解得〃『土2或〃尸與故答案可以為2.

角度2切線問題

例3己知點(diǎn)尸(注+1,2-&),點(diǎn)M(3,1),圓C:(x-l)2+(y-2)2=4.

(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.

解由題意得圓心C(1,2),半徑尸2.

(1)V(V2+1-1)2+(2->/2-2)2=4,

?,?點(diǎn)。在圓。上.

V712-V2-2.

又上F77rT

???切線的斜率公

???過點(diǎn)夕的圓C的切線方程是j-(2-V2)=x-(V2+1),即x-y+1-272=0.

⑵???(3-1)2+(1—2)2=5>4,

???點(diǎn)M在圓。外部.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為尸3,即『3=0.

又點(diǎn)C(l,2)到直線『3=0的距離/=3-1=2=八即此時(shí)滿足題意,

???直線a3是圓。的切線.

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，

設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即依-y+l-3D,

則圓心C到切線的距離二蒜3%,解得4

???切線方程為廠l=^(x-3),即3x-4y-5=0.

綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3廠4廠5=0.

??,|MC|=J(3-+(1-2)2=恒

???過點(diǎn)M的圓。的切線長為J|MC|2-

角度3最值(范圍)問題

例4⑴(2025?杭州調(diào)研)由直線尸什1上的動(dòng)點(diǎn)尸向圓C:(x-3)2+/=l引切線,則切線長的最小值

為.

答案V7

解析如圖,切線長|PM="PC|2—1,顯然當(dāng)|PC|為。到直線尸x+1的距離即詈2夜時(shí),|PM的最

小值為夕.

⑵(2025河南名校聯(lián)考)已知。。:爐+/2-2y2=0,直線爪+2>2=0,M為直線/上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)“作

OC的切線MA,MB,切點(diǎn)為力,B,當(dāng)四邊形MACB的面積取最小值時(shí),直線AB的方程

為.

答案x+2yH=0

解析。C:f+jA2x-2廣2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(廠1)2+(yT)2=4,

則圓心C(l,1),半徑尸2.

如圖，連接

則四邊形MACB的面積S-2S^CAA^\CA\^\AM\

=2/M=2j|CM|2-4.

要使四邊形MACB的面積最小,則需QM最小，

此時(shí)CM與直線/垂直,直線CM的方程為yl=2(xT),即產(chǎn)2x7,

聯(lián)立喊7方；;_°得則皿=相

則以CM為直徑的圓的方程為G-{f+產(chǎn)菖，

與。C的方程作差可得直線AB的方程為x+2y+l=0.

思維建模1.對于已知弦長求直線方程的問題,若弦是直徑有且只有一條,否則一定有兩條;兩種情

況常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤.

2.求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí),應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切

點(diǎn)),則過該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過該點(diǎn)的切線有兩條,此時(shí)注意斜率不存在的切線.

3.涉及與圓的切線有關(guān)的線段長度范圍(或最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長表示為關(guān)于圓

心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式,利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.

訓(xùn)練2(l)Q021?北京卷改編)已知圓。:爐+產(chǎn)4,直線卜.y=kx-m,當(dāng)女變化時(shí),/微得圓。弦長的最小

值為2,則m=.

答案上布

解析圓心。(0,0),半徑尸2,

則圓心C到直線/的距離/震

設(shè)弦長為則由弦長公式可得

d=

若a取最小值2時(shí)，則"取最大值，4-1=75,

又制

乂d—由，

VV14-/c2^l,最大值為|刈,

|/n|=V3,即"7=±8.

(2)已知直線近+〃廣1=0是圓。4+/一&-2yH=0的對稱軸,過點(diǎn)力(7,0作圓C的一條切線，切點(diǎn)為

B,則力引等于.

答案4

解析已知直線l'.x+ay-\=0是圓C:

x2+y2-6x-2yM=0的對稱軸,

又圓心C(3,1),半徑尸3,

所以直線/過圓心C(3,1),

故3+a-l=0,即?=-2,所以點(diǎn)4(T,-2),

\AC|=J(3+1)2+(1+2/=5,

MB|=V52_32=4

教考銜接

1.教材母題(1)(人教A選修一PIO3T20)己知圓C:(x-l)2+(r2)2=25,直線l:(2m+1)x+(w+1)y-7m-4=0.

①求證:直線/過定點(diǎn)；

②直線/被圓。截得的弦長何時(shí)最長、何時(shí)最短?并求截得的弦長最短時(shí)〃?的值以及最短弦長.

⑵(人教B選修一P⑵T5)求經(jīng)過圓(廣2)2+聲16內(nèi)一點(diǎn)(1,1)日被圓截得弦長最短的育線的方程.

2.過圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線所形成的弦中最長的為直徑,最短的為與該條直徑垂直的弦,此時(shí)定點(diǎn)恰為

最短弦的中點(diǎn),命題時(shí)往往給出定點(diǎn)或含參數(shù)的初直線(挖掘定點(diǎn)),進(jìn)而求解最短弦長或其所在直

線的方程.

典例(2024?全國甲卷改編)已知直線尸-〃=0與圓。:爐+產(chǎn)+4y1=0交于4B兩點(diǎn),則的最小

值為.

答案4

解析設(shè)直線為/:ax+y+2p=0,即/:a(xT)+產(chǎn)2=0,易知/過定點(diǎn)P(1,-2),

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐+8+2)2=5,所以圓心為。(0,-2),半徑為遙，且。在圓C內(nèi).

因?yàn)楫?dāng)PCLAB時(shí)，圓心C到直線/的距離最大,此時(shí)|力目取得最小值，

I

易彳導(dǎo)『q=|xp-xd=l，所以/3|=2j(遙)2—12=4.

考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系

例5已知兩圓G:爐+爐-2x-6廠1=0和Ci:爐+/-1Ox-12y+45=0.

⑴求證:圓G和圓C2相交；

(2)求圓C)和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.

⑴證明VCi：(x-l)2+(y-3)2=ll,

圓心G(l,3),半徑門=V1T;

22

C2:(x-5)+(y-6)=16,

圓心C2(5,6),半徑尸2=4.

???|GC2|=J(5-1尸+(6-34=5,

v4-VTT<|Gc2|=5<4+VTT,

???圓G和圓。2相交.

⑵解將兩圓方程相減，

得公共弦所在直線方程是4/3廠23=0.

圓心C2(5,6)到直線4x+3廣23=0的距離公迎”匯3,

?

由此可得公共弦的長

1=2Jr]-不=2，16-9=2夕.

思維建模1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距因與兩圓半徑之間的關(guān)

系,一般不采用代數(shù)法.

2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去總產(chǎn)項(xiàng)得到.

訓(xùn)練3(1)(2025?滄州質(zhì)檢)“心學(xué)是“圓。:/+產(chǎn)=4與圓C2：(XP)2+(F+Q)2=1有公切線”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析設(shè)圓G、圓C2的半徑分別為門”2,

由題意可知C1(O,0),尸1=2,C2(a,-a)f尸2=1,

連接C.C2,當(dāng)且僅當(dāng)圓G和圓C2內(nèi)含時(shí),兩圓沒有公切線，

即圓C1和圓。2有公切線的充要條件為門-r2=2T=1,

即，2a221,

解得,wj或心爭

因?yàn)椤靶囊腔蛐膶W(xué)的充分不必要條件，

所以?a*，是“圓G與圓G有公切線”的充分不必要條件.

(2)(2025?衡陽質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為x2+^2-8x+15=0,若直線產(chǎn)去-2上至少

存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓。有公共點(diǎn),則攵的最大值是.

答案*

解析圓C的方程為r+y-81+15=0,

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(工-4)2十爐=1,

則圓C是以C（4,0）為圓心,1為半徑的圓.

若直線尸"-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),

則圓心C到直線廠上「2的距離dW2,

即等1W2,解得

即k的最大值為》

課時(shí)對點(diǎn)精練

一、單選題

1.已知圓（工一2）2+3-3）2=戶（尸＞0）與y軸相切，貝|J尸等于（）

A.V2B.V3

C.2D.3

答案C

解析圓（廠2）2+8-3戶戶g0）的圓心為（2,3）,半徑為尸.因?yàn)閳A與），軸相切，所以尸2.

2.已知圓Oi：（xT）2+（y+2）2=9,圓92：（x+2）2+（y+1）2=16,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）

A.外離B.外切

C.相交D.內(nèi)含

答案C

解析根據(jù)題意得圓01的圓心（9.（1,-2）,半徑為3,圓。2的圓心。2（-2,-1）,半徑為4,圓心距

|。。|=國，

因?yàn)?-3v"Uv4+3,所以兩圓相交.

3.（2025?黑龍江大聯(lián)考）已知直線尸質(zhì)+&〃（反0）被圓一十產(chǎn)2廠3=0截得的弦長為2但則k=（）

A.V2B.2V2

C.4D.4V2

答案B

解析易知圓/+產(chǎn)2尸=0的圓心為（0,1）,半徑尸2,

則圓心到直線尸Ax+或女（左W0）的距離為愣上&不忑=1,得Q2加（R）舍）.

4.（2025?石家莊質(zhì)檢）已知圓Oi：/+jR=5與圓Oi:x2+y2-2x-4y=0交于4B兩點(diǎn),則|/8|=（）

A.yB.V5

C.V15D.平

答案C

解析因?yàn)閳AOi：/+f=5,所以01（0,0）,

哈生片=倔

又圓Oi:x2-^-2x-4y=0,

圓。1與圓。2交于48兩點(diǎn)，

所以直線AB的方程為2x+4廣5=0,所以點(diǎn)。40,0）到直線AB的距離，勺島片?，

所以陰=2Jr：一#=2小-衿屈.

5.圓/+2什產(chǎn)+4伊-3=0上到直線x+j?l=0的距離為&的點(diǎn)共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案C

解析圓的方程可化為a+1）2+042）2=8,圓心（-1,-2倒直線的距離d上與產(chǎn)衣,半徑是2V2,結(jié)合

圖形（圖略）可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn).

6.（2025?昆明調(diào)研）己知直線/:x+2yT=0及圓C:（x+l）2+（y+2）2=4,過直線/上任意一點(diǎn)P作圓C的一

條切線PA,A為切點(diǎn)，則1ali的最小值是（）

A4遙2V5

A—Bo—

「4V70八2V70

C?丁D.丁

答案A

解析由題可得，圓心C（-l,-2）;\AC\=2t且PALAC,

所以P周2=1尸C|2—4.

要使『川最小,需|PC|最小.

|PC|的最小值為點(diǎn)C到直線/的距離，

所以因|22（：：；）2T

所以山噲?所以出島二警.

7.若一條光線從點(diǎn)4(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(工+3)2+什-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜

率為()

A-4

C.爭一D.泗

答案c

解析點(diǎn)4(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為?(2,-3),

故可設(shè)反射光線所在直線的方程為y?3=?v-2),

化為kx-y~2k~3=0,

???反射光線與圓a+3)2+(y-2產(chǎn)1相切，

???圓心(-3,2)到直線的距離…鏟3\,

Vfc2+1

得24^+50^+24=0,

8.(2023?全國乙卷)已知O。的半徑為1,直線PA與O。相切于點(diǎn)4直線PB與。0交于B,C兩點(diǎn),D

為8。的中點(diǎn),若|PO|=&,則方?麗的最大值為()

A1+、2

A—B-

C.I+V2D.2+V2

答案A

解析法一連接04

由題可知I。*=l,04_LP4

因?yàn)閨。尸產(chǎn)或，

所以由勾股定理可得|4|=1,

則NPN《.

4

設(shè)直線OP繞點(diǎn)P按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)循與直線PD重合,則

44

//尸7號&且|PQ|=&cos0.

所以園?麗=|同||而|cos(；+6)

=>/2cos6/COSQ+6)

=V2cos9(￥cose一芋sind)

=cos2^-sin"cos6?=^+|cos2%gsin20

=^cos儂+：)w冷

法二以圓心0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)圓。:f+產(chǎn)=1,點(diǎn)P(V2,0),

因?yàn)榍?。力_1_04

所以/尸。胃不妨設(shè)力停片).

設(shè)直線P。的方程為y=k(x-x[2),R(x\,y\),C(x2,y2),由卜/7)，

+y'=L

得(公+\)x2-2y/2k2x+2k2~\=0,

由1=-4(3+[)(24]尸4-4尸>0,

解得-iqvl,

2同2

則xi+x=

2k2+l

yI出斗(X】+'2-2企尸一需，

所以。(落-圖,

于是左(-轉(zhuǎn))，喇-島-蜀

所以福?麗

K十1

設(shè)白飛則0</<2,加一(屋小Z工2-/_產(chǎn)心格

當(dāng)且僅當(dāng)片瘋,即Q1-加時(shí)等號成立

二、多選題

9.己知圓G：(X-Q)2+8+2)2=25,圓C2：(X+1)2+O+〃)2=4,若圓G與圓。2內(nèi)切,則實(shí)數(shù)a的值是()

A-2B.2

C.-lD.1

答案BC

解析由題可知圓心G(a,-2),半徑n=5,

圓心C2(-1,-tz),半徑廠2=2,因?yàn)閳AG與圓C2內(nèi)切,

所以|CC2|=J(a+1)2+(—2+a)2f「01=3,

解得。=T或4=2.

10.(2025?重慶診斷)已知圓C:(x-l)2+0^-2)2=9,直線/:〃心+尹1)+jr=O,〃PR,則下列說法錯(cuò)誤的是

()

A.直線/過定點(diǎn)

B.直線/與圓C一定相交

C.若直線/平分圓C,則〃尸-4

D.直線/被圓。截得的最短弦的長度為百

答案ACD

解析對于A,由m(x+y+1)+y-x=O對于任意的m成立，

可需：匯『°’所以

直線/過定點(diǎn)(W，-》A錯(cuò)誤；

對于B,將定點(diǎn)(—1,-鄉(xiāng)代入圓C的方程得(一l)2+(-1-a)之卷＜9,

可知點(diǎn)(一表一§在圓(1)2十(y2)2-9的內(nèi)部，

所以直線/與圓C一定相交,B正確；

對于C,直線/平分圓C即直線i過圓C的圓心，將圓心坐標(biāo)(1,2)代入直線/的方程得小(1+2+1)+2-

1=0,得片T，C錯(cuò)誤；

對于D,由選項(xiàng)A知直線/過定點(diǎn)(-

則定點(diǎn)恰為最短弦的中點(diǎn)，

圓心與定點(diǎn)間的距離"=](1+丁+(2+丁岑，

則最短弦長為2kp=2j9^f=V2,故D錯(cuò)誤.

11.(2。21?新高考I卷)已知點(diǎn)尸在圓(x-5)2+3-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0),8(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線44的距離小于10

B.點(diǎn)。到直線的距離大于2

C.當(dāng)/PBA最小時(shí)，甲/=3/

D當(dāng)/PB4最大時(shí),|尸4|=3企

答案ACD

解析設(shè)圓(廠5)2+0-5)2=16的圓心為“(5,5),由題意知直線AB的方程為”1,即戶2廠4=0,則圓

aL

心〃到直線AB的距離“沖浮”|>4,所以直線AB與圓M相離,所以點(diǎn)P到直線”的距離的

最大值為4+d=4+2,又444<5+1^=10,故A正確；

V5v55

易知點(diǎn)尸到直線AB的距離的最小值為+4關(guān)-4,又&4心n4=1,故B不正確;

過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,0,如圖所示,連接MB,MN,MQ,

則當(dāng)最小時(shí),

點(diǎn)月與N重合,

\PB\=y/\MB\2-\MN\2=y/52+(5-2)2-42=3V2;^APBA最大時(shí),點(diǎn)P與。重合,|PB|=3四,故

C,D都正確.

三、填空題

12.(2025?湖州調(diào)研)過點(diǎn)P(l,V5)作圓。:/+>2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為4B,則弦長

陰=一

答案V3

解析如圖所示,

\,P4P8均為圓。：/啖=1的切線,

：.OAA.AP,

VP(1,V3),。(0,0),

：.\OP\=Vl+3=2.

在中，|。川=1,

AcosZAOP^：.ZAOP=60°,

\AB\=2\OA^\n/AOP=痘.

13.與直線工+y2=0和曲線/+產(chǎn)⑵T2酎54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

答案

解析曲線方程化為(廠6)2+什-6)2=18,

其圓心到直線戶尸2=0的距離公16+聯(lián)2|一5&,

V乙

所求的最小圓的圓心在直線產(chǎn)r上,其到直線的距離為加,圓心坐標(biāo)為(2,2),

則標(biāo)準(zhǔn)方程為(工-2)2+。-2)2=2.

14.(2022?新高考I卷)寫出與圓戶曠=1和(r3)2+&-4)2=16都相切的一條直線的方

程.

答案尸-1或7廠24廣25=0或3x+4廣5=0(答案不唯一，只需寫出上述三個(gè)方程中的一個(gè)即可)

解析如圖,因?yàn)閳A爐+產(chǎn)1的圓心為0(0,0),半徑八=1,圓(l3)2+54)2=16的圓心為4(3,4),半徑

卷=4,

所以04|=5,門+/2=5,所以川=為+外