第三章圓知識歸納與題型突破(十三類題型清單)

01思維導(dǎo)圖

題型一概念綜合辨析

題型二垂徑定理及推論

題型三圓心角

題型四外接圓

題型五圓周角

題型六圓內(nèi)接四邊形

題型七正多邊形與圓

02知識速記

一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1.圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

要點：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可：

②圓是一條封閉曲線.

2.圓的性質(zhì)：(I)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合：圓是中心對稱

圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對

應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

要點：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在

這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦

不能是直徑)

3.兩圓的性質(zhì)

(I)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.

4.與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90。的圓周角所對的弦為直徑：半圓或直徑所對的圓底角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.

要點：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.判定一個點P是否在。。上

設(shè)。O的半徑為「，OP=J,則有

d>r0點P在。o外；d=r=點P在。O上；d<尸0點P在內(nèi).

要點：點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系：

知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.

2.判定幾個點人2、…An在同一個圓上的方法

當(dāng)4。=4。==4。=又時，4、4、…A在。o上.

3.直線和圓的屈置關(guān)系

設(shè)。O半徑為R,點O到直線？的距離為d.

(1)直線？和。。沒有公共點O直線和圓相離=d>R.

(2)直線/和。O有唯一公共點=直線/和。O相切=d=R.

(3)直線/和。O有兩個公共點=直線/和。O相交=d<R.

4.切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線

的夾角.

5.圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)OO「OQ的半徑為Rr(R>r),圓心距口儀二乩

(1)。。1和。Q沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部=。010Q外離

=d>R+r.

(2)。0］和04沒有公共點，且。《％的每一個點都在0G內(nèi)部。。/。4內(nèi)含odv&-r

(3)oq和04有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部=。?！?。4外切

=d=&+「?

(4)。。］和CXZ有唯一公共點，除這個點外，。。2的每個點都在。。］內(nèi)部=。/0Q內(nèi)切

od=R-r.

(5)OG和Q0有兩個公共點。oq06相交=R-r<d<R+r.

三、三角形的外接面2與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四齒形與)卜切四邊形

1.三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三

角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形

內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距

離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；宜到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，

通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.

要點：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積

的一半，即S=」Pr(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

2

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：

名稱確定方法圖形性質(zhì)

外心(三角形外三角形三邊中垂線的(1)OA=OB=OC；(2)外心不一

A

接圓的圓心)交點s定在三角形內(nèi)部

內(nèi)心(三角形內(nèi)三角形三條角平分線(1)到三角形三邊距離相等；

切圓的圓心)的交點(2)OA、OB、0C分別平分/

BAC、NABC、ZACB；(3)

內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

2.圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

四、圓中有關(guān)計算

1.圓中有關(guān)計算

圓的面積公式：冏長C=

力4R

圓心角為力。、半徑為R的弧長/=——

180

圓心角為打°，半徑為R,弧工為/的扇形的面積=四-=」次.

3602

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為/的圓柱的體積為4火2/,側(cè)面積為全面

積為2加?7+2”&T

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為，，高為力的圓錐的側(cè)面枳為k/y,全面積為

”即十刀及2,母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有火2+42=/2.

要點：

(I)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的二一，

360

即&2=%1；

360360

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可

以求出第三個量.

(3)扇形面積公式可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類

re22

似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：鼠.=

M36021802

03題型歸納

題型一概念綜合辨析

例題

1.下列說法正確的是()

A.經(jīng)過三點可以作一個圓B.直徑不是弦

C.等弧所對的圓心角相等D.相等的圓心角所對的弧相等

【答案】C

【分析】本題主要考查確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系.

根據(jù)確定圓的條件.弦的定義,限I心角、弧、弦的關(guān)系關(guān)系逐項判斷即可.

【解析】解：A.經(jīng)過不共線的三點可以作一個圓，所以A選項說法錯誤，不符合題意:

B,直徑是弦，故B選項說法錯誤，不符合題意；

C.等弧所對的圓心角相等，故C選項正確，符合題意；

D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故D選項說法錯誤，不符合題意.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

2.已知。。的直徑為5,若P0=5,則點。與。。的位置關(guān)系是（）

A.點P在。。內(nèi)，B.點P在。。上C.點尸在。。外D.無法判斷

【答案】C

【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；則?時，點在圓外；

當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi).

【解析】解：r=1=2.5,

VJ=5>2.5,

點夕在。。外，

故選C.

【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷.關(guān)鍵要記住若半徑為，，點到圓心的距離為"，則有：當(dāng)

4r時，點在圓外：當(dāng)d=z?時，點在圓上，當(dāng)dVr時，點在圓內(nèi).

3.下列語句中：（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）等弧所對的弦相等；（3）長度相等的兩條弧是等弧;

（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸.正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理，圓的對稱軸，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，據(jù)此判斷（1）;能重合的弧叫做等弧，據(jù)此判斷（2）（3）；

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對稱軸，據(jù)此判斷（4）.

【解析】解：（1）、不符合題意，需要添加前提條件，即在同圓或等圓中；

（2）、等弧所對的弦相等，正確，符合題意；

（3）、不符合題意，等弧是能重合的?。?/p>

（4）、不符合題意，圓的對稱軸是直徑所在的直線.

故答案為：B.

4.下列說法不正確的是（）

A.垂直于弦的直徑平分這條弦

B.弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦

C.在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等

D.平分弦的直徑垂直弦，并且平分弦所對的弧

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理及圓的有關(guān)概念判斷求解即可.

【解析】解：垂直于弦的直徑平分這條弦，故A正確，不符合題意；

弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，故B正確，不符合題意；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故C正確，不符合題意；

平分弦（不是直徑）的直徑垂直弦，并且平分弦所對的兩條弧，故D錯誤，符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

題型二垂徑定理及推論

例題

5.如圖，A8是的弦，半徑垂足為Q,設(shè)的半徑為5,CD=\,則48的長為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接OA，再求出8=4,根據(jù)勾股定理得出AD=y/o/r-OD2=3，

最后根據(jù)垂徑定理即可得出AI3=2AD=6.

【解析】解：連接OA,

'：OA=OC=5,CD=\,

OD—4,

OC±AB,

工AD=>JOA2-Ob2=3?

/.AB=2AD=6,

故選:B.

鞏固訓(xùn)練

6.如圖，OA,OB,OC都是＜O的半徑，AC,08交于點Z).若AO=CO=8,OD=6,則BO的長為

【答案】4

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)垂徑定理的推論得OE_LAC,再根據(jù)勾股

定理得0A=\lAD2+OD2=后+6?=10?即可求出答案.

【解析】解：.AD=CD=8,

.\OB1AC,

在RtA07)中，04=〃。1+8,=’8」+6)=10,

\08=10.

.?.87)=10—6=4.

故答案為：4.

7.簡車是我國古代發(fā)明的?種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動人民的智慧，如圖，點P表示簡車的?

個盛水桶，如圖2.當(dāng)簡車工作時，盛水桶的運行路徑是以軸心。為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面

截得的弦A8長為8m,簡車工作時，盛水桶在水面以下的最大深度為2m.則圓的半徑為.

【答案】5m

【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.過。點作半徑

OO_L/\A于后如圖，利用垂徑定理得到4?=3￡=4,設(shè)半徑為，根據(jù)題意得。七二--2,再利用勾股定

理列關(guān)于「的方程，解方程即可.

【解析】解：過。點作半徑于E,如圖，

AE=BE=-^=-x8=4（m）,

22v7

由題意得，Q￡=2m,

設(shè)半徑為，，則0￡=廠一2,

在RtAAFO中，AO2=AE2+OE2,

：,r2=42+(r-2)2,

解得：r=5m,

；?圓的半徑為5m,

故答案為：5m.

8.。。的半徑是10,弦AB〃CD,48=16,CD=12,則弦八B與。。的距離是()

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用.作OE_LAB于￡,。尸于F,由垂徑定理得

=；人B=8,CF=gcD=6,由于A8〃C。，易得E、0、/三點共線，在RtaAOE和RtAOB中，利

用勾股定理分別計算出OE與。尸，然后討論：當(dāng)圓心。在弦A8與。。之間時，AB與CO的距離=。產(chǎn)+OE；

當(dāng)圓心。在弦A8與CD的外部時，AB與C。的距離=OF-OE.

【解析】解：如圖，作OEJ_A3于￡,OFA.CDFF,連04,OC,Q4=OC=10,

則AE='AB=8,CF=-CD=6,

22

VAB//CD,

???￡、。、”三點共線，

在RtZXAOE中，OE=y]OA2-AE1=V102-82=6?

在RtAOb中，OF=yJOCr^CF2

當(dāng)圓心。在弦A8與CO之間時，A8與CO的距離OF+OE=8+6=14；

當(dāng)圓心O在弦AB與CD的外部時，AB與C。的距離OF-OE=8-6=2.

所以A8與C。的距離是14或2.

故選：C.

題型三圓心角

例題

9.如圖，A8是：。的直徑，BC=CD=DE，NCOD=48。，則N8OE的度數(shù)為

【答案】144。/144度

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角相等求出N/X犯=/。。。=/8。。=48。，進(jìn)而求解即可.

【脩析】?：BC=CD=DE，NCOO=48。，

???/DOE=NDOC=ZBOC=48°

???ABOE=ZDOE+ZDOC+ZBOC=48°x3=144°.

故答案為：144。.

【點睛】此題考查了同弧所對的圓心角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

鞏固訓(xùn)練

10.如圖，在O中，AB=2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.AR=2CDD.A8與2C。的大小關(guān)系無法比較

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理.可過。作半徑于E,由垂徑定理可知A尸因此只需比較Ab

和CO的大小即可；易知AE=:A8=CZ）,在Rt_AM中，AF是斜邊，AE是直角邊，很顯然AF>AE，即

AF>CD,由此可判斷出Ab和CQ的大小關(guān)系，即可得解.

【解析】解：如圖，過。作半徑。尸_LA4于E,連接詼；

/.AE=CD=-AB-

2

在Ri_/\E尸中，AF>AE,則A產(chǎn)）CD；

??AF>CD,&PAB>2CD：

故選：A.

11.如圖，四邊形A3CO內(nèi)接0,AC平分N8AO,則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.ZfiC4=ZZ）C4

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】解：A、?.NAC8與NACZ）的大小關(guān)系不確定，J.AB與A。不?定相等，故本選項錯誤;

B、AC平分ZHAO,:.ZBAC=ZDAC,；?BC=CD，：.BC=CD,故本選項正確；

C、/4C8與NA8的大小關(guān)系不確定，43與40不一定相等，故本選項錯誤;

D、N8C4與NOCA的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤.

故選:B.

【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

12.如圖，在CO中，AC=BC，。、E分別是半徑0A與（用的中點，連接OC,AC,BC,CD,CE,則下

列結(jié)論不定成立的是（）

A.AC=BCB.CD=CEC.ZAOC=NCQBD.CD1OA

【答案】D

【分析】在（。中，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可判斷A選項，證明可判斷B、C選項，根

據(jù)已知條件，不能證明C4=CO,可判斷D選項.

【解析】解：在《9中，?.?AC=BC，

:.AC=BC,故A選項不符合題意；

OA=OB

在△AOC與BOC中，\OC=OC,

AC=BC

.?…AOC"80c（SSS）,

.\ZCAD=ZCBE,ZAOC=NCO8,故C選項不符合題意；

，：D、E分別是半徑04OB的中點，

AD=BE，

在&ACD與.5CE中,

AC=BC

<ZCAD=Z.CBE,

AD=BE

.?.△ACZ)^ABCE(SAS),

:.CD=CE,ZACD=NBCE,故B選項不符合題意：

,.?C4和OC不一定相等，

」.CO和。4不一定垂直，故D選項符合題意.

故選:D.

【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)

鍵.

題型四外接圓

例題

13.直角三角形的兩邊長分別為6和8,它的外接圓的半徑是（）

A.2B.4C.5D.以上都不對

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形外接圓的特點，分當(dāng)邊長為8的邊為直角邊和斜邊兩種情

況，根據(jù)直角三角形的斜邊為其外接圓的圓心進(jìn)行求解即可.

【解析】解：當(dāng)邊長為8的邊為直角邊時，則斜邊長為病莪?nlO，

???直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，即直角三角形的斜邊為其外接圓的圓心，

，此時該直角三角形外接圓的半徑為5；

當(dāng)邊長為8的邊為斜邊時，則該直角三角形外接圓的半徑為4；

故該直角三角形外接圓的半徑為乙或5,

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

14.在一個直角三角形中，兩邊長分別是5,12,那么這個三角形的外接圓的半徑是一.

【答案】6或三13

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心、勾股定理.熟練掌握直角三角形的外接圓半徑為斜邊邊長的

一半是解題的關(guān)犍.

根據(jù)題意分兩種情況討論，然后由“直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓''

來求該直角三角形外接圓半徑即可.

【解析】解：???在一個直角三角形中，兩邊長分別是5,12,

當(dāng)5,12是直角三角形的兩條直角邊時，

「?根據(jù)勾股定理知，該直角三角的斜邊長為疹赤=13，

???此三角形的外接圓的半徑是三13；

當(dāng)12是直角三角形的斜邊時，

，此三角形的外接圓的半徑是6；

綜上所述，這個三角形的外接圓的半徑是6或1.

故答案是:6或左.

15.已知中，乙4=90。，AB=6,AC=8,則VAAC外接圓的半徑為()

A.3B.4C.5D,不確定

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，在RtZ\A8C中，利用勾股定理求出8c的長，然后根據(jù)直角三

角形外接圓的直徑等于斜邊的長艮］可解答.

【解析】解：在RtaA8c中，4=90。，48=6,4C=8,

，BC=ylAB2+AC2=762+82=10,

???V48C外接圓的半徑=；8c=5,

故選：C.

16.若直線/上有四點A,B,C,直線/外有一點P,則經(jīng)過圖中的三個點作圓，最多可以作個.

【答案】6

【分析】本題考查了確定圓的條件，理解“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”是解題的關(guān)鍵.直線/上

的四點A,B,C,。，選其中三個點不能確定圓，只能從中選擇二個點，與點P三個點作圓，再列舉出選取

的方式即可.

【解析】解：???不在同一條直線上的三個點確定一個圓，

???A,B,C,D,四點中選擇二個點，與點P,三個點作圓，

選取的方式有：A,4,P；4,C,P；A,D,P；B,C,P；B,D,P；C,D,P,共6個.

故答案為：6.

題型五圓周角

例題

17.如圖，A8是。。的直徑，。是00上一點.若N4OC=66。，貝l」NA=()

c

AB

A.66°B.33°C.24°D.30°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解.

【解析】解：NBOC=66°,

???NA」N8OC=33。,

2

故選:B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

18.如圖，點A,B,C均在上，若/4。8=50。，則/ACA的度數(shù)是（）

50°C.75°D.100°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵，直接根據(jù)圓周角定理即可得解。

【解析】解：???NAO8=50。,

/./ACR=-/AOR=ix50°=25°,

22

故選：A.

19.如圖，是VA4c的外接圓，若480=30。，則/ACB的度數(shù)是（）

A

A.50°B.60°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】本題考查圓周角定理.首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出N4O3的度數(shù)，再利

用圓周角與圓心角的關(guān)系求出NAC8的度數(shù).

【解析】解：VAO8中，OA=OB,ZA8O=30。，

Z.Z.AOB=180°-2ZABO=120°,

.??ZACB=-ZAOB=60°.

2

故選：B.

20.如圖，AB.CO是10的弦，且AB=C。，若N8OD=84。，則NACO的度數(shù)為（）

C.46°D.48。

【答案】D

【解析】此題考查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓心角、弧、弦的為系求出Z4OC=NB8=84。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，連接QA,

AB=CD,

...AB=CD，

AB-AD^CD-AD^

：.AC=BD，

;2OC=/BOD=84。,

OA=OC,

ZACO=ZCAO=1(1800-ZAOC)=；x(180。一84°)=48°.

故選：D.

21.如圖，4ABC是。0的內(nèi)接三角形，AD_LPC于D點，且AC=13,CD=5,AB=12拉，則。O的直

【答案】C

【分析】作直徑AE,連接BE,如圖，先利用勾股定理計算出AD=12,根據(jù)圓周角定理得到NABE=90。,

NAEB=NACB,則可判斷△ABES/XADC,然后利用相似比求出AE即可.

【解析】解：作直徑AE,連接BE,如圖，

VAD1BC,

AZADC=90°,

22

AAD=>/i3-5=12，

VAE為直徑，

AZABE=90°,

AZABE=ZADC,

而NAEB=NACB,

AAABE^AADC,

.AEABHnAE125/2

ACAD1312

，AE=13拒,

即。O的直徑等于13拉.

E

【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做

三角形的外心.也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

題型六圓內(nèi)接四邊形

例題

22.如圖，四邊形八8CZ）內(nèi)接于O,已知NWC=14（尸，則一八6C的大小是（）

A.80°B.100°C.60°D,40°

【答案】D

【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓內(nèi)接四

邊形的對角互補(bǔ)計算即可.

【解析】解：???四邊形A8C。內(nèi)接于OO,

/.NADC+NA4C=180°,

Z4DC=140°,

???ZABC=180°-140°=40°,

故選:D.

鞏固訓(xùn)練

23.在正方形網(wǎng)格中，以格點。為圓心畫I員I,使該圓經(jīng)過格點4,B,并在圓弧上取點C,D,連接

AGBC,AD,BD,則ZADZ?的度數(shù)為（）

A.135°B.130°C.120°D.不確定

【答案】A

【分析】本題考查的是圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.直接根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)解答

即可.

【解析】解：如圖，連接OAO8,

由圖可得乙4。8=90。，

..NAC8=4N4O8=45°,

2

,,四邊形AO8C是圓內(nèi)接四邊形，

ZADB=180°-ZACB=180°-45°=135°,

故選:A

24.在：。中，A8為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC翻折，交A8于點。，連接CO.如圖,

若點。與圓心。不重合，N3AC=26。，則NACO的度數(shù)為.

【答案】38。

【分析】本題考查對折的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：設(shè)AC上點。的對應(yīng)點為

點、E,連接人及C石，則得NE4C=NR4C=26。，NDCA=NECA；由A8是直徑及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可

得/ECB的度數(shù)，從而求得結(jié)果.

【解析】解：設(shè)AC上點。的對應(yīng)點為點七，連接AE、CE,如圖,

由折疊性質(zhì)得：N￡4C=N3AC=26。，ZDC4=ZEC4；

/BAE=52。,

,:AB是直徑，

工ZACT=90°；

???四邊形AEC8是圓內(nèi)接四邊形，

???Z.ECB=180°-NBAE=128°,

???ZDCA=ZEC4=ZECB-ZACB=38°,

故答案為：38°.

25.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于O,ZBAD=45°,BC=?，CD=2,貝I」。的半徑為（）

A.6B.VioC.2石D.2M

【答案】A

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).連

接08、OD、BD,過點8作8石/?！?交CO的延長線下點E,根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得

ZfiCD=135°,ZBOD=90°,進(jìn)而得到4c￡=45。，可得BE=CE=立BC=I,根據(jù)勾股定理求出4。，最

2

后根據(jù)08=00=立BO,即可求解.

2

【解析】解：如圖，連接06、OD.BD,過點8作座工。石交CD的延長線于點E,

「四邊形A8C。內(nèi)接于1O,/孫力=45。,

「?/BCD-180°-/BAD-135°,^BOD=243AD=90°,

??.NBCE=1800—N8CO=180°—135Q=45。,

ZE=90°,BC=O,

??.BE=CE=sinNBCE2BC=叵BC=T，

2

,0)=2,

ED=CE+CD=]+2=3,

二.在RtBED中,由勾股定理得：BD=>il3E2+ED2=Vl2+32=x/10?

NBOD=90。,OB=OD,

???OB=OD=sinZOBZ7?BD=—J?D=—xV10=>/5,

22

二?CO的半徑為石，

故選：A.

題型七正多邊形與圓

例題

26.如果一個正多邊形的中心角為45。，那么這個正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】8

【解析】試題解析：這個多邊形的邊數(shù)是360?45=8,

故答案為8.

鞏固訓(xùn)練

27.如圖，正六邊形ABCDM內(nèi)襲于00,點M在人8上，則NCME的度數(shù)為

【答案】60。/60度

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出

NCOE=120°是解決問題的關(guān)鍵.

連接。CODOE,由正六邊形的性質(zhì)得出NCOE=120°,由圓周角定理即可求解.

【解析】解：如圖：連接OCODOE,

,:多邊形ABCDEF是正六邊形,

360°

Z.COD=ZDOE=——=60°,

6

:.ZCOE=2ZCOD=\20°,

:.ZCME=-^COE=60Q,

2

故答案為：60°.

AF

28.如圖，AE,。b是正八邊形48CDEAG〃的兩條對角線，則==

【答案】a

【分析】此題考變了正八邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)健.設(shè)正八邊形A4C以尸G”中心為點

O,連接OEOD，求出中心角/OO/=90。，設(shè)OD=O/得到4E=2〃,。尸=缶，即可得到答案.

【解析】解：設(shè)正八邊形AHCOEFG”中心為點O,連接0￡。。，如圖，

???多邊形為正八邊形,

2

，中心角NDOF=360°x-=90°,

8

設(shè)。力=O尸=a,

，AE=2a,DF=yf2a

.AE_2。_萬

?,麗二石=及，

故答案為：V2

29.如圖，。是正五邊形ABC/犯的內(nèi)切圓，分別切ARC。于點M,N,P是優(yōu)弧MPN上的一點，則NMPN

的度數(shù)為

【分析】本題考查正多邊形和圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理以及定邊形內(nèi)角和的計算，掌握正五邊形的性

質(zhì)，切線的性質(zhì)，圓周角定理以及多邊形內(nèi)角和的計算方法是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出NB=NC=108。，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOM3=N0NC=9O°,由五邊形的內(nèi)角和求

出NMON=144。，由圓周角定理即可得出答案.

【解析】解：???O是正五邊形48CDE的內(nèi)切圓，分別切于點

?是正五邊形，

”=”=正網(wǎng)％08。，

5

NMON=(5-2)x180°-90°-90c-l08°-108°=144°,

:.￡MPN=L/MON=TT,

2

故答案為：72.

題型八弧長與扇形面積

例題

3().已知四邊形A4C7)是矩形，M=2,BC=20，以點8為圓心BC為半徑的圓交A。于點石，則圖中陰

影部分的面積為.

【答案】40-2-)

【分析】本題主要考查了求扇形的面積，勾股定理，矩形的性質(zhì).證明酢=",可得=旗=45。,

NCBE=45。,再由陰影部分的面積為S矩形A8c「S小-S中形儂，即可求解.

【解析】解：???四邊形ABCD是矩形，

???ZABC=ZA=90°,

由題意得：BE=BC=2&，

VAB=2,

'AE=yjBEl2-AB2=2，

/.AE=AB,

???ZABE=Z4EB=45°,

???NCBE=45。,

工陰影部分的面積為S矩形A8c0一S,9-形CBE

=ABxBC--ABxAE-45；rxBC

2360

l145/rx(2⑸

=2x2V2--x2x2----------——匚

2360

=4>/2—1—71

故答案為:4近-2-71

鞏固訓(xùn)練

31.如圖，半圓。中，直徑A8=30,弦CD/7A6,C'。長為6兀，則由C'。與AC,A。圍成的陰影部分面積

【分析】連接OGOD,根據(jù)同底等高可知S4ACD=S4”“，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OC。的面積，利

用扇形的面積公式5=g＞來求解.

：.OC=OD=-x30=\5,

2

：.CD//ABt

SAACL^SAOCDF

CD長為6冗,

???明影部分的面積為S*二S及,OCD-JX6兀X15=45兀,

故答案為：457r.

【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，正確理解陰影部分的面積二扇形CO。的面積是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，在平面內(nèi)將RtZ\A8C繞著直角頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到RtZ\EFC,若AB=ECF=1,

則陰影部分的面積為

【答案】7T—1—1+^

【分析】先由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=￡C,BC=FC,即可根據(jù)勾股定理求出入C的長，再根據(jù)

S陰影=S,形-S&ECF，即可得出結(jié)論.

【解析】解：AEFC是由上ABC旋轉(zhuǎn)而成,

AC=EC，BC=FC=1，

,在RtZ\A8C中，A8=V5，?C=1,

，AC=y/AB2-BC2=J（石『-產(chǎn)=2,

AC=EC=2，

907rx2:

S陰影=S畫形一S4ECF—x2xl=乃一|,

3602

故答案為：萬-1.

【點睛】本題考查的是扇形的面積公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

33.如圖,在RtZXABC中,4a=90。,00是VABC的內(nèi)切圓,若AC=3,5C=4,則圖中陰影部分的面積

【分析】本題考查與圓相關(guān)的陰影部分面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意求出圓的

半徑和上皿用的度數(shù)，再計算出S板與與形MM的差，即可得到答案.

【解析】解：連接OE、OF,

???，O是VABC的內(nèi)切圓，

，。分別與A8、BC、AC相切于點。、E、F,

???四邊形CEOf'是正方形，

設(shè)。。的半徑為

:.CE=CE=r,

VZACB=90°.AC=3,BC=4,

/.AB=5,

AAD=AF=3-r,BE=RD=4-r,AD+BD=5,

A(3-r)+(4-r)=5,解得：r=l.

O是VA4c的內(nèi)切圓，

.?.Z.OAB=-ZCAB,NOBA=-ZCBA,

22

ZAO8=180。-(NOAB+NOBA)=180。-g(ZC4B+ZCBA)=135°,

?二1月影部分的面積=SA08-S|「c=—x5xl--!^^-!-=---.T，

A08加形MM236028

53

故答案為：-.

2o

34.如圖，已知正六邊形A8CDE/的邊長為2,以點E為圓心，石尸長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得

的DF的長為.

【答案】y

【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)六邊形A8CD四是正六邊形，根據(jù)正

多邊內(nèi)角和等于(〃-2)x180。，求出內(nèi)角/?！晔?，再根據(jù)弧長公式即可得出答案.

【解析】解：???六邊形ABODE廠是正六邊形，

，功吁伯-力⑻。.磔。,

6

.120^x24萬

..DF=-------=——,

1803

故答案為：彳4不.

35.如圖，半徑為6的扇形AO8中，"OB=90°,C是相上一點，CD1OA,CE1OB,垂足分別為

E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為.

A

OEB

9/r

【答案】y

【分析】本題考查扇形面積的計算，角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理和扇形的面積公式是解題

關(guān)鍵.連接OC，根據(jù)題意可得出S陰防部分=5場形—再根據(jù)扇形的面積公式計算即可.

【解析】解：如圖，連接OC，

VCD1O4,CE1OB,CD=CE,

???0C平分NAO3.

又=408=90。，

???ZfiOC=-ZAOB=45°.

2

,/ZAOB=ZCEfi=90°

:.AO//CE,

-q

DCE-0OCE，

,_《_454x6?_9尤

陰影部分=3鼎形OBC=一-=工

故答案為：y

36.如圖，A3是《。的直徑，點。是《X?上一點，點。在的延長線上，8與CQ交于另一點E,

DE=OB=2,?D20?,則BC的長度為（結(jié)果保留五）.

C

E.

DB

O

【答案】衣嚀

JJ

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，弧長的計算，三角形外角的性質(zhì)等知識；連接0￡,0C,則得?！?

0E=2,則得/EOD=ND=20。，Z.OEC=2zD=40°；由三角形外角的性質(zhì)求得乙COB,最后由弧長公式

即可求解.

【解析】解：連接。E,OC,如圖,

則OE=OC=OB,

:.Z.OEC=Z.OCE；

vDE=OB=2,乙D=20°,

???DE=OE,

Z.EOD=4=20°,

:.乙OEC=2乙D=40°；

:.Z.OCE=乙OEC=40。；

???ACOB=zD+AOCE=200+40°=60°,

故答案為：;7T.

>5

題型九直線與圓的位置關(guān)系

例題

37.已知。的半徑「為女m,圓心。到直線/的距離4為4cm,直線，與:O的公共點個數(shù)為（)

A.0個B.1個

C.2個D.以上都不對

【答案】A

【分析】本題考查的是圓與直線的位置關(guān)系，圓與直線的位置關(guān)系有相離，相交，相切，熟悉三種位置關(guān)

系對應(yīng)的公共點的個數(shù)是解本題的關(guān)鍵.圓的半徑為r圓心到直線的距離為d,當(dāng)d>r時，圓與直線相離，

直線與圓沒有交點，當(dāng)"=/?時，圓與直線相切，直線與圓有一個交點，當(dāng)d</?時，圓與直線相交，直線與

圓有兩個交點，根據(jù)原理可得答案.

【解析】解：的半徑，?為3cm,圓心。到直線/的距離d為4cm,

即圓心。到直線/的距離大于圓的半徑，

，直線，和OO相離，

???直線/與OO沒有公共點.

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

38.V4AC中，AB=AC=6,BC=4,以點A為圓心，5為半徑畫圓，那么該圓與的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理，明白要作A加上BC、

求出A。是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意畫出V48C,并過點A作AO13C于點。，根據(jù)等腰三角形三線合?求得BO的長，再利用勾股

定理求得AO的長，把AO與圓的半徑5比較大小，判定該圓與BC的位置關(guān)系即可.

【脩析】解：如圖，根據(jù)題意畫出VA4C,并過點A作AD/3。廣點。，

BD=CD=-BC=-x4=2,

22

?*-AD=y/AB^-BEf=^69-29=45/2?

V4>/2=732>725=5,

，以點A為圓心，5為半徑的圓，與BC的位置美系是相離，

故選：A.

題型十切線的判定與性質(zhì)

例題

39.如圖，人8是。。的直徑，BC交00于點D,。石工AC于點E,下列說法不正確的是（）

CK

A.若DE=DO,則DE是0O的切線B.若A8=AC,則DE是的切線

C.若8=08,則￡>E是。。的切線D.若OE是。。的切線，則A3=AC

【答案】A

【分析】根據(jù)A4=4C,連接4。，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點。是8c的中點，0。

是4WC的中位線，OO〃AC,然后由OE_LAC,得到NOOE=90。，可以證明DE是。。的切線，可判斷4

選項正確；

若DE是的切線，同上法倒推可證明AB=AC,可判斷D選項正確；

根據(jù)CO=8O,AO=BO,得到。。是的中位線，同上可以證明QE是。。的切線，可判