第11章簡單幾何體（高效培優(yōu)單元測試?提升卷）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）

1.若球。的表面積為8兀，則該球的半徑為.

【答案】41

【分析】利用球的表面積公式列式求解.

【詳解】設球。的半徑為R,由球。的表面枳為8兀，得4兀露=8兀，解得衣=6,

所以該球的半徑為血.

故答案為：五

2.在正四棱臺488—44GA中，川？=244=4,點4到平面力的距離為6,則正四校臺

ABCD一44GD、的體積是.

【答案】56

【分析】根據(jù)題意，由棱臺的體積公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】設正四棱臺44Gq的高為。，則為=6.

由棱臺體積公式可得正四棱臺力4C。-44。A的體積是：

2222

1（.4151+Ji?+J1i51-/lZ?）/2=1x（2+4+2x4）x6=56.

故答案為：56

3.光是沿直線傳播的，則至少個點光源能完全照亮整個球體表面.

【答案】4

【分析】根據(jù)立體圖形的構成特點即可解題.

【詳解】兩個點光源只能在一條線上分布，無法照痙整個空間幾何體；

三個點光源只能在一個面上分布，無法照亮整個空間幾何體；

四個點光源就能構成立體光源，形成四面體狀態(tài)，只要球體能放入四面體內部，就能照亮整個球體表面（如

圖6）.

4.已知圓錐的底面半徑為及，且它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的表面積為.

【答案】6兀

I/17

【分析】根據(jù)圓錐的側面積列式求得圓錐母線長為/=2及，然后代入圓錐表面枳公式計算即可.

【詳解】設圓錐的母線為/，因為底面半徑/?=后，則2"=制，所以/=2r=2及，

所以該圓錐的表面積S=兀/」+71r/=7tx（及）+網(wǎng)x/2x2\/2=6兀.

故答案為：6兀

5.小王同學在手工課上制作了一個圓錐模型，若該模型的底面現(xiàn)是側面積的一半，則該模型軸截面頂角的

大小為.

【答案】6071

【分析1利用圓錐的側面積公式列方程，求解推得圓錐軸截面的形狀即得.

【詳解】設圓錐模型的底面半徑為人母線長為/,

由題得兀尸2=lx1x2”/,葩￡得/=2廠，

22

所以軸截面為等邊三角形，故該模型軸截面頂角的大小為60。.

故答案為；60°.

6.如圖，已知在三棱柱中，反產(chǎn)分別為力。,4。的中點，則截面E/必W分三棱柱的體積比

【分析】通過設54此=5,三棱柱的高為人來求出棱臺的體積，進而求出三棱

錐的體積，計算比值.

【詳解】設S〃FC=S,三棱柱力6C-48'C'的高為力.

展”二:(4S+S+VJF^人與，

JJ

1/-vv_7S/?_5Sh

丫BX-.4BFE~^ABC-CBA'~EFC-CBA'=?

VBUABFE_5

^EFC-CB'A'7

7.在圓臺a。］中，圓a的半徑是圓?半徑的2倍，且Q恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側面積與球

的表面積之比為

2/17

【答案】3:8

【分析】畫出圖形，設外接球的半徑為2A,則03=0/=2兄0出=凡然后結合圓臺的性質求出母線長,

從而可求出圓臺的側面積，進而可求出圓臺的側面積與球的表面積之比.

【詳解】如圖，設圓臺的外接球半徑為2H,則由題意可得024=。*=2a?4=/?,

過點B作BC上02A于點C,則02c=Of=R,

所以4c=qi-qc=R,

因為BC=。02=依"O產(chǎn)2=N氓2_R2=辰,

所以18=jBCi+IC?=13/?2+尺2=2R，

所以圓臺的側面積百=^（2兀寵+2兀x2R）x2/?=6冗R2,

因為球的表面積為S2=4兀（2/?『=16近,

所以圓臺的側面積與球的表面積之比為

S:S/=（6冗&2）:06元及2）=3：g

8.設正方體4的棱長為1,點M在正方體的表面上運動，且滿足4M與平面力BC。成45。的

角，則點加軌跡的長度為.

【答案】

2

【分析】根據(jù)滿足4M與平面"CO成45。的角可得”的軌跡為線段和;個圓（礪），故可求其

長度.

3/17

因為4M與平面/13CN＞成45。的角，

故M在為對稱軸且軸截面頂角的一半為45。的圓錐面上（除去4）,

而M在止方體表面上且由正方體的性質有/比1/=NDAA=4登，

故M的軌跡為線段4民4。和《人圓（粉），

故點"軌跡的長度為2五+：x2x冗=2五十,

故答案為：2-72+y.

9.我國古代有一種容器叫“方斗方斗〃的形狀是一種上大下小的正四棱臺（兩個底面都是正方形的四棱

臺），如果一個方斗的容積為28升（一開為一立方分米），上底邊長為4分米，下底邊長為2分米，則該

方斗的表面積為平方分米.

【答案】20+12%

【分析】由棱臺的體枳公式求得校臺的高，進一步求得棱臺的側棱的長度，結合勾股定理以及梯形的面積

公式即可求解.

如圖所示，高線為"N,由方斗的容積為28升，

可得28=；（4+16+x/4xl6）.MV,解得用N=3.

由二底邊長為4分米，下底邊長為2分米可得4W=2應，NB=y[i，視=心+（26-9=相，

側面梯形面積為gx（2+4）xJ（?r）2_（__J=3HT，

所以方斗的表面積為$=（22+42+4x3，d）dm2=（20+12疝》0?.

故答案為：2O+12V1O.

10.在四面體S-/J8C中，S/11平面48C,/歷1C=6O,￡4=240=4,48=3,則該四面體的外接球的表面

積為.

■出皿、76,76乃

【答案】

【分析】由題意作圖，根據(jù)外接球的性質確定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，結合球

的表面積公式，可得答案.

4/17

【詳解】由題意，取V/I8C的外接圓圓心為。，取/S的中點為E,空間中取點0,

連接力0,0。,40/0,其中EO/M。，0。_1平面48。，如下圖：

13

則點。是三棱錐S-ABC的外接圓圓心,

在V48C中，由余弦定理可得8c?="2+4C2-2.487CCOS/8<C=7,

BC_y/2\

即BC=yfl所以力。=

2sinZ.BAC3

因為/S_L平面力4C,OO_L平面/1BC,所以4S//。。,

又EO〃力。，則在平行四邊形E0D4中，OD=AE=、AS=2,

2

易得力o=>IAD2+OD2=—則外接球表面積為47r

故答案為：~n.

11.已知正方形"C。的邊長為2,將VH8C沿對角線彳。折起，使平面48C1平面/C。得到如圖所示的

三棱錐8-4C。，若O為力。的中點，M,N分別為線段。C,8。上的動點（不包括端點），且8V=CM=x,

則當三棱錐N-4MC體積的最大值時，x=.

【分析】先求證4。，平面力C。，接著結合題設條件和數(shù)據(jù)計算匕YTMC=；S“C”N。，再結合二次函數(shù)性質

即可求解.

【詳解】由題意可得8O_L4C,8。（=平面48。，平面力8CJ.平面力CO,且平面48Cc平面力CO=4C,

所以8O_L平面片?！辏?且由題--ZACD=45\

5/17

所以三棱錐N-AMC體積為

V

N-AMC="sTCMNO=*XCMsin45xNO=卜（匠x卜一卜二j-x=-9:一+:一，

Z

因為0<x<加，所以當x=立時，三棱錐N-/MC體積取得最大值為

26

故答案為：旦

2

12.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球圍成的幾何體.如圖

所示，已知正四面體44co的棱長為公，若勒洛四面體48CO內有一球，則該球的最大半徑為.

【分析】設"是底面8c。的中心，O是正四面體力8C。的中心，也是正四面體力8c。的外接球球心，設正

四面體48co外接球的半徑為是高，根據(jù)正四面體的性質，求得4M的長，在直角△O&W中，列出

方程求得A，進而求得勒洛四面體力8c。的內切球半徑.

【詳解】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體4個弧面都相切，即為勒洛四面體的內切球，

由對稱性知，勒洛四面體的內切球球心是正四面體/“。的內切球、外接球球心，

設M是底面8c。的中心，O是正四面體48。。的中心，也是正四面體48C。的外接球球心，止四面體力8CQ

外接球的半徑為兄力M是高，如圖1所示，

由正四面體的棱長為拉，可得CG=DG=專,BG=AG=4~，

則8M=2x^=邁，所以力M=.432一3加2=迪,

3233

在直角△08”中，由402=8,+。/,得上=（述_3+]烏，解得火=旦

[3）[3）2

因此，如圖2所示，勒洛四面體」出CQ的內切球半徑。￡=及一蟲.

2

故答案為：五-皂.

2

6/17

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正

確選項）

13.已知圓錐的母線長為6,側面積為18冗，則該圓錐的體積為（）

A.6&B.9兀C.9也itD.27氐

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的側面積公式和母線長求出圓錐的底面圓半徑，再求出圓錐的高，代入圓錐的體積公式

可求出圓錐的體積.

【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，母線長/=6,由題意知兀力=18兀，解得廣=3.

所以圓錐的高/?=廬彳=36，散圓錐的體積為:x38x9兀=9"限

故選：C.

14.如圖，在三棱柱48C-44G中，D,￡分別是和的中點，記G-44E。和力8C-44G的體

積分別為匕，%,則（）

A.匕=*B.匕=*

13

C.匕=”D.匕費匕

【答案】A

【分析】根據(jù)棱錐與棱柱的體積公式，結合圖形，可得答案.

【詳解】取CG的中點為尸，連接尸，如下圖：

7/17

易知三棱柱4片G-。石產(chǎn)的體積是三棱柱4片G的一半，

由圖可知三棱錐G/與三棱柱-DEF同底等高，

則三棱錐G-尸的體積是三棱柱A、B￡-DEF體積的三分之一，

即四棱錐?！?。七4的體積是三棱柱4B￡-DEF體積的三分之二，

綜上可得四棱錐G-4。￡片的體枳是是三棱柱A^C1-ABC的三分之一，

即匕=1.

故選：A.

15.如圖，可任意轉動的正方體力BCQ-4A|G。容器（忽略容器的器壁厚度）內部裝滿了水，E為44的

中點，在點￡,8,G的位置鑿出三個小洞（將三個小洞視為質點），則這個容器最多可盛原來水的（）

【答案】B

【分析】要使容器可盛水最多，簾讓平面上4G為水平面，取44的中點產(chǎn)，則所在平面為3加G，

所以容器可盛水最多時水的體積等于正方體體積減去三棱錐用-K8G的體積和四棱錐44FG的體積之

和，求出體積即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可知要使容器可盛水最多，需讓平面石8G為水平面，

取4A的中點尸，連接石尸，BE.BCi，F(xiàn)C,,由于EF//BC、,所以反瓦￡G四點共面，

8/17

a

則BEC,所在平面為REFg,所以容器可盛水最多時水的體積等于正方體體積減去三棱錐用-EBQ的體積和

四棱錐的體積之和.

不妨設正方體的邊長為2,則正方體的體積P=8,

因為￡為44的中點，所以點￡到平面四C的距離為2,=1x2x2=2,

14

所以%-叫G=qx2x2=5，

JJ

點2到平面與4/G的距離為1，％邊形叼陽=4卜1x2=3,

所以唯“￡=$1x3=1,

o_4

所以容器最多可盛原來水的*一§T=17,

8~24

故選：B

16.中國占代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的立體為“牟

合方蓋"，但劉徽未能求得牟合方蓋的體積，約200年后，祖沖之的兒子祖唯提出“累勢既同，則積不容異、

后世稱為祖晅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等.圖1為棱長

為r的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為,?的正方體的八分之一，圖3是底面邊長為「的

正方體的一個底面和底面以外的頂點作的正四棱錐，由祖咂原理計算知，牟合方蓋的體積與其外切正方體

的體積之比為（）

9/17

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，列等式，套用正方體，錐體體積公式求解.

【詳解】設正方體的邊長為2廠，則/方體=（2廠）3=8/,

"寧4方體一/牟令方靛=天,一=['/正方體，則4合力送=T々方體'

OO3JoJ

所以牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為:2.

故選：B.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20、21題每題18分.）

17.如圖.在二楂錐夕一力/?。中，PA1.PB.PA1PC,PB1PC,PA=3,PB=4,PC=5,

⑴求三棱錐P-48c的表面積；

（2）求三棱錐尸-48C的外接球體積.

【答案】⑴47+、兩

2

卬125拒

（2）---兀

【分析】（1）由直角三角形面積公式得到面枳，由余弦定理和三角形面積公式得到V/8C

面積，相加得到表面積；

（2）由兩兩垂直可知補成長方體，長方體體對角線即為外接球直徑，再由球的體積公式得到外接球體積.

10/17

【詳解】(1)由題意得S",B=；XP4X尸8=；x3x4=6,

SPAC=-xPJxPC=-x3x5=—.S=-xP5xPC=-x4x5=10,

A/222q，22

以下計算S“8C，

在RtZ\218中，PA=3,PB=4,所以44=5,

在RtZXPXC中，0/=3,尸C=5,所以力。=取,

在RtaP8c中，PB=4,PC=5,所以8C=〃1，

ACrABZ-BC?34+25-4118:9

在V48C中,由余弦定理得cosNB,4C=

2y.ACx.AB2x5x5I0X54-5X54

所以sinZ.BAC=\K-CQS1Z.BAC=,

5V34

x/769

所以SJBC=—xABxACxsinZBAC=—x5xv§4x

225廟

所以三棱錐P-44C的表面積5=5/海+5行.+S.+S4=6+”+［0+皿=47+669.

A/VIDA/Z1CA//>CA/loC222

(2)因為尸4尸8/C兩兩垂直，

所以三棱錐P-48C的外接球直徑2R即為以P4P叢PC長度為邊長的長方體的體對角線，

根據(jù)長方體體對角線公式得2R=、/PA?+PB?+PC?=J9+16+25=同=5拉,

所以三棱錐P-ABC的外接球半徑R=迎，

2

所以三棱錐P-49。的外接球體積P=±成3=+兀［迪］=上正兀.

33I2J3

18.如圖，已知四面體力一8。。的ND48=60°,ZBAC=45°,ZOD=45°,AB=4,JC=3,AD=4,

11/17

A

⑴求四面體力-AC/）的體積：

⑵求AB與平面ACD所成角的大小.

【答案】（1）4

（2）45°

【分析】（1）取8。的中點E,易證平面4EC,根據(jù)己婦求相關線段長度，由四面體力-8CQ的體

積等于即可得解；

（2）應用等體積法求6到平面4CQ的距離，再由線面角的定義求角的大小即可.

【詳解】（1）由題設6。2=4。2+482-2/。/88545。=25-12及,同理可得。？=25-12&，所以

BC=CD.

由題意知，△480是邊長為4的正三角形，￡取4。的中點￡,則4E上BD,CE1BD,

由4EcCE=E,力旦CEu平面1EC,則4。工平面/EC,

所以OF?MAC?-"七2=21-12&，AE-=AB2-BE2=12,

.…AE2+CE2-AC224-12及2-V2……人”1

所以cosZ4EC=———--=I=/廠，則s,n4EC=1

2AECE4行xj21-12拒，7-4血W-4V2

?x25x也1-126x

所以S“水.=-AECEs\nZAEC=

22

所以四面體力一8c。的體枳為“嵐?=；x4x3=4：

（2）設8到平面/ICO的距離為d,則;=4,而S4c?力OsinZC4Q=3五，

所以d=2及，故48與平面ACD所成角正弦值為色=立,

AB2

12/17

結合線面角的范圍知，48與平面/C。所成角大小為45。.

19.如圖，E4和。。都垂直于平面力8C,且￡4=2。。=2,廠是七8的中點.V48C為等邊三角形.

⑴i正明：DF_L平面/BE；

ADABE

⑵若yE-ABc=手，求直線與平面所成角的正弦值?

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

5

【分析】（1）由中位線定理與平行四邊形性質，可得線線平行，再根據(jù)面面垂直的判定與性質,可得線面

平行，從而可得答案；

（2）由三棱錐的體積公式求得底面等邊三角形的邊長，再根據(jù)線面角的定義在圖中明確限面角,利用勾股

定理以及銳角三角函數(shù)，可得答案

【詳解】（1）證明：取力8的中點連接尸歷，CM.

因為產(chǎn)為所中點，所以EW〃瓦1,FM=^EA=\

E4_L平面XEC,。。，平面/〃。，故AE〃DC

又EA=2DC=2,故夫M〃OC且尸M=OC.

所以四邊形廠MCD是平行四邊形，所以。尸〃CM

因為V/5C是等邊三角形，M是力4中點，所以CMJ_/出

因為E4_L平面4BC,E/lu平面.伯石，所以平面平面

又平面平面/18C=/4,CA/u平面4?C,所以CM_L平面48E,

所以。歹工平面出速.

13/17

（2）設V/l8c邊長為。，則5八處.=3〃2,又￡4_1_平面Z8C且E4=2,

△Md4

所以〃/8C=1S△秋「4nix立/X2=N3，解得Q=2.

c-/f?c3343

由（1）知，DF上平面/BE,連接

所以NDAF為直線力。與平面ABE所成角.

因為。C_L平面48C,C4u平面48C,所以。C_LC.

由勾股定理知；AD=7DC，+CA：=,1‘+2'=石.同理，BE=2V2.

因為尸為8E中點，所以AF=?BE=g.

2

由（1）知。尸/平面48E,力/u平面/8E,則。尸14F.

由（1）易知DF=CM=&I=6

2

所以，在中，sinADAF=—=.

AD455

即直線力。與平面Z8E所成角的正弦值為嫗.

5

20.如圖，由三棱錐尸-48C頂點戶出發(fā)的三條棱兩兩垂直.設口="，PB=b,PC=c.

（1）若。=〃=。=2,求點尸到平面力BC的距離；

⑵若V48c的面積為8,二面角5-8C-尸的大小為60。.

（i）求△P8C的面積；

（ii）求三棱錐尸-4BC體積的最大值.

14/17

【答案】（1）氈

3

⑵（i）S.詠=4；

【分析】（1）由等體積法求點面距離即可；

（2）（i）根據(jù)題意求得4）=2PD,進一步有S..c=2S△火?二X，由此即可得解；（ii）只需求得＜P=內尸。

的最大值為2石，再結合極錐的體積公式即可求解.

【詳解】（1）因為。=b=c=2,所以4B=4C=8C=2&，S,ABC=2x/3.

設P到平面ABC的距離為h,則Vp…Q皿../?=口巨力.

I114

乂^P-ABC=§S△尸BC?尸力=3、5乂2'2乂2=1,

所以2/?=自，。=氈，所以P到平面48C的距離為馬8.

3333

（2）（i）在三棱錐中，過P作尸。_LBC于。，連接/1O,

因為APLPC,PBcPC=P,

所以平面P8C,故力P_L8C.

又因為PO_L8C,PDQAP=P,

所以BCJ_平面P4。，所以BC14）,

因此D4QP為二面角4-8C-P的平面角，

所以N/Q尸=60。，在直角△21。中，AD=2PD，

因，為T3A人/lI/t（.=—2AD-BC=2x—2PDBC=IA尸SOL=8,

所以S4PBC=4.

（ii）在△尸8c中，因為S^Bc=g6c=4,所以從=8,

所以8C=72麻=4,當且僅當b=c=2及時等號成立.

1Q

又因為8c-PO=4,所以尸。=042，

2BC

在直角△4/）中，AP=4iPD&2S,

所以丫…=8c7P?W，當且僅當b=c=2及時等號成立?

綜上，三棱錐體積的最大值為更.

3

21.據(jù)報道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機組穹頂球冠吊裝成功（如圖（1））,

標志著國內最重核電機組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動了我國產(chǎn)業(yè)結構和能源結構的調整,

15/17

助力“雙碳〃目標順利實現(xiàn).報道中提到的球冠是一個空間幾何概念，它是指球面被一個平面所截得的一部分

(不包含截面)，垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高?球冠面積等于截得它的球面上大圓(過球心

的截面圓)周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應的幾何體叫球缺，它是指球體被一個平面所截得的一部分，

截面是球缺的底.當球缺的高小于球半徑時，我們把球缺與以球缺的底為底、以球心為頂點的圓錐所構成的體,

稱作“球錐〃(如圖(2))當一個四面體各頂點都在“球錐”表面上時，稱這個四面體內接此"球隹”.如