專題07用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題一、單選題1．如圖是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，點(diǎn)M在棱AB上，且AM＝2cm，點(diǎn)N是FG的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方形盒子的外表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程為（）A．10cm B．4cm C．6cm D．2cm【答案】A【分析】利用平面展開圖有三種情況需要比較，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長(zhǎng)，然后作比較即可．【解析】如圖1中，MN＝（cm），如圖2中，MN＝（cm），如圖3中，MN＝（cm），∵10＜2∴一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方形盒子的外表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程為10cm，故選：A．【小結(jié)】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵.2．葛藤是一種刁鉆的植物，它自己腰桿不硬，為了爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常饒著樹干盤旋而上，還有一手絕招，就是它繞樹盤上升的路線，總是沿著最短路線一盤旋前進(jìn)的．如圖，如果樹的周長(zhǎng)為5cm，從點(diǎn)A繞一圈到B點(diǎn)，葛藤升高12cm，則它爬行路程是（）A．5cm B．12cm C．17cm D．13cm【答案】D【分析】將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用勾股定理解決問題即可．【解析】如果樹的周長(zhǎng)為5cm，繞一圈升高12cm，則葛藤繞樹爬行的最短路線為：＝13厘米．故選：D【小結(jié)】本題考查平面展開﹣?zhàn)疃虇栴}，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．3．如圖，已知釣魚竿的長(zhǎng)為，露在水面上的魚線長(zhǎng)為，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，此時(shí)露在水面上的魚線為，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′=AB-AB′即可得出答案．【解析】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故選：B．【小結(jié)】考查了二次根式的應(yīng)用和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出AB和AB′的長(zhǎng)度．4．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求解出最短路程即可．【解析】最短路徑故答案為：B．【小結(jié)】本題考查了利用勾股定理求最短路程的問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．某科技公司在“首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)”場(chǎng)館內(nèi)搭建產(chǎn)品展示區(qū)，在搭建一處直角三角形區(qū)域時(shí)，共耗材，其中最短邊耗材，則直角三角形區(qū)域中最長(zhǎng)的邊耗材（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)最長(zhǎng)的邊為xcm，根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】設(shè)最長(zhǎng)的邊為xcm，根據(jù)題意得：解得：x=25故選：B【小結(jié)】本題考查的是勾股定理，設(shè)一個(gè)x，表示兩個(gè)未知量，并根據(jù)勾股定理列出方程是關(guān)鍵．6．如圖，OA是⊙O的半徑，B為OA上一點(diǎn)(且不與點(diǎn)O、A重合)，過點(diǎn)B作OA的垂線交⊙O于點(diǎn)C．以O(shè)B、BC為邊作矩形OBCD，連結(jié)BD．若BD=10，BC=8，則AB的長(zhǎng)為()A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】如圖，連接OC．在Rt△OBC中，求出OB即可解決問題．【解析】如圖，連接OC．∵四邊形OBCD是矩形，∴∠OBC=90°，BD=OC=OA=10，∴OB===6，∴AB=OA﹣OB=4．故選：C．【小結(jié)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)利用勾股定理求解，根據(jù)題意利用矩形的性質(zhì)得出BD=OC=OA=10是解此題的關(guān)鍵．7．△ABC中，AB=20，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．54 B．44 C．54或44 D．54或33【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出示意圖進(jìn)行分析判斷，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出底邊BC的長(zhǎng)，最后求和即可.【解析】（1）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有則CB=CD+DB=5+16=21所以三角形的面積為CB+AC+AB=21+13+20=54.（2）在直角三角形ACD中，有在直角三角形ADB中，有則CB=DB-CD=16-5=11所以三角形的面積為CB+AC+AB=11+13+20=44.故答案為D.【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于以高為突破點(diǎn)把三角形分為高在三角形內(nèi)部和外部的兩種情況.8．如圖，在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A，在水塔東南方向24m處有一建筑工地B，在A、B間建一直水管，則水管的長(zhǎng)為（）A．40m B．45m C．50m D．56m【答案】A【分析】東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【解析】∵在水塔O的東北方向32m處有一抽水站A，在水塔的東南方向24m處有一建筑工地B，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝32m，OB＝24m，

∴AB＝＝40m．

故選：A．【小結(jié)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．9．如圖，陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，再由長(zhǎng)方形的面積公式即可得出結(jié)果．【解析】由勾股定理得：cm,∴陰影部分的面積=5×1=5（cm2）；

故選：C．【小結(jié)】考查了勾股定理、長(zhǎng)方形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠A是鈍角，若AB＝1，AC＝3，則BC的長(zhǎng)度可能是（）A．π﹣1 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，第三邊小于AB+AC，且BC的長(zhǎng)度大于當(dāng)∠A是直角時(shí)BC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算∠A為直角時(shí)BC的長(zhǎng)度．【解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，第三邊小于AB+AC＝4，當(dāng)∠A為直角時(shí)，AB，AC分別是兩直角邊，則第三邊即斜邊的長(zhǎng)度為BC＝，故＜BC＜4，只有C選項(xiàng)符合題意，故選C．【小結(jié)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了三角形三邊關(guān)系，本題中正確的根據(jù)勾股定理計(jì)算當(dāng)∠A為直角時(shí)BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，若AC＝8，BD＝6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．48 B．24 C．20 D．45【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，即可求菱形ABCD的周長(zhǎng)．【解析】∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形對(duì)角線互相垂直平分，∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，∴AB＝AO2+B故菱形的周長(zhǎng)為20，故選：C．【小結(jié)】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，以及菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．12．如果梯子的底端離建筑物3米，5米長(zhǎng)的梯子可以達(dá)到該建筑物的高度是（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可.【解析】如圖所示：∵梯子、地面、建筑物正好構(gòu)成直角三角形，∴△ABC是直角三角形，∴BC=3米，AB=5米，∴AC=AB2故本題答案為：C.【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．13．我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，用一副反應(yīng)勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來作為和外星人交談的語(yǔ)言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（）A．分類思想 B．方程思想 C．轉(zhuǎn)化 D．?dāng)?shù)形結(jié)合【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意選出數(shù)學(xué)思想方法即可．【解析】就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，

故選D．【小結(jié)】本題考查數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，熟練掌握各種數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵．14．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(4，-2) B．(4，2) C．(-2，) D．(2，-2)【答案】D【分析】作CD⊥AB，根據(jù)等邊三角形三線合一可求出OD=2，AC=4，再根據(jù)勾股定理求出CD，觀察圖像所在的象限即可得出答案.【解析】作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，CD⊥AB，∴OD=BD，∵△ABC邊長(zhǎng)為4，∴OD=2，AC=4，∴CD2=AC2-OD2=42-22=，又∵通過觀察圖像可知C點(diǎn)在第四象限，∴C的坐標(biāo)是（，-2），故選D．【小結(jié)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，注意點(diǎn)C在第四象限．15．在兩條垂直相交的道路上，一輛自行車和一輛摩托車相遇后又分別向北向東駛?cè)?，若自行車與摩托車每秒分別行駛米、米，則秒后兩車相距（）米.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析題意,畫出簡(jiǎn)單示意圖，利用公式“路程=速度×?xí)r間”分別求出OA和OB的長(zhǎng),在Rt△AOB中,利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng).【解析】畫出簡(jiǎn)單示意圖,如圖所示,假設(shè)10秒后自行車和摩托車分別到達(dá)點(diǎn)A、點(diǎn)B,∵自行車的速度是2.5米/秒∴10秒后自行車走了2.5×10=25米,即OA=25，∵摩托車的速度是6米/秒∴10秒后摩托車走了6×10=60米,即OB=60，∵兩條道路垂直O(jiān)A=25，OB=60，∴

AB=，即10秒后,兩車相距65米.故選：B.【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意,畫出簡(jiǎn)單示意圖再利用勾股定理求解.16．如圖①所示，有一個(gè)由傳感器A控制的燈，要裝在門上方離地高4.5m的墻上，任何東西只要移至該燈5m及5m以內(nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光．請(qǐng)問一個(gè)身高1.5m的學(xué)生要走到離墻多遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光？()A．4米 B．3米C．5米 D．7米【答案】A【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解析】由題意可知，BE＝CD＝1.5m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3m，AC＝5m，由勾股定理，得CE＝＝4m，故離門4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好發(fā)光，故選A.【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用.17．如圖，一圓柱高，底面半徑為，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（）

A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】先將立體圖形展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”、勾股定理即可求得結(jié)論．【解析】沿將圓柱體的側(cè)面展開，如圖：∵底面半徑是∴∴在中，，∴．故選：B【小結(jié)】本題考查了立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形、線段公理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題是解決問題的關(guān)鍵．18．如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）

A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長(zhǎng)，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長(zhǎng)度增加寬度不變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為所求．【解析】展開如圖得新矩形，連接AC，則其長(zhǎng)度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：，根據(jù)勾股定理有：故選D．

【小結(jié)】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平面展開圖．19．如圖，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩棵樹之間的水平距離）為．若在坡比為的山坡樹，也要求株距為，那么相鄰兩棵樹間的坡面距離（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)坡比為1：2.5求得豎直高度，再根據(jù)勾股定理求出相鄰兩樹間的坡面距離即可．【解析】如圖，

∵坡比為i=1:2.5，∴AC:BC=1:2.5，即AC:5=1:2.5，解得:AC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=（m），故選：C．【小結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題以及勾股定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．20．如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長(zhǎng)為30cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的爬行最短路線長(zhǎng)為（杯壁厚度不計(jì)（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【答案】B【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．【解析】如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，由題意可得：A′D的長(zhǎng)度等于圓柱底面周長(zhǎng)的一半，即A′D=15cm由對(duì)稱的性質(zhì)可得A′M=AM=DE=2，BE=11-5=6∴BD=DE+BE=8連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=（cm）．故選：B．【小結(jié)】本題考查了平面展開---最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．21．勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正三角形，再把較小的兩張正三角形紙片按圖的方式放置在最大正三角形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大正三角形的面積C．較小兩個(gè)正三角形重疊部分的面積 D．最大正三角形與直角三角形的面積和【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得，再由題意得，由次計(jì)算即可解題【解析】設(shè)三個(gè)正三角形面積分別為（不妨設(shè)），兩個(gè)小正三角形的重疊部分的面積為，由勾股定理得，，，故選：C．【小結(jié)】本題考查勾股定理與幾何圖形面積，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．22．如圖，有一長(zhǎng)方體容器，，一只螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出展開圖，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離為的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】如圖，當(dāng)從正面和右側(cè)面爬行時(shí)，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離為的長(zhǎng)度，，在中，，，∴；如圖，當(dāng)從上面和右側(cè)面爬行時(shí)，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離為的長(zhǎng)度，，在中，，，∴；如圖，當(dāng)從后面和上面爬行時(shí)，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短爬行距離為的長(zhǎng)度，，在中，，，∴；∵，故選：B．【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，畫出展開圖找到最短路徑是解題的關(guān)鍵．23．《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長(zhǎng)幾何？譯文：今有一豎立著的木頭柱子，在柱子的上端系有繩索，繩索從柱子上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距柱子根部8尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長(zhǎng)是多少？設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，可列方程為（）A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，列出方程即可；【解析】設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，可列方程為x2﹣82＝（x﹣3）2，故選：C．【小結(jié)】本題主要考查了根據(jù)勾股定理列方程，準(zhǔn)確分析列式是解題的關(guān)鍵．24．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度為（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【答案】B【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．【解析】展開圖為：

則AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，

在Rt△ABC中，AC=100cm，∴AB==125cm．

所以螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度為125cm．

故選：B．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．25．在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為5的格點(diǎn)共有（）個(gè)．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】設(shè)格點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，根據(jù)勾股定理或坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式可得方程，利用、都是整數(shù)可求得滿足條件的、的值，然后寫出滿足條件的格點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解析】設(shè)格點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，根據(jù)題意得：∵橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)，即、都是整數(shù)∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴據(jù)此可畫出圖形，如圖：∴滿足條件的格點(diǎn)的坐標(biāo)為：、、、、、、、、、、、，共個(gè)．故選：D【小結(jié)】本題考查了勾股定理或平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等，熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．26．一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體置于地面之上，為一條棱的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿正方體表面爬行到點(diǎn)（下底面不能通過），則它爬行的最短路程為（）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】利用兩面展開，兩點(diǎn)之間相等最短，利用勾股定理求出即可．【解析】將點(diǎn)A與點(diǎn)B兩面展開，點(diǎn)B為側(cè)棱中點(diǎn)，則BC=1，AC=2×2=4，AB=，則它爬行的最短路程為B．故選擇：B．【小結(jié)】本題考查兩點(diǎn)之間相等最短問題，掌握幾何體側(cè)面展開圖中，用勾股定理解決問題是關(guān)鍵．27．如圖，在長(zhǎng)方體透明容器（無(wú)蓋）內(nèi)的點(diǎn)處有一滴糖漿，容器外點(diǎn)處的螞蟻想沿容器壁爬到容器內(nèi)吃糖漿，已知容器長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)距底部，請(qǐng)問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計(jì)）A． B． C． D．【答案】B【分析】沿著上面的棱將A點(diǎn)翻折至處，分三種情況討論，利用化曲為直的思想和勾股定理求解即可．【解析】沿著上面的棱將A點(diǎn)翻折至處，則新長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高依次為，，，若螞蟻的行走路線為后壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和下壁，則最短路徑為：，若螞蟻的行走路線為左壁和前壁，則最短路徑為：，∵，∴最短路徑為：．故選：B．【小結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，求算術(shù)平方根．能分類討論是解題關(guān)鍵．28．如圖，一圓柱高，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，要爬行的最短路程是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】將圓柱體的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，則AB是要爬行的最短路程，過B作底面圓周的垂線BC，BC為圓柱體的高，AC為底面半周長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得：【解析】底面周長(zhǎng)為，半圓弧長(zhǎng)為，展開得：連結(jié)AB，利用兩點(diǎn)之間線段最短，則AB是要爬行的最短路程，過B作底面圓周的垂線BC如圖，BC為圓柱體的高，AC為底面半周長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得：．故選擇：A．【小結(jié)】本題考查一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)爬行的最短路程問題，會(huì)把生活中的問題歸結(jié)數(shù)學(xué)問題解決，會(huì)將圓柱側(cè)面展開，了解展開圖的形狀，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決爬行路徑，利用勾股定理解決問題．29．如圖所示，一個(gè)圓柱體高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程取是（）A．12cm B．10cmC．20cm D．無(wú)法確定【答案】B【分析】先將圖形展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，利用根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】如圖所示：沿AC將圓柱的側(cè)面展開，底面半徑為2cm，，在中，，，．故答案為：B．【小結(jié)】本題考查的是平面展開，最短路徑問題，立方體的展開圖，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用的有關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)解決問題．30．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為8，寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為2，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴BD=CD+BC=10+2=12，AD=6，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=；只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴BD=CD+BC=6+2=85，AD=10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=；只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第3個(gè)圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為6，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是2，∴AC=CD+AD=6+10=16，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=；∵，∴螞蟻爬行的最短距離是，故選：A．【小結(jié)】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．31．如圖，已知正方體紙盒的高為1，已知一只螞蟻從其中一個(gè)頂點(diǎn)A，沿著紙盒的外部表面爬行至另一個(gè)頂點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離是（）

A． B．2 C． D．【答案】C【分析】從正方體外部可分三類走法直接走AB對(duì)角線，先走折線AD-DB，或走三條棱，求出其長(zhǎng)度，比較大小即可【解析】方法一：走兩個(gè)正方形兩接的面展開成日字形的對(duì)角線在三角形ABC中，由勾股定理AB=；

方法二：走一面折線AD-BD，由勾股定理BD=AD+DB=；方法三折線AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；在正方體外部表面走有這三類走法，∵5<9，∴，∵2>1，∴，∴，∴，∴，∴，螞蟻爬行的最短距離是．故選擇：C．【小結(jié)】本題考查螞蟻爬行最短路徑問題是考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的應(yīng)用方法，會(huì)利用圖形分析行走路徑是解題關(guān)鍵．32．如圖，小彬到雁江區(qū)高洞產(chǎn)業(yè)示范村參觀，看到一個(gè)貼有大紅“年”字的圓柱狀糧倉(cāng)非常漂亮，回家后小彬制作了一個(gè)底面周長(zhǎng)為10cm，高為5cm的圓柱糧倉(cāng)模型．如圖BC是底面直徑，AB是高．現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過A，C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（）A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm【答案】C【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點(diǎn)解題．【解析】如圖，圓柱的側(cè)面展開圖為長(zhǎng)方形，AC=A'C，且點(diǎn)C為BB'的中點(diǎn)，∵AB=5cm，BC=×10=5cm，∴裝飾帶的長(zhǎng)度=2AC=cm，故選：C．【小結(jié)】本題考查平面展開-最短距離問題，正確畫出展開圖是解題的關(guān)鍵．33．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．“折竹抵地”問題源自《九章算術(shù)》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，中，，尺，尺，求AC的長(zhǎng)．則AC的長(zhǎng)為（）A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺【答案】A【分析】設(shè)AC=x尺，則AB=（10-x）尺，利用勾股定理解答．【解析】設(shè)AC=x尺，則AB=（10-x）尺，中，，，∴，解得：x=4.2，故選：A．【小結(jié)】此題考查勾股定理，根據(jù)題意正確設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理解答是解題的關(guān)鍵．34．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)，那么沿哪條路最近，最短的路程是（）A．cm B．5cm C．cm D．4.5cm【答案】B【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解析】根據(jù)題意，如圖所示，最短路徑有以下三種情況：（1）沿，，，剪開，得圖；（2）沿，，，，，剪開，得圖；（3）沿，，，，，剪開，得圖；綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以，即．故選：B．【小結(jié)】此題考查最短路徑問題，將長(zhǎng)方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．35．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10【答案】A【分析】分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB；把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，；把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB；然后利用勾股定理分別計(jì)算各情況下的AB，再進(jìn)行大小比較．【解析】把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB，如圖1把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖2把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖3∵∴∴需要爬行的最短距離為25cm故選：A．【小結(jié)】本題考查了平面展開及其最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．36．如圖，在四邊形中，,，則等于（）A．13 B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理，求得AC的長(zhǎng)，利用AC2＋CD2＝AD2判定△ACD是直角三角形，再由“三垂直模型”得到Rt△ABC∽R(shí)t△CED，求得DE、CE，最后在Rt△BDE中應(yīng)用勾股定理求解.【解析】連接，過點(diǎn)作⊥與點(diǎn)，，，，是直角三角形，，，即：在中，，故選Ｂ.【小結(jié)】本題綜合考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，計(jì)算量較大.37．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，利用已知=21，大正方形的面積為13，可以得以直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案?！窘馕觥坑捎诖笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為，又大正方形的面積為13，即，而小正方形的面積表達(dá)式為，而小正方形的面積表達(dá)式為故本題正確答案為C．【小結(jié)】本題主要考查直角三角形，用到勾股定理的證明，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．38．如圖，BC是圓錐底面圓的直徑，底面圓的半徑為3m，母線長(zhǎng)6m，若一只小蟲從點(diǎn)B沿圓錐的側(cè)面爬行到母線AC的中點(diǎn)P．則小蟲爬行的最短路徑是()A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】將圓錐的側(cè)面展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得出小蟲爬行的最短路線及最短的路程．【解析】∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)該扇形的圓心角為n°，則：＝6π，其中r＝6∴n＝180，如圖所示：由題意可知，AB⊥AC，且點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，在Rt△ABP中，AB＝6，AP＝3，∴BP＝＝＝(米)，故螞蟻沿線段BP爬行，路程最短，最短的路程是米，故選：B．【小結(jié)】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用，弧長(zhǎng)計(jì)算公式，勾股定理的應(yīng)用，熟記弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．39．如圖，透明的圓柱形玻璃容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15cm，則該圓柱底面周長(zhǎng)為（）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】C【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于上邊沿的對(duì)稱點(diǎn)A’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A’B的長(zhǎng)度為最短路徑15，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理可以求出底面周長(zhǎng)的一半，乘以2即為所求．【解析】如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，根據(jù)題意：，，．所以底面圓的周長(zhǎng)為9×2=18cm.故選：C．【小結(jié)】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．40．如圖所示，等腰與等腰中，，，，則（）A．9 B．11 C．10 D．12【答案】C【分析】連接CD，BE，證明△CAD≌△BAE從而得到CD⊥BE，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；【解析】如圖：連接CD，BE∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，∵∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE；∴∠ADC＝∠AEB，∴∠EOD＝∠EAD＝90°，∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°，∴，，∵AB＝2，AD＝1，∴，，∴；故選：C【小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．二、填空題41．如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為20，底面周長(zhǎng)為30，如果一只螞蟻要從圓柱體下底面的點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與相對(duì)的上底面點(diǎn)，則螞蟻爬的最短路線長(zhǎng)約為_________．【答案】25【分析】要求最短路線，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理即可求解．【解析】將圓柱體側(cè)面沿點(diǎn)所在直線展開，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長(zhǎng)，由上圖可知：，，∴為最短路徑．則螞蟻爬的最短路線長(zhǎng)約為25．故答案為：25．【小結(jié)】本題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是要明確，要求兩點(diǎn)間的最短線段，就要把這兩點(diǎn)放到一個(gè)平面內(nèi)，即把圓柱的側(cè)面展開再計(jì)算．42．下圖是公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角，而走“捷徑”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路”．已知米，米，只為少走_(dá)_____米的路．【答案】20【分析】先用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后再求出少走的路即可．【解析】在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，則：AC==50m所以少走的路為40+30-50=20m．故答案為20．【小結(jié)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意靈活運(yùn)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．43．形如的方程可用如圖所示的圖解法研究：畫，使，，再在斜邊上截?。畡t可以發(fā)現(xiàn)該方程的一個(gè)正根是線段______的長(zhǎng)．【答案】AD【分析】根據(jù)勾股定理得出方程，整理后得出即可．【解析】由勾股定理得．，，整理得．，該方程的一個(gè)正根是線段的長(zhǎng)．故答案為：AD．【小結(jié)】本題考查了解一元二次方程和勾股定理，能根據(jù)勾股定理得出方程是解此題的關(guān)鍵．44．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一，其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖所示，中，求的長(zhǎng)．在這個(gè)問題中，可求得的長(zhǎng)為_________．【答案】4.55【分析】設(shè)AC=x，可知AB=10-x，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【解析】設(shè)AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2解得：x=4.55，即AC=4.55．故答案為：4.55．【小結(jié)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．45．如圖，一個(gè)密封的圓柱形油罐底面圓的周長(zhǎng)是10m，高為13m，一只壁虎在距底面1m的A處，C處有食物，壁虎沿油罐的外側(cè)面爬行到C處捕食，它爬行的最短路線長(zhǎng)為_____m．【答案】13【分析】根據(jù)題意畫出圓柱的側(cè)面展開圖的平面圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．【解析】如圖所示：由題意可得：AD=5m，CD=12m，則AC=(m)，故答案為：13．【小結(jié)】本題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，正確畫出平面圖形是解題的關(guān)鍵．46．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它爬的最短距離是_____．【答案】25【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【解析】如圖所示：臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，根據(jù)題意得：，，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：，即，∴，故答案為：25．【小結(jié)】本題主要考查了平面展開圖—最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．47．如圖，長(zhǎng)方體的棱AB長(zhǎng)為4，棱BC長(zhǎng)為3，棱BF長(zhǎng)為2，P為HG的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬行到點(diǎn)處吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．【答案】5【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長(zhǎng)即可．【解析】分三種情況：如圖1，,如圖2，，如圖3，，，它爬行的最短路程為5，故答案為：5．【小結(jié)】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出是解題關(guān)鍵．48．如圖，一只螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從頂點(diǎn)A爬到另一頂點(diǎn)M，已知AB＝AD＝2，BF＝3．這只螞蟻爬行的最短距離_____．【答案】5【分析】把這個(gè)長(zhǎng)方體表面分別沿CB、ND、DC展開，將點(diǎn)A和點(diǎn)M放在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)A、M兩點(diǎn)間線段最短，根據(jù)勾股定理計(jì)算，找出最短距離即可．【解析】如圖1，將長(zhǎng)方體沿CB展開，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體右側(cè)表面爬到M點(diǎn)，則，如圖2，將長(zhǎng)方體沿ND展開，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體左側(cè)面爬到M點(diǎn)，則，如圖3，將長(zhǎng)方體沿DC展開，當(dāng)螞蟻經(jīng)圖中長(zhǎng)方體上側(cè)面爬到M點(diǎn)，則，比較以上三種情況，一只螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)M，那么這只螞蟻爬行的最短距離是5．故答案為：5．【小結(jié)】本題考查最短路徑問題，用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，學(xué)會(huì)分析從不同方向展開長(zhǎng)方體表面，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．49．《