遼寧省大連市第二十四中學2025-2026學年高二上學期期中考試

數(shù)學試卷

一、單選題

1.向量4=（1,X,2）,〃=（0,1,2）,c=（l,0,0）,若〃，b,C共面，則X等于（）

A.-1B.1C.2D.0

2.點尸（1,2）可以向圓/+）,2+2_￥-4），+2-2=。引兩條切線，則人的取值范圍為（）

A.k<7B.k>3C.3<k<7D.0<k<7

3.平行六面體ABCD-A'&CTX,其中A3=4,AO=3,A4'=3,ZBAD=90°,ZBA4'=60°,NDA4'=60。,

則AC的長為（）

A.755B.765C.D.回

4.正四面體A3co中，點E滿足4E=2EB，則有線CE與人力所成角的余弦值為（）

A.立B.立C.ED.叵

1431410

5.設(shè)帆wH,過定點4的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x,y），則|叫阿

的最大值是（）

A.5B.10C.—D.VP?

2

6.己知矩形488,八8=4,BC=2,E尸分別為邊人及的中點.沿直線DE將VAOE翻折成△/>用,

A.巫兀B.受兀C.兀D.夜兀

42

7.已知夕是圓O：/+y2=i上一動點，則點f到直線（2+義）]一（1十3丁一6—4/1=0的距離的取值范圍為（）

A.[2&-1,2及+1]B.[0,2x/2+l]C.12夜-1,2拒+1）D.[o,2>/2+l）

8.空間直角坐標系。-乎中，點N（N，）[,ZJ,尸（“必㈤，定義或歷）=|%一切+|%-對+忸一（.如圖,

正方體A8C。-AM。。的棱長為3,E為棱8C的中點，點P,M是平面必z內(nèi)兩個動點，”（尸。）=2,

C.$夕4,屈+2D.[1,36+2]

二、多選題

9.已知集合人=?*,刈二二2卜集合8={（乂），）|如一丁一2=0},且48=0,則。=（）

55

A.2B.—2C.—D.一

22

10.已知過點*4,2）的直線/與圓6::（1-3）2+。，-3）2=4交于八，B兩點，。為坐標原點，則（）

A.|4同的最大值為4B.IA同的最小值為企

C.點。到直線/的距離的最大值為2。D.ZXPOC的面積為3

11.如圖，在正方體ABC。-A8&A中，點。在線段BC上運動，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/犯，平面4G。

B.三棱錐P-4G。的體積為定值

C.異面直線A/，與所成角的取值范圍是

D.直線與平面4G。所成角的正弦值的最大值為亞

3

三、填空題

12.已知A&C,。四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，P為平面外任意一點，且

PA=^PB-xPC+^I3D,則實數(shù)x的值為_____.

36

13.已知在矩形A8C。中，A（T4）,￡）（5,7）,其對角線的交點E在第一象限內(nèi)且到），軸的距離為1,動點

P（x，y）沿矩形的一邊BC運動，則上的取值范圍是.

X

14.若實數(shù)—、々、）、、%,i兩足匯+yj"=i,石+%=1，再赴+〉'|必=5，則I3+y—11+1f+%—11的最

大值為______

四、解答題

15.已知圓。經(jīng)過點A（2,T）,和直線x+），=l相切，且圓心在直線丁=-2工上，直線/經(jīng)過坐標原點。，并

且被圓C截得的弦長為2.

⑴求直線/的方程.

（2）求圓C關(guān)于直線OA對稱的圓C的方程.

16.如圖，在長方體人3。。一45?口中，AA,=AD=2t8R和卅。交于點石，尸為的中點.

⑴求證：杯〃平面AORA；

(2)已知B、。與平面BCG與所成角為［,求點A到平面CEF的距離.

4

17.已知直線4：2x+/ny-l=O,乙：儂+8胃一用+2=0.

⑴若/"4,求實數(shù)用的值：

(2)當人與相交于點4時，證明：點4一定在某定直線/上，并求出直線/的方程.

18.正方形A3CO的邊長為2,E,尸分別為邊AQ,6C的中點，M是線段所的中點，現(xiàn)把正方形沿E尸折

起，折起后如圖所示.設(shè)乙4%)=*0＜夕＜九).

⑴求證：無論。取何值，CA/與8。不可能垂直；

(2)設(shè)平面8MZ)與平面8MC的夾角為。，COSQ=＜號時，求sin。的值.

19.已知圓。囪+)，2+64-2)，+6=0和圓。2：/+)，2_810)，+41--=o(r＞O).

(1)若圓G與圓c,相交,求，?的取值范圍：

⑵若直線/：)，=履+1與圓C1交于P,。兩點，且OPOQ=4,求實數(shù)〃的值；

(3)若r=2,設(shè)。為平面上的點，且滿足：存在過點戶的無窮多對互相垂直的直線4和它們分別與圓C1和

圓G相交，旦直線《被圓C1截得的弦長與直線被圓G截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點尸的坐標.

參考答案

題號12345678910

答案BCACABBCADACD

題號11

答案ABI)

1.B

【詳解】7向量4=(1，X，2),6=(0,1,2),c=(l,o,0),a,b,C共面,

a=mb+nc?0,〃w0,?''(1?x,2)=(〃，in,2m),

1=n

?x=m,解得x=m=l,/.x=1.

2=2m

故選：B.

2.C

【詳解】由題意可知：J+)，+2T-4y+攵-2=0表示圓，

可得：4+16-4(4-2)>0,

解得：k<7,

又P(l,2)在圓外，所以12+22+2-4X2+"2>0,得：k>3,

所以4的取值范圍為3VA<7,

故選:C

3.A

【詳解】解：如圖，

可得AC=AB+8C+CV=A8+AO+/VT，

故|AC『=(AB+AQ+/VV)2

=\ABf+|AOF+|A4T+2(A5AD+ABAD-A4,)=42+32+32+24x3x04-4x3x1+3x3x1'=55.

/.AC=\/55.

故選:A

4.C

【詳解】不妨設(shè)正四面體的棱長是3,AB=?,AC=b,AD=c,

22

貝I」C￡=AC=§—AC=34一〃，A￡)=c,

由正四面體的性質(zhì)，A民用CA。兩兩夾角是

-.--9

則4?/?=〃?c=a?c=—,

2

(2A29293

于是4OCE=d--a-b\=-b-c^-a-c=

(3)32322

△AEC中,由余弦定理，CE2=32+22-2-3-2-COS60=7,則CE=近,

3

設(shè)直線CE與AO所成角為。,則,°sa=gsCE44=/=^?

故選：C

5.A

【詳解】容易知道動直線x+〃少=0過定點為A(0,0),

由儂_y_/n+3=0可得y-3=成x-l),所過定點為8(1,3),

由lx〃?+〃?x(-1)=0可知兩條動直線互相垂直，即小_LP4,因為|48|=M,

所以伊廠+儼〃.=\A/^=]()>?\PA\-\PR\,

所以|尸中|冏K5,當且僅當歸4=|=6時等號成立.

故選：A

6.B

【詳解】設(shè)A/與DE相交于點。，如下圖所示:

由干在矩形ABC。中，￡尸分別為邊人氏。。的中點，且AE=￡F=FD=D4,

所以四邊形AE")是正方形.

沿直線OE將V/AOE翻折成△PDE,在點尸從A至尸的運動過程中0尸=04=14尸=拒不變;

故點P的軌跡是以。為圓心，半役為血的半圓.

設(shè)。為OC的中點，

由于。尸的中點為G,所以或是的中位線，因此QG//OP,QG=；OP瀉;

由F在翻折過程中，。。兩點的傳胃關(guān)系不變，所以點。的位置不變.

因此點G的軌跡是以。為圓心，工徑為也的半圓，

2

即可得G的軌跡長度為兀.交=立冗.

22

故選：B

7.B

【詳解】(2+冗)工一(1+4))，-6—4/1=0可得，(2x-y-6)+A(.r-y-4)=0,

|2x-y-6=0

令,八，解得x=2,)，=-2,即直線過定點(2,-2),

|Jx-Jy-4=0

該定點到圓心距離是J(2-0尸+(-2—Of=2日,

圓的半徑是1,于是(2,-2)到圓上一點的最大距離是2&+1.

由于直線過的定點(2,-2)在圓外，該直線有可能和圓相切，

。和切點重合時，最小距離是0

故P到直線的距離的取值范圍是[。，2夜+1].

故選:B

8.C

【詳解】由題意得〃(0。3),設(shè)P(0,)，,z),d(PDj=2,/.|0-0|+|y-0|+|z-3|=2,

??,點P在平面強無內(nèi)，

故當yNO,z23時，y+z-3=2,即y+z=5；

當yN0,z<3時，y-z+3=2,即y-z=_l：

當y<O,z之3時，-y+z-3=2,gp-y+z=5；

當y<0,zv3時，-y_z+3=2,gp-y-z=-l,

，點P的運動軌跡是以(0,0,1),(0,2,3),(0,0,5),(0,-23)為頂點的正方形,

又D（O,O,O）,C（O,3,O）,qm，3,O）,設(shè)M（0,〃L〃），.ZAMD=NCME,則tanZAM。=【anNCME,

33

又tanZAMD=—==tanZCME=—=,?故，35,化簡可

乂DM標7々

CMW八-3）2+/yjm2+n2J（m—3）2+/

得（/〃-4）2+〃2=4,

???點M的運動軌跡是以(o,40)為圓心，2為半徑的圓，

圓心到正方形中心(0,0,3)的距離為J(o_of+(4-0『+(0-3『=5,

正方形的頂點到圓心(0,4,0)的最大距離：正方形頂點(0,0,5)至1](0,4,0)的距離為

J(0-0)2+(4-00+(0-5)2=向;

正方形頂點至M。,4,0)的最小距離：圓心(0,4,0)到直線)-z=-l(”0)的距離為巴誓=逑,

v22

故乎-2=吟心，|叫「屈+2，

線段aM長的取值范圍為舅|及,歷+2.

故選:C.

9.AD

【詳解】解：因為集合A=1(x,y)|25|=2},集合8={(x,y)|?—y—2=0},且A「5=0,

人一4

所以直線y-3=2(x-2)(xw2)與直線依-)，-2=0平行或交于點(2,3),

當兩線平行時，。=2；

當兩線交于點(2,3)時，2a-3-2=0,解得。=g.

綜上得。等于g或2.

故選：AD.

10.ACD

【詳解】由題意，圓C:(x-3)2+(y-3)2=4的圓心坐標為C(3,3),半徑為〃=2,

因為|PC|=J(4-3<+(2-3)2=Q<2,所以點P(4,2)在圓C內(nèi)部，

因為過點P(4,2)的直線/與圓C:(x-3產(chǎn)+(y—3>=4交于A3兩點，

所以同的最大值為2/=4,所以A正確；

因為\PC\=J(4—3<+(2_3,=&,

當直線/與PC垂直時，此時弦取得最小值，

最小值為|4卻=2523-(0)7=2&,所以B錯誤；

當直線/與0P垂直時，點。到直線/的距離有最大值，

且最大值為J(4-0)2+(2-0)2=2芯,所以C正確；

3-()2—3

由*oc=T-r-I，%=---=-1?可得，kpc=-1,即OC_LPC,

3—04—3

所以APOC的面積為:|0。療。|=；X3夜X上=3,所以D正確.

故選:ACD.

11.ABD

【詳解】A項,如圖，連接用R,BD.

4cl_LBB},BQ、r\BB[=B、,

且BR,叫u平面BBQP,

..AG，平面仍Q。，3。匚平面叫。/5,

/.^C,1BDt,同理，DC,±BD,,

AGc"C=G，且AC.OGU平面AG。，

二.直線平面AG。，故A正確;

B項，<A\B\HABHDC,且4用=/)。,

四邊形Aqc。是平行四邊形.

.?.4?！?。，A。u平面AG。，與。仁平面4和。,

.??4?！ㄆ矫?G。，???點p在線段8c上運動,

二.P到平面4G。的距離，即點4到平面AG。的距離，其為定值,

又4G。的面積是定值,

???三棱錐尸-AG。的體積為定值.

不妨設(shè)正方體人86-A而CQ的棱長為I,

則YP-AGD=%-AG。==§S,AB1G?DR=§==不，

即三棱錐夕-AG。的體積為定值），故B正確；

o

如圖，以。為坐標原點，分別以。人。c,。"所在直線為軸，建立空間直角坐標系.

,?點P在線段8c上運動，則可設(shè)P（aA,a）,O<a<\,

則D(0,0,0),A(l,0,0),A(1,0,1。c(o,1,1),Q(l,Lo),A(0,0,1).

C項，AP=(dJa),^D=(-l,0,-l).

所以cos(AP，A0)=4PA。

網(wǎng)的7^-D2+l2+6f2x>/22ja2-a+\"

\-1a4?2-4?+l_]3

<2,\l(r—ci+\)4(?2-d+l)4(tz2-￡?+l)

/i\?o"a"31

因為aw[0,l],則/-a+l=|a—+—e—J?1一■;~;------e0,：

L」I2)4|_4」4—+1.)L4

cos(AP.A。)卜0,1,因為異面直線AP與A力所成角為銳角或直角，

故人尸與4。所成角的取值范圍為故C錯誤；

JJ

D項，GP=(a,0,a-l),=(1,1,一1).

由A選項正確，可知〃4=(11,-1)是平面AG。的一個法向量,

???直線GP與平面AG。所成角的正弦值為

Hem訃普瑞二環(huán)號=詔予p

???當a=g時，直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為半，故D正確.

故選：ABD.

[0_[11

【詳解￡】因為PA=jPR-KPC+；BD=yB-xPC”(PDTB)=：PB-xPC+"D.

由睡意得:一x+J=l,所以x=-g.

2o3

故答案為：.

(1]-2)

I3」|_3J

【詳解】解：如圖所示，設(shè)七(1，a).

2

點E是線段AC的中點,則C(6,2a—4).

4+y.

a-——

2

,-AD±DC,/.AZ>DC=(9,3)(l,2a-ll)=9+3(2tz-ll)=0,解得a=4,/.C(6,4).

MCD為矩形，.?.A3=QC，即國+4,左-4)二(6-5,4-7)=(1,—3),

，/B=：3,所以8點坐標為

E=i

因為點尸在邊8C上運動，所以2=乂0,

x

由題圖可知，h”,Nk℃或％&j，則"之心或“K&Q8=-!.

x3x3

故答案為：（~°，一!u-|,+co\

y

14.2+瓜

I詳解】設(shè)44,x),B(Xj,y2\OA=(芭,y),05=(牛丹)，

因為實數(shù)％,W，凹，>，2x；+y；=1,*+y；=1,x/2+X%=g，

所以AB兩點在圓/+),2=］上，且QA?OB=lxlxcosNAOB=g,

所以403=60,所以A4O8是等邊三角形，AB=i,

W+x-i|

點A到直線x+）1=0的距離為4=

點8到直線x+），-1=。的距離為4

A8在第三象限，AB所在直線與直線x+〉」l=0平行,

可設(shè)43:x+y+/=0,(/>0),

，可得2、1上=1,解得1=亞,

由圓心0到直線AB的距離為4=玉

22

即有兩平行線之間的距離為1+萬=向G,

V2-2

所以4+4=昆淖+色學工拒+G,

'x/2&

所以|再+y—11+1/+）%—?區(qū)2+76,

所以IX+X-11+1七十七-11的最大值為2+V6o

故答案為：2+限o

15.(l)x=O或3x+4y=。；

⑵H+,_：j=2

【詳解】（1）?,?圓心在直線y=-2x上，.?.設(shè)圓心的坐標為C（a,-2〃）,

又圓C經(jīng)過點4（2,-1）,和直線x+y=l相切，而A在直線武尸1上，「.A是切點,

.」（吁2）0（-2〃+卜石爐

故圓心到直線的距離等于圓心到點A（2,-1）的距離,解得。=1，

.?.圓半徑r=kq=J(l_2)2+(-2+l)2=拒,故圓C的方程為(X-1『+()，+2)2=2,

直線/經(jīng)過坐標原點。，.??①當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,

此時直線/被圓。截得的弦長為2,滿足條件；

②當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=依，即"-y=0,

由直線/被圓C截得的弦長為2且圓的半徑為&,故圓心到直線的距離為1,

"2|33

-7===^解得&=—-，則直線/的方程為y=

、/1+二44

綜上所述，直線/的方程為x=0或3x+4y=0.

（2）由（1）可知圓。的方程為（x-1『+（），+2/=2,直線。4的解析式為x+2y=0,

圓C關(guān)于直線04對稱的圓C半徑不變，只需求圓。的圓心關(guān)于直線0A對稱的圓C的圓心即可,

設(shè)。（1,-2）關(guān)于直線0A對稱的點為C'（〃?,〃）

11

m=—

解得?故圓C的方程為卜一日J+()'一|)=2.

16.(1)證明見解析

(2)1

【詳解】(1)由題意證明如下,

連接A。，BR,BD.

在長方體ABCD-AMGQ中，BB、〃DD、且BB,=DR,

J四邊形88Q。為平行四邊形.

???￡為明的中點,

在：ABD1中，在尸分別為84和A3的中點,

JEF//4。.

???E/仁平面AQRA，4。匚平面4?！?同，

???￡7*平面A。。小.

(2)由題意，

耳。與平面8CC內(nèi)所成角為連接8c.

4

???長方體中AA=4。=2,所以4c=2&.所以4c=2及.

???長方體中，CD_L平面BCGBI，"CU平面

??.CO_L/C.

???功8c為直線片。與平面〃CC冏所成角’即/如。4.故CD=2正

???。用c為等腰直角三角形,則CE=2.

在，。1,4中,

OF=兩=而知所=(JAD?+DD；=V2.

4

在二CEF中,

CE=2,EF=丘,CF=A,CE2+EF2=CF'2,

；?EFLCE,

?，?s?EF=32a=75,

設(shè)點A到平面CEF的距離為h.

由VA-CEF=VE-ACF知，g^AC￡F=T'T^|'?得人=1.

JJ4

???點A到平面CEF的距離為I.

17.(1)T

⑵—2y-1=0,證明見解析

【詳解】(1)因為“/%所以病=2x8,解得加=±4,

又當利=4時，/,；2.v+4y-l-0,/2；2,v+4y-l-0,此時兩直線重合,

當〃?二T時，A：2x-4），-1=0,小2x-4），-3=0,此時兩直線平行,

故〃?=T.

（2）由（1）知，當人與4相交時"，。±4,

〃？+2

2x+my-\=0

聯(lián)V.[〃-=。解得

“2+4

即---'I（〃2工±4）.

I〃?+4m+4J

因為彳=竺吧=（'〃+4）2=1__?_=i+2）,（）心0且）,=一：）,

m+4m+4/〃+48

即工―2y_l=0（"0且"」），

8

所以點A一定在某一條定直線/上，直線/的方程工-2），-1=0.

18.（1）證明見解析；

⑵近

3

【詳解】（1）由題可知4￡=￡。=6/7="。=1,放_1￡。,￡尸/必，

以E為原點，EA樣和過E點且垂直平面4&5的直線為x，y，z軸，如圖,

則由題意可得E(0,0,0),0(8saQsin6),C(cose2,sin。),"(0,1,0),8(120),

所以CM=(-cosaT-sin〃),8O=(cos0-l,-2,sin〃),BW=(T-l,0),

所以CM?8￡)=(—cose,-l,-sine)?(cos，-l,-2,sin。)=-cos^(cos^-l)+(-l)x(-2)-sin26＞=cos^+l,

因為0＜。＜兀，所以cos0e(—1,1),所以CM-80e(0,2),

所以CM3。工0，所以CM與不可能垂直，即CM與8。不可能垂直；

（2）設(shè)平面8W）與平面BMC的一個法向量分別為〃i=（x,y,z）,〃=（a,/?,c）,

in1BD/?±CM

則」，,

in±BM_LBM

m-BD=x(cos^-1)-2y+zsin9=()n-CM=-acos。一人一csin。=()

所以

tn-BM=-x-y=0n-BM=-a-b=0

因為0＜。＜兀，所以0ng0,

1+cos0、_(\-cosO

故可取x=],n=\,得初二”1V

所以

1+COS0\(1]1—COS0、1+cosO1-cos0

=lxl+(-l)x(-l)-

sin。)V''sin。>sin。sin。

_1-cos20_sin20,i.

=2---------=2----1—=2-1=1,

sin26>sin?。

\2+(lV+f~"cose]]_12+°+cos")_/2sin26^4-1+2cos^+cos20_/sin?-+2+2cos。

tsin。JVsin20\sin20Vsin20

/sin2^+2-2cos^

同小(小(甯1)戾落產(chǎn)唁五至Vsin一

所以sin2e+2+2c莉/sin:6+2-2c羔_|(sin^+2￡-4cos^

sin20sin20sin40

|sin4e+4sii/6+4