22.3實際問題與二次函數(shù)（第3課時）（教學(xué)設(shè)計）

^^教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本課時是人教版九年級上冊教材第二十二章二次函數(shù),22.3實際問題與二次函數(shù)第3課時，內(nèi)容為用二次函

數(shù)的最大值（或最小值）來解決實際應(yīng)用問題拋物線型問題。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課是在上二節(jié)課學(xué)習(xí)了二次函數(shù)實際應(yīng)用的基礎(chǔ)上，進一步研究二次函數(shù)在利潤問題中的實際應(yīng)用，

學(xué)生在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，借助二次函數(shù)的最大（?。┲等ソ鉀Q實際中的拋物線型問

題。二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變量之間關(guān)系中重要的數(shù)學(xué)模型，其實際應(yīng)用充分體現(xiàn)了新課標(biāo)中的“三會”，

反映了其一致性、階段性和整體性的特征。又為高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)知識打下堅實的理論和方法基礎(chǔ)，起到承

上啟下的作用，同時也是中考的熱點考點。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：用函數(shù)知識解決實際問題，感受數(shù)學(xué)建模思想。

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

（2）使學(xué)生學(xué)會將實際間轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：學(xué)會從現(xiàn)實生活中抽象出二次函數(shù)的關(guān)系，并會用二次函數(shù)的

最值解決拋物線型問題。

（3）通過自主探索和合作交流經(jīng)歷“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題一一利用二次函數(shù)知識解決問題一一利用求

解的結(jié)果解釋問題”的過程體會數(shù)學(xué)建模的思想，發(fā)展合情推理，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，乂服務(wù)于生活。

2.目標(biāo)解析

（1）二次函數(shù)是描述現(xiàn)實世界變最之間關(guān)系的重要模型，也是某些單變量最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，本課時是利

潤問題的探討。通過數(shù)學(xué)模型可抽象為二次函數(shù)的最值問題，由于學(xué)生對于這一轉(zhuǎn)化過程較難理解，因此教

學(xué)時教師可通過分步設(shè)問的方式讓學(xué)生逐層深入、穩(wěn)步推出，讓學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型。

⑵在這個過程中教師可通過讓學(xué)生畫圖探討最值，在本課時的教學(xué)過程中，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模，使學(xué)

生學(xué)會將實際間轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；學(xué)會從現(xiàn)實生活中抽象出二次函數(shù)的關(guān)系，并會用二次函數(shù)的最值解決

拋物線型問題。

（3）通過自主探索和合作交流經(jīng)歷“實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題一一利用二次函數(shù)知識解決問題一一利用求解

的結(jié)果解釋問題”的過程體會數(shù)學(xué)建模的思想，發(fā)展合情推理，體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。

學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程的應(yīng)用、函數(shù)的基礎(chǔ)知識，能識別函數(shù)的增減性和最值，積累了研究函數(shù)性質(zhì)的

方法及用函數(shù)觀，點、處埋實際問題的初步經(jīng)驗。他們初步具備幾何直觀、應(yīng)用意識、模型觀念等核心素養(yǎng)。的

一定的應(yīng)用意識，但還不能熟練地應(yīng)用所學(xué)知識解決問題。本節(jié)課利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，將進一

步提高學(xué)生利用所學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型和解決實際問題的能力。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：利用二次函數(shù)解決實際問題時應(yīng)如何建立合適的坐標(biāo)系從而使

解題簡便。

^^教學(xué)過程設(shè)計

新課存入

創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

生活中你一定見過各式各樣的拋物線形的物體吧？能不能利用二次函數(shù)的知識解決與之相關(guān)的問題呢？本

節(jié)課我們就來探討這個問題.

（設(shè)計意圖：生活中的實際問題弓發(fā)學(xué)生思考，及如何運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，為后面的例題及能力提

升儂出鋪墊，為后面探索二次函教在利泗等問題上的應(yīng)用做好鋪墊。）

新知探究

探索點1二次函數(shù)拋物線型問題中的應(yīng)用

問題如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m.水面下降1m,水面寬度增加多少？

追問1:圖中拋物線拱橋的頂點在哪？試著把它放在平面直角坐標(biāo)系里面去，怎么放比較好？

拋物線拱橋的頂點是拋物線的最高點，把拋物線放在平面直角竺標(biāo)系中，所以必須建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲?/p>

標(biāo)系。

追問2：“當(dāng)拱頂離水面2nl時，水面寬4m”，這個信息有什么作用？

求水面增加的寬度，實際上就是求水面與拋物線的交點的坐標(biāo)等。

追問3：快速準(zhǔn)確地解決這個問題的關(guān)鍵是什么？

求出函數(shù)解析式，進而求點的坐標(biāo)；求函數(shù)解析式應(yīng)該用待定系數(shù)法。

【詳解】解：以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

追問4:還有其他建坐標(biāo)系的方式嗎?

（活動方法：指導(dǎo)學(xué)生建立不同的平面直角坐標(biāo)系進行解答，學(xué)生獨立完成解題過程，小組內(nèi)交流比較：建立

的平面直角坐標(biāo)系是否相同，計算結(jié)果是否一致.）

解法2：如下圖，設(shè)水面AB所在直線為x軸，經(jīng)過AB的中點0且與AB垂直的直線為y軸，

如圖，還有其他的方法建立.平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意找出題目中的點的坐標(biāo)，從而求出拋物線

可用圖象解決實際問題：

（設(shè)計意圖：通過給學(xué)生提問的方引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生總結(jié)出用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，定立函數(shù)模型，

根據(jù)函數(shù)的圖象得出函數(shù)的類型，利用建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化成點的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析

式，進而得出實際問題的解，讓學(xué)生掌握探究的方法，知道利用知識的本質(zhì)特征解決實際問題.）

歸納總結(jié)：

解決某些運動軌跡為拋物線形的實際問題時，一般分為以下四個步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

（2）根據(jù)條件，把已知的線段長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；

（3）恰當(dāng)選用二次函數(shù)的表達式形式，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（4）利用拋物線解析式求出與問題相關(guān)的點的坐標(biāo)，進而得到實際問題的解.

典例分析

例1.河上有一座橋孔為拋物線形的拱橋，水面寬為6米時，水面離橋孔頂部4米.如圖1,橋孔與水面交于A、

B兩點，以點A為坐標(biāo)原點，A8所在水平線為橫軸，過原點的鉛垂線為縱軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系.

（1）請求出此拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達式：

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解

題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征結(jié)合水高求出可通過船的最高高度（寬度固定）.

（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

???暴雨后這艘船不能從這座拱橋卜通過.

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：以A8中點為原點，A8所在直線為x軸，建匕平面直角

坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)解析式，再根據(jù)點°，。的縱坐標(biāo)，求出對應(yīng)的橫坐標(biāo)，即可求出答案.

AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

.?洪門頂端距離地面4米.

???絲帶到大門頂端的距離為°-5米,

例3.鷹眼技術(shù)助力杭州亞運，提升球迷觀賽體驗.如圖分別為足球比賽中某?時刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如

圖1）和截面示意圖（如圖2）,攻球員位于點0,守門員位于點A,%的延長線與球門線交于點B,且點A,

B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線.水平距離s與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如表：

0912151821???

04.24.854.84.2???

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測足球落地時，s=_____m；

（2）求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，理解題意，明確函數(shù)

圖象上點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的含義是解本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可直接得出結(jié)論；

???守門員不能成功防守.

（設(shè)計意圖：強化二次函數(shù)解決生活中利潤問題.）

拓展提升

1.一座拱橋的示意圖如圖2所示，當(dāng)水面寬為16米時，橋洞頂部離水面4米.已知橋洞的拱橋是拋物線，請嘗

試解決以下問題：

（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的表達式；

⑵由于暴雨導(dǎo)致水位上漲了2米，求此時水面的寬度；

⑶已知一艘貨船的高為26米，寬為3.2米，其截面如圖3所示.為保證這艘貨船可以安全通過拱橋，水面在

正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升多少米？（結(jié)果精確到°」）

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，建立合適的平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

（3）貨船安全通過拱橋，當(dāng)水面寬與貨船寬相等時，水位上升的高度取最大值，結(jié)合函數(shù)解析式求解.

【詳解】（1）解：如圖，人“為寬16米的水面，C為拱橋最高點，以八4的中點為平面直角坐標(biāo)系的原點0,

所在直線為x軸，℃所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下：

，水面上升2米后的水面寬度為8及米，

（3）解：如圖，這艘貨船安全通過拱橋時，水面最多可以上升到°處,

???貨船的高為26米，寬為3.2米，

，要使這艘貨船安全通過拱橋，水面在正常水位的基礎(chǔ)上最多能上升L2米.

（設(shè)計意圖：強化利用二次函數(shù)解決利潤的最值問題。）

鞏固練習(xí)

（1）求這個橋洞所在拋物線的解析式.

（2）若水面再上升1米，求水面的寬度.（結(jié)果保留根號）

2.閱讀思考，并解答下列問題：

在2022年北京冬季奧林匹克運動會上，一個滑雪者從山坡滑卜，為了得出滑行距離s（單位：山）與滑行時

司t（單位：S）之間的關(guān)系式，測得一組數(shù)據(jù)（如下表）.

滑行時間〃s01234

04.51448

（D為觀察s與t之間的關(guān)系，建立坐標(biāo)系，以t為橫坐標(biāo)，s為縱坐標(biāo).如圖，請描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的5個點,

并用平滑的曲線連接它們；

s/m八

50…

陽…十十十j

20

HOH-3-4?7S

TO-

⑵觀察圖象，可以看出這條曲線像是我們學(xué)過的哪種函數(shù)的圖象的一部分？請你推測滑行距離與滑行時間

的關(guān)系，并用該函數(shù)模型來近似地表示s與I之間的關(guān)系；

【詳解】（1）解：描點，連線，如圖所示：

（2）解：觀察函數(shù)圖象可知，s與t的關(guān)系可近似看成二次函數(shù)，

答：推測滑雪者滑行的時間是10秒.

（設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理

解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略）

真題感知

1.（2025?連云港）如圖，小亮同學(xué)擲鉛球時，鉛球沿拋物線），=o（x—3產(chǎn)+2.5運行，其中x是鉛球離初始位

置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.若鉛球拋出時離地面的高度OA為1.6m,則鉛球擲出的水平距離

將40,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5,

得：1.6="(0—3)2十2.5,

解得：a=-存,

???y=-特(%-3)2+2.5,

令y=0,得一（x—3/+2.5=0,

解得：xi=8,X2=-2,

■?OB為8〃?，

故答案為：8.

2.（2025?廣東）如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長1.7切?，主塔高0.27&,〃，主纜可視為拋物線，主纜垂度

0.1785岫，主纜最低處距離橋面0.0015加?，橋面距離海平面約0.09k〃.請在示意圖中建立合適的平面直

角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則拋物線頂點坐標(biāo)為（0,0.0015）,4（芋，0.27-0.09）,

即40.85,0.18）,

設(shè)該拋物線的表達式為y=o?+0.0015,

將4(0.85,0.18)代入《=公2+0.0015,

得0/8=0.852〃+0.0015,

解得a

???該拋物線的表達式為+0.0015.

OU

3.(2025?陜西)某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部左、右門洞上，七均呈拋物線型，水

平橫梁AC=16〃?，LI的最高點8到AC的距離8。=4〃?，七，七關(guān)于BO所在直線對稱.MN,MP,NQ

為框架，點用，N在心上，點尸，Q分別在心，上上，MAU4C,MPLAC,NQLAC.以O(shè)為原點，以

AC所在直線為x軸，以8。所在直線為)，軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

(I)求拋物線小的函數(shù)表達式；

(2)已知拋物線乙3的函數(shù)表達式為y=-磊(％-4)2,NQ=^m,求MN的長.

拋物線L\的頂點B坐標(biāo)為(0,4),

設(shè)拋物線L\的函數(shù)表達式為)，=〃。-0)2+4,

-AC=16//2,

結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得小-8,0),C(8,0),

將C(8,0)代入)，=a(x-0)2+4,

得0=64。+4,

則a——白，

1,

-?y=~^x+4；

(2)由⑴得拋物線小的函數(shù)表達式丫=一///4,

CQ

4cM尸1AC,NQ1AC.NQ=5M,且拋物線L3的函數(shù)表達式為丫=一令(%—4)2,

??y=y/7-7Q=-^X2+4-[-^(X-4)2]=1,

整理得:一3。-4)2=24,

解得M=X2=6,

???MN=2x6=12(〃?).

4.(2025?新疆)天山勝利隧道預(yù)計于2025年建成通車，它將成為世界上最長的高速公路隧道，能大大提升

區(qū)域交通效率，促進經(jīng)濟發(fā)展.如圖是隧道截面圖，其輪廓可近似看作是拋物線的?部分.若隧道底部寬12

米，高8米，按照如圖所示的方式建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)該隧道設(shè)計為單向雙車道通行，車輛頂部在豎直方向上與隧道的空隙不少于0.5米，當(dāng)兩輛車在隧道

內(nèi)并排行駛時，需沿中心線兩側(cè)行駛，且兩車至少間隔2米(中心線寬度不計).若寬3米，高3.5米的兩輛

車并排行駛，能否安全通過？請說明理由.

(2)先求出點A坐標(biāo)，然后求出點A距離拋物線的距離，然后減去車輛的高度，得到的差值與0.5比

較即可.

【解答】解：(1)由題意得，頂點為(竽，8),即(6,8),

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x—6)2+8(a,0),

代入點(12,0)得點12—6)2+8=0,

7

解得：Q=-q,

7

???拋物線解析式為、=一可(X-6)2+8(0<x<12)；

(2)能安全通過，理由如下：如圖，

由題意得：4=竽—,-3=2,

將x=2代入y=-5—6尸~/-8,

則y=一|x(2-6產(chǎn)+8=等,

???能安全通過.

皿、結(jié)

解決某些運動軌跡為拋物線形的實際問題時，