上海市虹口區(qū)2026屆高三上學期10月階段性練習數(shù)學試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.對于實數(shù)Q，“|。一2|<2”是“10g2QV2”的()條件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要

2.己知zn、ri是空間中兩條不同的直線，a、夕是空間中兩個不問的平面，則下列說法正確的是(：).

A.若小〃戈，n//p,m//n,則a〃/?B.若m_La,nip,mLn,則aJ,夕

C.若m_La,n//p,m//n,則a〃/?D.若mJ.a,n///?,mln,則aJL/?

3.已知f(x)=e*-er+4,若/'(Q-2)+/(a?)<8,則實數(shù)a的取值范圍是().

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(-oo,-l)u(2,+oo)D.(-oo,-2)U(1,4-co)

4.設數(shù)列｛a,J的前ri項的和為及，若對任意的止整數(shù)幾，都有即+i，則稱數(shù)列｛%J滿足性質(zhì)P?關十以卜

兩個命題，下列判斷正確的是().

①存在等差數(shù)列｛Q"滿足性質(zhì)P;

②若等比數(shù)列｛即｝的首項為正數(shù)且公比為q,則qe[3,+8)是｛的｝滿足性質(zhì)P的充分非必要條件.

A.①和②都為真命題B.①和②都為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

5.已知全集為R,TNO的解集為4則了=____.

X-1

6.底面半徑為1的圓柱的表面積為4m則該圓柱的體積為.〔結果保留IT)

7.已知復數(shù)iz=2+V-5i,則|2|+Imz=.

8.若”=￡K四(%—1)1其中/€/?。=0,1,2L?,6),則實數(shù)為=.

9.從3名男生和4名女生中任選4名同學參加志愿者活動，其中2名同學為負責人，2名同學為組員，則選出

的4名學生中至少有1名女生做負責人的概率為.

10.已知他(a—1)+Igb=1,則Q+2b的最小值為.

11.已知sind+6)=—%0€(0,n),則tan儂+9=.

12.在團48c中，角小B、C所對邊的邊長分別為a、b.c,若a=3,b=5,C=24則。=.

(x2-2x+2x>0

13.若yy=a?/n=R,則實數(shù)Q的取值范圍是.

14.已知函數(shù)/'（%）=-％2+8x+m,g（x）=2sin（2x4-若對于任意的》1W[o,；,總存在%2，%3W

[-1,4],使得/'（上）工g（%i）工/（打），則實數(shù)m的取值范圍是.

15.某企業(yè)擴大了某型號設備的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)工萬臺設備，則每臺另需投入

成本〃%）元，且〃%）=J600,nnn.己知每臺設備售價10000元，且生產(chǎn)的設備能全部銷

包完，則生產(chǎn)萬臺設備時，全年利潤最大.（結果保留兩位小數(shù)）

16.已知日、b,才均為平面向量，且同=|同=2五?下=1,若|五+入力工|五一TH對任意實數(shù)大恒成立，則

||a+b\+|jS-目的最小值為.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題12分）

如圖，己知力平面力CD,AB//DE,回力。。為等功三角形，AD=DE=2,點F為CD的中點，且三極錐

B—4CF的體積為合.

O

（1）求證：4F1平面CDE、平面CDE1平面BCE；

（2）求二面角A-BC-E的正弦值.

18.（本小題12分）

已知1=（2cosx,1）,b=（-cos（x+

（1）若五〃方，xe[0,u],求實數(shù)X的值.

（2）記/（%）=&不，若對于任意的心，x2E[o,^],有|/（不）一/（右）1MA恒成立，求實數(shù)入的取值范圍.

19.（本小題12分）

某一場體育比賽由2幾+1局小比賽組成（幾GN）,若贏1局則積1分，先贏〃+1局的選手獲得整場比賽的勝

利.特別地，當九=0時，即為一局定整場比賽的勝負.假設每局比賽之間的勝負相互獨立，且沒有平

局.

(1)已知甲、乙兩人在過往100局小比賽的練習中，甲贏60局，若以此頻率估計甲每局獲勝的概率.當《二

2時，求甲以3:1的比分獲得整場比賽勝利的概率.

(2)若甲、乙兩人每局比賽獲勝的概率分別為p和l—p,pE(0,J,甲可以選擇n的值(其中九￡{0,1}),則

對于甲而言，選擇n為哪個值更為有利？請說明理由.

(3)若甲、乙兩人每局比賽獲勝的概率均為宗當nN1時，設甲在沒有進行第2九+1局時就能獲得整場比賽

勝利的概率為P(n),求證：P(n)<

20.(本小題12分)

已知橢圓C：^+y2=i,點p為。的上頂點.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)求橢圓上動點T到點P的距離的最大值；

(3)設與兩坐標軸均不垂直的直線1與橢圓C交十異十P的兩點4和B,設直線PA、PB的斜率分別為心、心?當

自+&=-2時，判斷直線1是否經(jīng)過定點？若是，請求出這一定點；若不是，請說明理由.

21.(本小題12分)

設函數(shù)y=/"(X)的極小值點組成集合丹⑶.

(1)若/(x)=W^,求出集合與(乃中所有的元素.

(2)若g(x)=[a/-(3a+l)x+3a+2]ex,1ePg(x),求實數(shù)a的取值范圍.

(3)若定義域為R的函數(shù)y=h(x)的圖像是一條連續(xù)曲線，且處處可導，記其導函數(shù)為y=/f(x),且、=

九?)在R上為嚴格增函數(shù).求證：若存在a6R,使得九(%)〈九(々)對任意恒成立，則必有4(%)=

0.

參考答案

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】（0,1]

6.【答案】n

7.【答案】1

8.【答案】20

9.【答案】號

10.【答案】4<5+1

11?【答案】號

12.【答案】2/6

13.【答案】（一8,0）“1,+8）

14.【答案】[一14,10]

15.【答案】24.30

16.【答案】乎

17.【答案】【詳解】（1）因為團A。。為等邊三角形且點尸為CD的中點，所以力F1CD；

ABL^ACD,AB//DE,所以OE1平面/CD,力尸u平面力。0,所以4尸1OE.

由于CDnDE=D,CD,DEc^CDE,所以AF1平面COE.

因為三棱錐8-ACF的體積為?，所以%TCF=^x=/xfxA8=?,

OOACFJ4O

所以AB=1,貝弘8=^OE.

取CE中點G,所以FG="。￡且打7/OE,

即<8=FG,AB//FG,

所以四邊形力為平行四邊形，i&AF//BG.

所以BG1平面CDE,由BGu平面BCE,所以平面CDE1平面BCE.

BE

(2)過A作Ay1HC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,

則4(。。。),r(2,0,0),/?(0,0,1).0(1,C,0)."(1,C,2)?旗=(1,O?7?=(2A-1).

設而=(無,y,z)為平面8CE的一個法向量,

所以%+Cy+z=0,取％=1,z=2,y=-C，所以沅=(1,_門,2).

2x—z=0

顯然元=(0,1,0)是平面4BC1的一個法向量.

設二面角A—BC—E的大小為。,cos。=L用=■=牛.

,由于￡6[0,n],二面角4-BC-E的正弦值為sin。=V1-cos20=三J.

18.【答案】【詳解】(1)因為五=(2cosx,1),加=(一cos(%+9，3，且Q〃比

所以一cos(x4-0=|x2cosx=cosx=—cos(x+TT).

所以cos(x+9=cos(x+TT),所以￥+g=±(x+n)+2kn,keZ,

解得x=kTr—),kEZ.

由于工W[O,ir],所以

J

(2)由題，可得f(x)=a-K=-2cosxcos(x+^)+1=—2cosx(cos%"—sinx號)+^=^ysin2x—

|cos2x=sin(2x—J

當x€[o用時，2x—Gn5n

G'~6.

所以sin(2%—W—，即/(x)W1].

因為對于任意的修，%2e[o,2],有|/(/)一八%2)1wa恒成立，

所以AN/-(X)max-/Wmin=1-(~1)=1*

19.【答案】【詳解】(1)甲每局比賽獲勝的概率為0.6,

由于甲以3:1獲得整場比賽勝利，

所以，第4局的勝者必然是甲，則前面3局中甲原2局，輸1局，

故甲以3:1獲得整場比賽勝利的概率為髭x0.62x0.4x0.6=0.2592；

(2)選擇71=0時，甲整場比賽獲勝的概率為p；

當選擇71=1時，甲整場比賽獲勝的概率為p2+2P2(1-P)：

所以作差得，p2+2P2(1—p)—p=—p(2p—l)(p—1),

由干0〈pv",2p-1<0,p-1<0,所以p?+2p2(l-p)-pv0,

即對于甲而言，應該選擇〃=0;

(3)若甲、乙兩人每局比賽獲勝的概率相等，所以前2九局就能定整場比賽正負的概率相同，

即甲和乙沒有進行第2n+1局時就能獲得整場比賽勝利的概率均為P(n),

由題可得，若要以第2九+1局定整場比賽的勝負，

則前2n局得分必定為n:〃的形式，概率為C%.Q)n-Q)n=黑，

因為“甲在2n局內(nèi)獲勝”“乙在2ri局內(nèi)獲勝”“比賽進行到笫2幾+1局”是巨斥且窮盡的事件,

所以2P(n)+翱=1,即P(n)=g-禹，

由干梟>。，則PS)=A為<4得證.

20.【答案】【詳解】(1)由題Q2=12,力2=1,c2=U.

所以高心率e=-=

aV126

(2)由題可知P(O,1),設T(%y),

則Pf2=M+(y-1)2=12—12y2+y2-2y+1=-1ly2-2y+13=-11(y+今7yG

[-u].

由于一白￡[-14]?

所以當尸=一白時，”取到最大值為揀E.

(3)如圖：

設2:y=k%+m,力(與,必)，B(x2,y2)?

因為直線2與橢圓。交于異于P的兩點A和心所以mH1.

4>0

-24〃m

修+小=由,

所以/故(1+12切/+24km+12m2-12=0,則

12m2T2

產(chǎn)小二

y「l+'2一〔_2kxiX2+(m—1)(必+交)_24fcm2—24/c—24km(m-1)_2km—2k

X1%2xlx212m2-12m2—1

即M+km-k-1=0.

故(m+(k+l))(m—1)=0,所以m=-k—1或7九=1(因為m*1,故舍去).

當m=-k—1,y=kx—k-1=k(x—1)—1,過定點(1,—1).

因此直線Z過定點(1,一1).

21.【答案】【詳解】(1)由于/?(%)=—=/+：定義域為(一8,0)u(0,+8),

尸(x)=2無一提，令尸(%)=0得％=1,

故當工€(—8,0),f'(x)<0,當彳￡(0,1),f'(x)<0,當為€(1,+8),f'[x}>0,

故/(%)在(一8,0),(0,1)上為嚴格減函數(shù)；在(1,+8)上為嚴格增函數(shù)，

故x=1為極小值點，所以與⑴={1}.

(2)g(x)=[ax2-(3a4-l)x+3a+2]e”定義域為R,

g'(x)=[a%?—(3a+l)x+3Q+2]ex+\2ax—(3a+l)]ex

=[ax2—(a+l)x+l]ex=[(ax-1)(%—l)]ex,

由于1ePgg，所以％=1為。(x)的極小值點.

當aVO,g'(x)=O有兩個解:和1,且5<1，結合開口朝向下的二次函數(shù)圖象，

令/(%)>0可得％W令g'(%)<。可得>6(-00,1)U(1,4-00),

g(x)在(一83)上嚴格減函數(shù)，6,1)上嚴格增函數(shù)，(1,+8)上嚴格減函數(shù)，

1為極大值點，舍去；

當a=0,g'(x)--(x-l)ex,

令/(無)>。得xG(-8,1),令g，(x)<0得xG(1,+co),

gQ)在(-8,1)上嚴格增函數(shù)，(1,+8)上嚴格減函數(shù)，1為極大值點，舍去；

當a>0,g<x)=0有兩個解;和1,

若a>1,<1,令g'(x)>0可得無€(—8,3)u(1,+8),

令/(X)V0可得

故以外在(-8,J上嚴格增函數(shù)，&1)上嚴格減函數(shù)，(1,+8)上嚴格增函數(shù)，

1為極小值點，滿足要求；

若。=1,則5=1,9口)之0恒成立，故g(x)R上單調(diào)遞增，不滿足要求；

若Ovavl,則，>1,令g'(x)>0可得％E(-8,1)u(；,+8),

令g’(x)<0可得工6(13),

故0。)在(—8,1)上嚴格增函數(shù)，(1,?上嚴格減函數(shù)，+8)上嚴格增函數(shù)，

1為極大值點，舍去：所以a>l.

(3)解法一：若Ph@)手°，則也(無)=0在R上有解，設為巧，

由于y="(%)在R上為嚴格增函數(shù),所以當％W(-8,%)時,“(X)V"a。=0,

八。)為嚴格減函數(shù)，

當彳6(無1，+8州寸，h\x)>=0,/i(%)為嚴格增函數(shù).所以e=為極小值點.

當心則結合九。)在(一8,%)上為嚴格減函數(shù)，

即M%)在(一8,與)也為嚴格減函數(shù)，所以存在%2<與，使得九(%2)>九(?)，

與題意矛盾.

當41<%。,由于存在%oGR,使得九(%)<八(&)對任意%<%。恒成立，

所以存在實數(shù)M<九(無0),使得人仁)<M對任意％<必恒成立，

且滿足隨著x從連續(xù)減小趨近于-8,函數(shù)y=M-h(x)的函數(shù)值從M-1(%1)逐漸連續(xù)減小趨近于0,

所以y=M為九(%)的漸近線，則有=limhz(x)=0.

XT-8XT-8

由于y=h(乃的定義域為R,八。)在(—8,%)上為嚴格減函數(shù)，〃(外在R上為嚴格增函數(shù)，

所以當—1>X]—2>—71>…，

有M%i)<h(xx-1)<九(％1—2)<-??<h(xr-n)<<M,

0=h'^)>h'g-1)>h'*i-2)>??->h>(x-n)>???>iimh'(x-n)=lim0(%)=0,

1n-?+oo1x-?-co

與不等式的傳遞性矛盾.

所以不存在這樣的與使得力'(x)=0在R上有解，故以⑶=。?

解法二：先證明：當y=/i'(x)在R上為嚴格增函數(shù)時，

任取％*、xeR,均有九'(x*)(%—％*)+h(x*)Wh(x),等號當且僅當％*=工時成立.

設n(x)=hr(x*)(x-x*)+h(x*