專題01一元二次方程（5知識&15題型&5易錯&9方法清單）

知識清單

【清單01】一元二次方程的概念

【清單02】一元二次方程的解法

【清單03】一元二次方程的判別式

【清單04】二次三項式的因式分解

【清單05】一元二次方程的應用題

期中?？碱}型清單

【題型一】一元二次方程的定義

【典例1】（2425八年級下.吉林?期中）下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x2=3（x—2）2B.4-x=0C.ax24-dx4-c=0D.x2+2x+1=0

【變式1】（2425八年級下?浙江杭州?期中）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x2-2x-3B.x2=2x+3C.x2=2y-3D.x2=^-3

【變式2］（2425九年級上?廣東廣州?期中）關于x的方程（。-1）/+%一2=0是一元二次方程，則Q滿足

（）

A.aH1B.a=—1C.aH±1D.為任意實數

【題型二】一元二次方程的一般形式

【典例2】（2223九年級上?遼寧沈陽?期中）一元二次方程3（/-3）=5%的二次項系數、一次項系數和常

數項分別是（）

A.3,-5,9B.3,-5,-9C.3,5,9D.3,5,-9

【變式1］（2425九年級上?廣西欽州?期中）將方程/-2工=10化為一兀二次方程的一般形式，其中二次

項系數為1，一次項系數，常數項分別是（）

A.-2,-10B.-2,10C.2,-10D.2,10

【變式2］（2425九年級上?福建漳州?期中）一元二次方程2/+3=2%化為一般形式是：—.

【題型三】一元二次方程的解

【典例31（2425八年級下?安徽淮北?期中）已知a是方程吐+2%-3=。的一個根,則代數式小+2a-2025

的值為.

【變式1］（2526九年級上.廣東廣州?期中）若。是方程爐+3%-1=0的解,則式子2a?+6G+2021的值

為?

【變式2】（2425八年級下?浙江溫州?期中）若x=2是關于x的一元二次方程/+心：+5=0的一個根，則

k=.

【題型四】解一元二次方程配方法

【典例4】（2425八年級下?福建福州?期中）解一元二次方程,一6%-3=0,配方后正確的是（）

A.（無一3）2=12B.（%—3/=5C.（無一37=4D.（%+3）2=12

【變式1］（2425九年級上?廣東江門?期中）將方程/一軌一3=0配方后所得的方程正確的是（）

A.(x-2)2=7B.(x-2)2=1C.(%-2尸=5D.(x-2)2=0

【變式2】(2425八年級上?上海?期中)用配方法解方程：2/一8%-1=0

【題型五】解一元二次方程公式法

【典例5】（2324九年級上.青海西寧?期中）解方程：2/一26萬-1=0（公式法）

【變式1］（2425八年級下?山東淄博?期中）若x=2±＜：4：（-DQ可以表示某個一元二次方程的根,則這個

一元二次方程為（）

A.3x2+2x-l=0B.2%2+4z-1=0

C.-x2-2x4-3=0D.3x2-2x-1=0

【變式2】（2425九年級上?山西長治?期中）解方程：3/+2x=5.

【題型六】解一元二次方程因式分解法

【典例6】（2425八年級下?江蘇淮安?期末）一元二次方程/-1=0的根為（）

A.-1B.1C.1或一1D.0

【變式1】（2425九年級上?福建泉州?期中）已知一元二次方程的兩根分別為與=1,X2=-3,則這個方程

為（）

A.（x-l）（x-3）=0B.（x-l）（x+3）=0

C.（x+l）（x+3）=0D.（x+l）（x-3）=0

【題型七】用適當的方法解方程

【典例7】（2324九年級上?青海西寧?期中）用合適的方法解方程

(l)4(x-3)=2x(x—3)(2)x2-4x-7=0

【變式1】（2425八年級下?福建福州?期中）解方程:

(l)x2-4x-2=0：(2)2X2-5X+2=0.

【變式2】（2425九年級上?北京?期中）解關于x的方程.

(l)x2+3x4-2=0；(2)3x2-6x=1.

【變式3】（2425八年級下?山東東營?期中）用適當的方法解下列一元二次方程

(1)6/+2=7%(2)(2%-I)2=(3-%)2

【題型八】根據判別式判斷一元二次方程根的根的情況

【典例8】（2324九年級上.安徽宿州.期中）一元二次方程/一4%-5=0的根的情況為（）

A.沒有實數根B.有兩個不相等的實數根

C.有兩個相等的實數根D.不能判定

2

【變式1】＜2425九年級下?四川廣安?期中）關于％的一元二次方程/-2x-m=0的根的情況是（）

A.只有一個實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根

【題型九】根據一元二次方程根的根的情況求參數

【典例9]（2425九年級上?廣東匚門?期中）若關于文的一元二次方程m/-2%+1=0有兩個不相等的實數

根，則m的取值范圍是（）

A.m<1且mH0B.m>1C.mW/且zn芋0D.m<1

【變式1】（2425八年級下?安徽亳州?期中）若關于匯的一元二次方程方程（m-l）x2+4x+1=0有實數根，

則m的取值范圍是（）

A.m工5且mH1B.m>5,且m學1

C.m<5D.m>5

【變式2】（2425九年級下?江西九江?期中）已知關于x的一元二次方程/一%+2k=0有兩人不相等的實

數根，則出的取值范圍為（）

A.k>-B.k<-C.k<-D.k>l

888

【題型十】一元二次方程根與系數的關系

【典例10】（2425八年級下?廣西百色?期中）已知〃?，〃是方程一―5￥-2025=0的兩個實數根，則m2-

4m+n-2的值是（）

A.2025B.2028C.2030D.4048

【變式1】（2425九年級卜?湖南婁底?期中）已知仙〃是一兀二次方程％z+工-2025=0的兩個實數根，

則代數式m2+2m+九的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

【變式2】（2425八年級下?北京?期中）若a,/?是一元二次方程/+x-2023=0的兩個實數根，則M

20+3的值為（）

A.2028B.2026C.2024D.2022

【變式3］（2425九年級上?廣東珠海?期中）已知一元二次方程好一3工+2=0的兩個根為與、孫，則工+工

X\X2

的值為（）

A.-3B.—~C.1D.-

32

【題型十一】一元二次方程應用與幾何圖形的綜合應用

【典例11】（2425九年級上?天津?期木）如圖，在長為100米，寬為80米的矩形場地上修建兩條寬度相等

且互相垂直的道路，剩余部分進行綠化，要使綠化面積為7644米2,則道路的寬應為多少米？設道路

的寬為4米，則可列方程為（）

80米

100米

A.100x80-100%-80x=7644B.(100-x)(80-x)+x2=7644

C.(100-x)(80-x)=7644D.lOOx+80x=356

【變式1】(2425九年級下?山西長治?期中)《千里江山圖》是雪山綠水畫中的一幅巨制杰作，由我國北宋

著名畫家王希孟所作.圖1是《千里江山圖》的一幅局部臨摹畫作，該畫作是一個長為2.4m,寬為1.6m

的矩形.將該畫的四周裝裱上寬度相等的邊襯(如圖2),裝裱后整幅畫的面積為4.16m2.若四周裝裱

上的邊襯的寬度為％m,則下面所列方程正確的是()

A.(1.6-x)(2.4-x)=4.16B.(1.6+x)(2.4+x)=4.16

C.(1.6-2x)(2.4-2x)=4.16D.(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16

【變式2】(2526九年級上?湖北孝感?期中)如圖，若要建一個長方形雞場，雞場的一邊靠墻，墻對面有一

個2米寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33米，圍成的長方形的雞場除門之外四周不能有空隙.

---------------12ml---------------

(1)若墻長為18米，要圍成的雞場的面積為150平方米，則雞場的長和寬各為多少米？

(2)圍成的雞場的面積可能達到200平方米嗎？

(3)若墻長為a米，對建150平方米面積的雞場有何影響？

【題型十二】一元二次方程應用增長率問題

【典例12】(2425九年級上?重慶合川?期中)某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，三月份的營業(yè)額為288

萬元，如果平均每月的增長率為心則由題意列方程為()

A.200(1+x)2=288B.200(1+2x)=288

C.200+2x=288D.200+200(1+x)+200(1+x)2=288

【變式1](2425八年級下?浙江溫州?期中)電影《哪吒之魔童鬧海》于2025年春節(jié)檔上映，一上映就獲

得全國人民的追捧.據不完全統(tǒng)計，某市第一天票房約200萬元，以后每天票房按相同的增長率增長，

三天后果寸票房收入芳728萬元，將增長率記作x,則方程可以列為

【變式2】(2425九年級上?云南昆明?期中)云南陽光玫瑰葡萄，近兩年被廣大消費者所熟知，它肉質緊密,

口感脆爽，甜度很高，香味濃郁.云南某生態(tài)果園陽光玫瑰葡萄2022年產量為60噸，2024年產量為

86.4噸，若該生態(tài)果園陽光玫瑰前葡產量的年平均增長率相同.

（1）求該生態(tài)果園陽光玫瑰產量的年平均增長率：

（2）若陽光玫瑰葡萄產量的年增長率不變，請預估2025年該生態(tài)果園陽光玫瑰葡萄產量.

【題型十三】一元二次方程應用傳染問題

【典例13】（2425九年級上?遼寧沈陽?期中）兔熱病是一種傳播速度很快的人獸共患傳染病，又稱土拉菌

病或鹿蠅熱，一輪傳染時間為一天.某養(yǎng)兔場某天發(fā)現一例，兩天后發(fā)現共有169只兔子患有這種病，

若每例病條子傳染健康金子的只數均為工，則無=.

【變式1】（2425九年級上?湖北武漢?期中）某種植物的主干長出x個支干，每個支干乂長出工個小分支，

主干、支干和小分支的總數是57,根據題意可列方程.（不必解方程）

【變式2】（2425九年級上?遼寧大連?期中）某小區(qū)有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有K1個人患了

流感.

（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后，累計患流感的人數能否超過800?

【變式3】（2425九年級上?安徽蕪湖?期中）化學是一門以實驗為基礎的學科，小華在化學老師的幫助下，

學會了用高錦酸鉀制取氧氣的實驗，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會了同一個學習小組的％名同學做

該實驗，第二節(jié)課小華因家中有事請假了，班上其氽會做該實驗的每名同學又手把手教會了x名同學，

這樣全班43名同學恰好都會做這個實驗了.求工的值.

【題型十四】一元二次方程應用經濟問題

【典例14]（2425九年級下?重慶萬州?期中）2025年春力聯(lián)歡晚會吉祥物“巳（打）升升“，設計靈感來源于

中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形憨態(tài)可掬，寓意“福從頭

起，尾隨如意“，在市場上一度走紅.

(1)某商店銷售A,8兩款“巳升升?”吉祥物，已知A款吉祥物的單價比B款吉祥物的單價高20元，若顧客

花800元購買A款吉祥物的數量與花600元購買8款吉祥物的數量相同，則4,8兩款吉祥物的單價分

別是多少元？

(2)若4款吉祥物的進價為每件60元，經市場調查發(fā)現，當售價定為每件10()元，則每天能銷售4款吉

祥物20件，而售價每降價1元，每天可多售出力款吉祥物2件，為了推廣宣傳，商家決定降價促銷，

同時盡量減少庫存，若使每天銷售后獲利1200元，則4款吉祥物售價應降低多少元？

【變式1】(2425九年級下.安徽六安?階段練習)在2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會上，新年吉祥物“巳升升”特別惹人

注目，其設計.靈感源干中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調，外形愁

態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，我們在電商平臺和實體店了解其銷售情況.

(1)統(tǒng)計某電商平臺，2024年12月份吉祥物一月的銷售量是5萬件，2025年2月份吉祥物一月的銷化:

量是7.2萬件，若近三個月月平均增長率相同，求月平均增長率；

(2)對某實體店的銷售情況進行了解，該店吉祥物的進價為每件60元，若售價定為每件100元，則每天

能銷售量20件.通過市場調查發(fā)現，售價每降價1元，每天可多售出2件，為了進一步推廣宣傳，商

家決定降價促銷，要求盡量減少庫存，且使每天銷售獲利1200元，請你分析售價應降低多少元？

【變式2】(2425九年級上?廣東茂名?期中)某商場有A,8兩款電器，購買2臺A款電器和1臺8款電器

要840兀，購買1臺A款電器和2臺8款電器要780兀.

(1)求A,B兩款電器每臺的售價；

(2)經統(tǒng)計，每臺A款電器的利潤為100元時每月可以賣出100臺，為了盡可能減少庫存，該商場決定

采取適當降價措施.調查發(fā)現，每臺A款電器的售價每降低10元，則平均每月可多售出20臺，該商

場想要每月銷售A款電器的利潤為10800元，則每臺A款電器應降價多少元？

【題型十五】一元二次方程應用動態(tài)幾何問題

【典例15](2324九年級上.廣東梅州?期中)如圖，在正方形48CD中，4B=4cm,點P從點8出發(fā)沿BC以

2cm/s的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，以lcm/s的速度沿CD向點Q運動，當點尸到達終點

后，P,。兩點同時停止運動.設點P運動的時間為fs.

⑴問當f為多少時，AP=2PQ?

(2)連接4Q,是否存在時間/,使得S-PQ=4?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

【變式11(2425八年級下?河北邯鄲?期中)如圖所示，在四邊形A8CD中，40|BC"D=24cm,BC=30cm,

點〃從A向點。以lcm/s的速度運動，到點。即停止.點。從點C向點8以2cm/s的速度運動，到點

6即停止，直線PQ將四邊形力3c。截得兩個四邊形，分另U為四邊形A8QP和四邊形PQC0,

⑴則當P,Q兩點同時出發(fā)，幾秒后所截得兩個四邊形中，其中一個四邊形為平行四邊形?

(2)若N8=90。，當48=8cm時，直接寫出經過______秒后，PQ=CD.

【變式2】（2425九年級上?江蘇宿遷?期中）在矩形力8co中，/IB=6cm,EC=12cm,點P從力H發(fā)，沿48以

lcm/s的速度向點B勻速移動，同時點Q從點B出發(fā)，沿8c以2cm/s的速度向點C勻速移動.設運動的時

間為￡s.

⑴尸8=,QC=；

（2）t為何值時，△0PQ的面積等于28cm2?

高頻易錯歸因清單

【題型一】根據一元二次方程根的根的情況求參數

1.（2324九年級上?四川南充?期中）關于％的一元二次方程（4+1）/-2%+1=0有實數根，則k的取值范

圍是（）

A.kWO且kH-lB.k<0且上工一1C./c<0D.k>0

【題型二】一元二次方程應用增長率問題

2.（2425九年級下?江蘇南京?階段練習）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟

發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校為響應我區(qū)全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館.據統(tǒng)

計，第一個月進館400人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館1456人次，若進館人次的月

平均增長率為％，則可列方程為.

【題型三】一元二次方程應用幾何面積問題

3.(2425九年級上?江蘇揚州?期中)如圖，用長為22米的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度為14米)，

圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在上用其他材料做了寬

為1米的兩扇小門.

墻14m

——II——~~II_k

ImIm

(1)設花圃的一邊AB長為x米，請你用含x的代數式表示另一邊的長為一米；

(2)若此時花圃的面積剛好為45平方米，求此時花圃的長與寬.

(3)建成花圃的面枳可能為60平方米嗎？請說明理由.

【題型四】一元二次方程應用經濟問題

4.(2425九年級上例川成都?期中)某景區(qū)民宿有客房60間供游客居住，每個房間是按整間出租.已知當

每個房間每天的定價為140元時，客房會全部住滿，當個房間每天的定價每增加20元時，就會有4個

房間空閑.

(1)若某天每間客房的定價增加了60元，求這天客房的總收入：

(2)如果政府規(guī)定該農家樂入住率超過80%可以獲得每間10元的政府補貼，某天客房收入9360元，試

求這天農家樂可獲得政府補貼多少元？

【題型五】一元二次方程應用動態(tài)幾何問題

5.(2425九年級上?山東青島?階段練習)如圖，在△ABC中，AB=6cm,BC=7cm,乙ABC=30°,點、P從

A點出發(fā)，以lcm/s的速度向8點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動，當一個點到達終

點時，另一個點也隨即停止運動.如果P、Q兩點同時出發(fā).

(IMP