專題10數(shù)列

白題型概覽

題型（）1等差數(shù)列基本量運算

題型02等比數(shù)列基本量運算

題型03數(shù)列的實際應(yīng)用

題型04數(shù)列的最值問題

題型（）5等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

題型06數(shù)列通項與求和問題

題型07數(shù)列不等式

題型（）8數(shù)列新定義

?01等差數(shù)列基本量運算

1.（2025?山東青島?一模）在VA8C中，角A8C的對邊。也。成公差為2的等差數(shù)歹IJ.若

7sinA=3sinC,則VA8C的面積為.

2.（2025?河南安陽?一模）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S”，且

2〃[〃+2）S“+i=（〃+l）（〃+2）Sa+〃（〃+l）S”+2，若。3=5,=2025,貝ij%=（）

A.3B.6C.1015D.2030

3.（2025?廣東湛江?一模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且滿足S2”T=4〃、2a.-l,6=1,

則數(shù)列｛凡｝的通項公式為.

4.（2025?江西上饒?一模）某統(tǒng)計數(shù)據(jù)共有13個樣本%[=1,23…/3）,它們依次成公差4=1的等

差數(shù)列，若這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是26,則它們的平均數(shù)為（）

A.25B.23C.21D.19

5.（2025?湖北?一模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且滿足3=1,52=3,等比數(shù)列論｝的

前八項和為且滿足（=生，《二。6，則”的值為（）

A.42B.62C.63D.126

6.（2025?貴州六盤水?一模）等差數(shù)列8,5,2........的第10項為_______.

7.（2025?江西南昌?一模）已知等差數(shù)列｛q｝各項不為零，前〃項和為S“，若S”=勺%“，則%=.

8.12025?山西?一模）設(shè)S”是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若邑=28,品=88,則｛%｝的公差4=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2025?山東日照?一模）已知數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列，且滿足⑸=2a“+l（〃wN+）.

（1）若4=1,求數(shù)列,的前a項和S”；

（2）若數(shù)列也｝滿足西+4=姑2,且數(shù)列｛4也｝的前〃項和毒=（3〃-4）?2M8,求數(shù)列也｝的通項

公式.

10.（2025?山東日照?一模）已知等差數(shù)列｛4｝中，〃2+。4=6,則《+%+%=（）

A.15B.9C.3瓜D.576

題型02等比數(shù)列基本量運算

1.：2025?山東青島?一模）已知公比不為±1的等比數(shù)列｛《,｝中，存在s,，eN‘，滿足的,=咄則9+1

st

的最小值為.

2.（2025,江西贛州?一模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，滿足3%=2s“+1,則S§=（）

A.11B.31C.61D.121

3

3.（2025?河南安陽?一模）已知正項等比數(shù)列｛《,｝滿足%,=〃：，且4+%=：，則公比為.

4.（2025?北京平谷?一模）在等比數(shù)列｛〃”｝中，弓+4=-6,%+6二與，記（-q（〃=l，2）,

則數(shù)列｛1｝（）

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.有最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

5.（2025?黑龍江?一模）正項等比覆列｛4｝中，S“是其前〃項和，若%=4+2q,S2=32,則$6=（）

A.63B.56C.52D.42

6.（2025?山東濟寧?一模）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且、=S.+2,也｝為等差數(shù)列,且

&=。"今=。3,記集合A=keN%GW/｝中元素的個數(shù)為%數(shù)列｛qr｝的前〃項和為人見下列

結(jié)論正確的是（）

A.4=2"B.bn=n

C.cn=T-nD.T“=2"“―〃（?。?

7.（2025?福建泉州?一模）等比數(shù)列｛《,｝中，4+生=1嗎+牝=8,則｛〃“｝的前4項和等于.

8.（2025?山東淄博?一模）已知等比數(shù)列｛%｝的各項為正數(shù)，首八項和為S"，若邑=13?=9,則公

比q_.

9.（2025?廣東湛江?一模）在等比數(shù)列｛4｝中，/q=49,4+%=70,則4=（）.

A.-567B.567C.451D.699

10.（2025?江西上饒?一模）已知5"為數(shù)列卜"的前〃項和，6=2,弓i=/+號，則同｝的通項

公式為_____;令〃”=2~。，則她-妙3+-+（T）"'Z%=.

題州03

1.（2025?北京平谷?一模）《張邱健算經(jīng)》是公元5世紀中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書中記載著

這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天

計）共織了440尺，推算第10天該女子織了尺布

2.（2025?山東青島?一模）有〃個編號分別為L2,，〃的盒子，第1個盒子中有2個紅球1個白球,

其余盒子中為1個紅球1個白球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中

任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到紅球的概率是,從第〃個盒子

中取到紅球的概率是.

3.（2025?廣東江門?一模）在某平臺開展闖關(guān)贏獎品活動中，用戶每次進入新的一關(guān)都有一次抽獎

機會.已知用戶在第一關(guān)抽到獎品的概率為:.從第二關(guān)開始，若前一關(guān)沒抽到獎品，則這一關(guān)抽

2I

到獎品的概率為9：若前?關(guān)抽到獎品，則這一關(guān)抽到獎品的概率為記用戶第〃關(guān)抽到獎品的

JJ

概率為P”，則P0的最大值為.

4.（2025?廣東佛山?一模）ACE球是指在網(wǎng)球?qū)种?，一方發(fā)球，球落在有效區(qū)內(nèi)，但接球方卻沒有

觸及到球而使發(fā)球方直接得分的發(fā)球.甲、乙兩人進行發(fā)球訓(xùn)練，規(guī)則如下：每次由其中一人發(fā)球,

若發(fā)出ACE球，則換人發(fā)球，若未發(fā)出ACE球，則兩人等可能地獲得下一次發(fā)球權(quán).設(shè)甲，乙發(fā)出

ACE球的概率均為見，記兒="第〃次發(fā)球的人是甲”.

⑴證明：P（%|A,）+P（4間=1；

/9,、

（2）若尸（A）=l,P（A2）=-,求竹和尸（4）.

sin7ix,OKxK2

5.（2025?遼寧沈陽?一模）對于函數(shù)/*）=1乙小小,下列結(jié)論中正確的是（）

-f（x-2\x>2

3

A.任取中々以1，+8）,都有|/（X）—/（￡）1號

B./§）+/（|）+…+/（；+22）=2—擊，其中丘N

k

C.j\x)=2f(x+2k)(kGN)對一切xe[0,+oo)恒成立

D.方程—八。）有兩個相異實根哈書［

?04數(shù)列的最值問題

1.（2025?江西?一模）設(shè)正項等比數(shù)列｛"｝的前〃項和為心，前〃項積為Q”，已知乙=2,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.若S2023T）（怎L1）<（）則多”一々必>1

B.若。2026=02021則b202A=1

C.（%23-1）（%24-1）<。,則02023是。”的最大值

D.對任意〃CN'，b：<Q；

2.（2025?江蘇南通?一模）已知正項等比數(shù)列｛4｝的公比為前〃項的積為。，當且僅當〃=99時,

了“取得最大值，則下列說法正確的是（）

A.0<^<I

B.數(shù)列｛次｝為等比數(shù)列

C.使數(shù)列｛沅｝的前〃項的積取最大值時，最大正整數(shù)〃的值為198

D.若數(shù)列｛沅｝的前〃項的積大于1成立最大正整數(shù)〃的值為396,則（>1的最大正整數(shù)〃的

值為198

3.（2025?遼寧沈陽?一模）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項的積為%即%%，乂已知

4=4?=],則7；的最大值為

4.（2025?山東臨沂一模）設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S.，且S“+/q=l,則滿足S.>（）.99時，〃的最

小值為（）

A.49B.50C.99D.100

5.（2025?福建泉州?一模）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和5.=加+〃-攵+2,則下列說法正確的是（）

7

A.若｛為｝是等差數(shù)列，則k=2B.若也｝不是遞增數(shù)列，則”。

Q7

C.若S“<S“.2,則改>2D.若藍的最小值為3,則女二

?05等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

1,1

1.（2025?山東青島?一模）已知數(shù)列｛〃“｝,出｝，且為=罰也=而廣，將｛4｝與血｝的公共

項按從大到小的順序排列組成一個新數(shù)列｛qj,則｛qj的前10項和為（）

A9c18-10>2°

A.—B.—C.—D.—

19192121

2.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知數(shù)列｛。力滿足q+g/++3+…+）凡=2-3"-6（〃€N）若

"=（2z:.0（2?.3）,則數(shù)列圾｝的前15項和為（）

ol5個5ol5下5

A.---1B.---3C.---1D.---3

IIII3131

3.：2025?山東淄博?一模）過點尸（TO）向曲線2心+2），2=0（〃￡^）引斜率為勺代>0）的切

線1，切點為匕（王，”），則下列結(jié)論正確的是（）

2025

Ak=-，B,^Inx,=-In2026

A,”>/4^2

M

斗的前〃項和為3=2

C.數(shù)列n+nD.―+cos>1

4.（2025?江西?一模）已知數(shù)列｛《｝滿足對任意正整數(shù)“，學(xué)恒有且％+%=3,設(shè)

—）乳則，）

A.｛qj中前2〃-1個奇數(shù)的和為/JB.｛a｝前100項的和為10100

4n

一06

c.不存在等差數(shù)列匕3使其前〃項和為D.e

I3

Z4

/=!

5.（2025?北京平谷?一模）已知各項均不為零的數(shù)列｛q｝,其前〃項和是S.,q=a,且

，=%%（〃=12）.給出如下結(jié)論：

①生=1；

②若｛4）為遞增數(shù)列，貝心的取值范圍是（0,1）;

③存在實數(shù)4，使得｛4｝為等比數(shù)列；

④?eN,,使得當k"時，總有4<2嗎

a2k-l

其中所有正確結(jié)論的序號是.

6.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足4=1,且q=為1+1（〃22）,則且三二__________.

C<-）I1

7.（2025?廣西?一模）若正項等比數(shù)列｛4｝滿足4=10,則愴4+愴/+1+愴4=.

*、

8.（2025?山西?一模）數(shù)歹!]｛4｝滿足In4+2+㈠）"In4=2-2,4=1,%=2,則數(shù)列「〃處"，的

,a2n,

前“項和是.

9.（2025?北京延慶?一模）數(shù)列｛%｝中,若存在外,使得“見之口且〃之4/成立,（攵之2,ACN）

則稱4為U）的一個峰值.若凡=-31+11〃，則｛《｝的峰值為；若4="n〃-"，且｛4｝不存

在峰值，則實數(shù)，的取值范圍為

10.（2025?湖南岳陽?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足4"2+4”-24++4=〃（〃tN+）,則4=

題型06數(shù)列通項與求和問題

1.（2025?天津武清?一模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a.｝（〃eN[,其前〃項和為S”，滿足

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式以及S“；

后'〃=2"化WN,求甥.

(2)若勿=,)

%—L〃包

2.(2025?山東濟寧?一模)已知數(shù)列｛〃“｝和｛，｝滿足4=1,〃。向二(〃+1)?！?1,偽+&++bn=T-l.

⑴求數(shù)列｛q｝和也｝的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列?的前〃項和為求證：S〃<6.

也J

3.(2025?廣西?一模)已知函數(shù)/(x)=e*-x.

⑴求曲線y=fM在點(0./(o?處的切線方程；

(2)當xe|0,+8),Z>e(Yo,l］時，/(x)之以?+力恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

n+l11|

⑶證明：［勺)>〃-引+“

4.(2025?云南昆明?一模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項和為工，％=1,且

?！?瘋+￡7(〃22).

⑴證明：數(shù)歹以并；｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑶若屈R(f>o,〃￡N),求/的取值范圍.

Iq人生八a〃)

5.(2025?安徽?一模)設(shè)｛4｝是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前“項和為s”.

⑴若“i+2=。,向?qū)θ我狻╡N?都成立，且2s向=S“+2.

①求數(shù)列也｝的通項公式；

②已知首項為巧，公比9滿足|司<1的無窮等比數(shù)列｛五｝,當〃無限增大時，其前〃項和無限趨近于

常數(shù)產(chǎn)，則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列｛乙｝的各項和.現(xiàn)從數(shù)列乩｝中抽取部分項構(gòu)成無窮等比數(shù)列

i-q

也｝,且也｝的各項和不大于焉，求〃的最大值.

(2)若"a"q+2Na“+1對任意〃wN?都成立,試證明：(。4.2)；之(W3,%+帚.

?07數(shù)列不等式

1.（2025?四川巴中?一模）已知數(shù)列｛為｝的通項公式為〃”=得

（1）求證：

…?1II17

⑵令…2K證明:后+區(qū)++

2.（2025?江西?一模）已知函數(shù)/㈤是區(qū)間。上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列｛q｝滿足qc。，若點

4（a"（a））（aw。）與人包,/（4,））所在直線的斜率存在，且與/*）的圖象在x向處的切線斜率

相等，則稱｛4｝為/*）的〃〃一和諧數(shù)列”.

⑴若/"）=五，。=（。,+8）,｛④｝是/"）的"1一和諧數(shù)列"，且4=4,求（；

（2）若f（x）=V+6sinA,D=（0,+oo）.

①判斷/（用在。上的單調(diào)性：

②若｛4｝是/*）的“。一和諧數(shù)列"，且〃,山￡（4凡），求證：色色二

Clt-Clz

3.（2025?廣東?一模）已知無窮數(shù)列｛4｝滿足，4,%為正整數(shù)，^r=hr+1-^+2|,?eN\

（1）若4=1，%=2,求出；

⑵證明：“存在ZcN',使得4=0"是"｛凡｝是周期為3的數(shù)列〃的必要不充分條件；

⑶若4工叼，是否存在數(shù)列｛q｝，使得％<2025恒成立？若存在，求出一?組/生的值；若不存在,

請說明理由.

4.（2025?云南昆明?一模）已知數(shù)列｛%｝,4=9,1=初+6,3”,S”是｛凡｝的前幾項和.

⑴證明:數(shù)列爭為等差數(shù)列:

⑵求S”；

〃為奇數(shù)，

S,,一〃/、

⑶若2=,記數(shù)列也｝的前〃項和為。，證明：乙<1.

（_1聲.岑_,〃為偶數(shù)

參考數(shù)據(jù)：In2?0.69.

5.（2025?甘肅蘭州?一模）已知公差不為零的等差數(shù)列乩｝滿足q=1,且生，4,%成等比數(shù)歹U.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式；

（2）證明：如勺《凡一1；

⑶若數(shù)列滿足a=4答，證明：1+!1+11+[…1+4V，（e為自然對數(shù)的底）.

2I々八H八hy）、hn）

1.（2025?北京平谷?一模）對于數(shù)列A：4%],4,若滿足4二｛0,1?=1,2,3,…⑺，則稱數(shù)列A為”07

數(shù)列”.定義變換7,若q=1，將〃變成0,1,若4=。，將風變成1，0,得到新的“0-1數(shù)列”.設(shè)4

是“0—1數(shù)列〃，令&=7（=1,2,3,??.

6若數(shù)列％：。,1』,0』,0,0,1,0,1,1,0.求數(shù)列4，小

⑵若數(shù)列4共有10項，則數(shù)列A中連續(xù)兩項相等的數(shù)對至多有多少對？請說明理由；

⑶若4為0,1,記數(shù)列4中連續(xù)兩項都是0的數(shù)對個數(shù)為/火次=1,2,3,?求4關(guān)于我的表達式.

2.（2025?陜西咸陽?一模）若無窮數(shù)列｛〃“｝滿足：對