襄陽四中2025級高一上學(xué)期質(zhì)量檢測四數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知函數(shù)則（）A. B.e C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)由里到外逐步求解即可.【詳解】由題可得，故．故選：D.2.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為，，故選：A．3.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性以及定義，可得其函數(shù)解析式，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小，結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得答案.【詳解】由題意，可得，解得，則，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，故，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.故選：C.4.下列結(jié)論正確的是（）A.若角，則角是第一象限角B.若角，則角與角的終邊相同C.若角為銳角，則角為鈍角D.若角的終邊上有一點(diǎn)，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角度直接判斷A；根據(jù)判斷B，根據(jù)，判斷C，根據(jù)三角函數(shù)終邊點(diǎn)的定義判斷D.【詳解】對于A，角是第四象限角，故錯(cuò)誤；對于B，由于，故角與角的終邊相同，正確；對于C，角為銳角，則，，故為鈍角不一定成立，錯(cuò)誤；對于D，由題，故，錯(cuò)誤.故選：B5.已知函數(shù)（）的圖象過函數(shù)圖象的定點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】先求得圖象的定點(diǎn)，得到，再由，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得，所以圖象的定點(diǎn)，又由函數(shù)的圖象過函數(shù)圖象的定點(diǎn)，可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：D.6.已知函數(shù)，曲線和恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（）A.1 B.-1 C. D.0【答案】C【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)的對稱性即可確定方程只有一個(gè)根時(shí)的值.【詳解】由可得，整理得，設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，則在上為偶函數(shù)，若方程只有一個(gè)根，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可得.故選：C.7.已知函數(shù)，若僅存在一個(gè)整數(shù)，使得方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用二次函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合題意得到每一部分根的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題求解參數(shù)范圍即可.【詳解】若方程有4個(gè)不同的實(shí)根，如圖，作出符合題意的圖像，當(dāng)時(shí)，，則由二次函數(shù)性質(zhì)得此時(shí)最多有兩個(gè)不同的實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，，此時(shí)一定有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到，當(dāng)時(shí)，結(jié)合題意得有兩個(gè)不同的實(shí)根，此時(shí)與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且此時(shí)，，可得，即，因?yàn)閮H存在一個(gè)整數(shù)，所以，解得，而，得到，故A正確.故選：A8.已知實(shí)數(shù)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖像，結(jié)合圖像進(jìn)行討論得到的范圍.【詳解】令，則，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖像，如圖所示.不妨設(shè)，則由圖像可得，所以，故D錯(cuò)誤.，，故C錯(cuò)誤.，，即，又，，故A錯(cuò)誤，B正確故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若是第二象限角，則在第二象限C.已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為D.若角的終邊過點(diǎn)，則【答案】AC【解析】【分析】應(yīng)用全稱命題的否定判斷A，應(yīng)用誘導(dǎo)公式判斷B，應(yīng)用扇形的弧長及面積公式判斷C，應(yīng)用任意角的正弦定義計(jì)算判斷D.【詳解】A：命題“，”的否定是“，”故A正確;B：因?yàn)?，又因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，所以，則在第三象限，故錯(cuò)誤;C：已知扇形的面積為4，周長為10，則，可得或，而，(舍)或，故C正確；D：角的終邊過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：AC．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C.奇函數(shù) D.方程僅有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】由為奇函數(shù)和為偶函數(shù)得，即是周期為8的周期函數(shù)即可判斷AC，作出函數(shù)在和的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷BD.【詳解】由為奇函數(shù)，可得，即（*），又為偶函數(shù)，則，即，由（*），，即，則，故，所以是以8為一個(gè)周期的周期函數(shù)，對于A，，故A正確；對于C，，又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故C正確；對于B，因方程的根的個(gè)數(shù)，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)在和的函數(shù)圖象：由圖可知在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由圖可知，與有10個(gè)交點(diǎn)，即方程僅有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD.11.已知，下列說法正確的是（）A.的解集為B.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C.對任意，存在實(shí)數(shù)，使方程恒有兩解且為定值D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】解不等式可判斷A；根據(jù)解析式判斷出單調(diào)性，結(jié)合的圖象可判斷B；方程整理得，求出，對任意，令，可判斷C；求出、、，判斷出是以3為周期的周期函數(shù)，利用周期性可判斷D.【詳解】對于A，由得，解得，可得的解集為，故A正確；對于B，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，令，得令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，其圖象如下，所以不存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，方程整理得，若有兩解，需判別式，且，對任意，令，則，此時(shí)方程為，即方程，有兩解，，所以存在實(shí)數(shù)，使方程恒有兩解且為定值0，故C正確；對于D，，，，所以是以3為周期的周期函數(shù)，且，，，，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.計(jì)算：_____．【答案】3【解析】【分析】利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式化簡計(jì)算即可．【詳解】原式故答案為：3．13.設(shè)方程的根為，方程的根為，則的值為_________．【答案】7【解析】【分析】設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)為，函數(shù)與的交點(diǎn)為，由反函數(shù)的性質(zhì)得到，再由方程根的定義得到，，再將其代入所求式計(jì)算即得.【詳解】由方程的根為，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)為；由方程的根為，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)為；又因函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以兩者圖象關(guān)于對稱，而且直線與直線互相垂直，則點(diǎn)與關(guān)于對稱，則得到；由題意得到，則，；所以.故答案為：714.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________；若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，判斷方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)參數(shù)的范圍；再根據(jù)一元二次方程的解法，方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的關(guān)系，以及分段函數(shù)的性質(zhì)，求出參數(shù)范圍.【詳解】如圖所示，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為；由，因式分解得，解得或.由函數(shù)圖象可知有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則也有2個(gè)不同的實(shí)根，則，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）求值：；（2）已知角終邊上的一點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡成特殊角的三角函數(shù)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)點(diǎn)在角終邊上，計(jì)算出，再利用誘導(dǎo)公式化簡，即可解出.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)辄c(diǎn)在角終邊上，所以，化簡：.16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）33；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值.（2）利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)在上的單調(diào)性，由此脫去法則“f”并分離參數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最大值即得.【小問1詳解】函數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，所以函數(shù)在上的最大值為33.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，則由，得，依題意，對恒成立，則在上恒成立，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.為積極響應(yīng)上級號召，堅(jiān)定“四個(gè)自信”中的文化自信，某市電視臺于2021年年初開通了“優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”視頻號，并組織專業(yè)團(tuán)隊(duì)運(yùn)營，由于內(nèi)容豐富多彩，該視頻號受到廣大群眾的喜愛，關(guān)注度也逐年增加，以2021年作為第1年，運(yùn)營團(tuán)隊(duì)在每年年底利用數(shù)據(jù)監(jiān)測系統(tǒng)對該視頻號本年度的觀看人次統(tǒng)計(jì)如下表：第年1234觀看人次（十萬）35405867為了描述年數(shù)與第年該視頻號觀看人次（單位：十萬）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①；②；③.（1）由于視頻號初創(chuàng)，監(jiān)測系統(tǒng)對2021年的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)不準(zhǔn)確，導(dǎo)致該組數(shù)據(jù)不宜使用，請從①②③中選出一個(gè)合適的模型，并求相應(yīng)的函數(shù)解析式，并根據(jù)這個(gè)模型預(yù)測2028年的觀看人次能否超過80（單位：十萬）；（2）為更好的運(yùn)營視頻號，吸引更多的觀看者，2025年年初，運(yùn)營團(tuán)隊(duì)加大投入，引進(jìn)了最新數(shù)據(jù)監(jiān)測系統(tǒng)，經(jīng)該系統(tǒng)分析，2021年的觀看人次修正為28（單位：十萬），2024年的觀看人次修正為85（單位：十萬）（i）根據(jù)修正后的數(shù)據(jù)，請從①②③中選擇合適的模型，并求相應(yīng)的函數(shù)解析式；（ii）按上級規(guī)定，“優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”類視頻號當(dāng)年觀看人次超過200（單位：十萬），其運(yùn)營團(tuán)隊(duì)可被評為“優(yōu)秀文化傳播集體”榮譽(yù)稱號，根據(jù)（i）中所求函數(shù)模型，試估計(jì)該視頻號運(yùn)營團(tuán)隊(duì)最快到哪一年就能被評為“優(yōu)秀文化傳播集體”？（參考數(shù)據(jù)：，，.）【答案】（1）選擇模型①，，2028年（2）（i）選擇模型②，；（ii）2027年【解析】【分析】（1）選擇模型①，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出解析式，將代入求值即可下結(jié)論；（2）（i）選擇模型②，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（ii）由題意建立不等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可下結(jié)論.【小問1詳解】由題意，選擇模型①，將，分別代入①式可得：，解得，，所以，也滿足該式.當(dāng)時(shí)，，即按該模型預(yù)測，該視頻號2028年的觀看人次達(dá)到80.5（單位：十萬人），所以2028年該視頻號觀看人次能超過80（單位：十萬人）.【小問2詳解】（i）由題意，選擇模型②，將，分別代入②式可得：，解得，，所以，，均滿足該式.（ii）該視頻號觀看人次超過200（單位：十萬人），即不等式，所以，不等式兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得，，所以，即按（i）中求得的函數(shù)模型變化，估計(jì)最快到2027年，該視頻號運(yùn)營團(tuán)隊(duì)能被評為“優(yōu)秀文化傳播集體”.18.已知.（1）證明：；（2）若函數(shù)，當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過變形得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）首先求出，則得到方程組，轉(zhuǎn)化成是上兩個(gè)大于4的根，即上有兩個(gè)大于4的根，列出不等式組，解出即可.【小問1詳解】設(shè)，設(shè)，易得在上為增函數(shù)，則為增函數(shù)，而，即.【小問2詳解】由題意知：,，，解得或設(shè)，，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)在和上單調(diào)遞增，通過向左平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位即可得到，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在和的范圍內(nèi)各自單調(diào)遞減，而，且，故，因?yàn)槎x域?yàn)?，故，根?jù)在上單調(diào)遞減，，是方程上兩個(gè)大于4的根，上有兩個(gè)大于4的根，則有，.19.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①任意的，總有；②；③若，，，總有成立,則稱函數(shù)為理想函數(shù).（1）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，則；（2）證明：函數(shù)，是理想函數(shù)；（3）證明：若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得且，則.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)令分別代入題