2026復變函數(shù)極限計算考核試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復變函數(shù)極限計算考核試卷考核對象：數(shù)學專業(yè)本科二年級學生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-簡答題（3題，每題4分）總分12分-應用題（2題，每題9分）總分18分總分：100分一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導。2.極限lim(z→z?)f(z)的存在性取決于f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)的連續(xù)性。3.對于復變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)滿足Cauchy-Riemann方程，則f(z)一定解析。4.所有解析函數(shù)的實部和虛部都滿足Laplace方程。5.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)必然存在泰勒級數(shù)展開。6.對于復變函數(shù)的極限計算，ε-δ定義與實數(shù)中的ε-δ定義完全一致。7.若函數(shù)f(z)在閉區(qū)域上連續(xù)，則它在閉區(qū)域上必然有界。8.對于復變函數(shù)的積分，若路徑不封閉，則積分結果可能為零。9.所有解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則它在D內(nèi)不可能有極點。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個函數(shù)在z=0處解析？A.f(z)=|z|B.f(z)=z2C.f(z)=sin(z)D.f(z)=1/z2.函數(shù)f(z)=e^(1/z)在z=0處的奇點類型是？A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.駐點3.若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，且u(x,y)=x2-y2，則v(x,y)等于？A.2xyB.-2xyC.x2+y2D.-x2-y24.極限lim(z→0)sin(z)/z的值為？A.0B.1C.∞D.不存在5.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)的極點個數(shù)為？A.0B.1C.2D.36.若函數(shù)f(z)在z?處解析，且f(z?)=1，則f(z)在z?處的泰勒級數(shù)展開式中常數(shù)項為？A.0B.1C.f'(z?)D.無法確定7.對于復變函數(shù)的積分∫Cf(z)dz，若C為正向圓周|z|=1，則∫Ce^(z2)dz的值為？A.0B.2πiC.-2πiD.πi8.函數(shù)f(z)=ln(z)在z=0處的奇點類型是？A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.駐點9.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且滿足f(z)≠0，則f(z)在D內(nèi)？A.必有零點B.必無零點C.可能有零點D.無法確定10.對于復變函數(shù)的極限計算，下列哪個命題正確？A.若lim(z→z?)f(z)存在，則f(z)在z?處連續(xù)B.若f(z)在z?處連續(xù)，則lim(z→z?)f(z)存在C.若lim(z→z?)f(z)不存在，則f(z)在z?處不可導D.以上都不正確三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)在z=0處解析？A.f(z)=z3B.f(z)=1/(z2+1)C.f(z)=sin(z)D.f(z)=ln(z)2.Cauchy-Riemann方程成立的條件包括？A.u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)B.u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可偏導C.?u/?x=?v/?y且?u/?y=-?v/?xD.f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析3.下列哪些是復變函數(shù)的極點類型？A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.駐點4.對于復變函數(shù)的積分，下列哪些命題正確？A.若f(z)在封閉曲線C上解析，則∫Cf(z)dz=0B.若f(z)在封閉曲線C上連續(xù)，則∫Cf(z)dz=0C.若f(z)在封閉曲線C上解析且不為常數(shù)，則∫Cf(z)dz≠0D.若f(z)在封閉曲線C上存在奇點，則∫Cf(z)dz=05.泰勒級數(shù)展開式f(z)=∑a?(z-z?)?的收斂半徑R取決于？A.f(z)在z?處的解析性B.f(z)在z?去心鄰域內(nèi)的奇點分布C.f(z)在z?處的導數(shù)值D.z?的取值6.下列哪些函數(shù)在z=0處存在奇點？A.f(z)=1/zB.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=e^(1/z)D.f(z)=ln(z)7.復變函數(shù)的極限計算中，下列哪些命題正確？A.若lim(z→z?)f(z)存在，則lim(z→z?)Re(f(z))和lim(z→z?)Im(f(z))都存在B.若lim(z→z?)Re(f(z))和lim(z→z?)Im(f(z))都存在，則lim(z→z?)f(z)存在C.若lim(z→z?)f(z)存在，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)連續(xù)D.若f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)連續(xù)，則lim(z→z?)f(z)存在8.下列哪些函數(shù)滿足Laplace方程?2u=0？A.u(x,y)=x2-y2B.u(x,y)=e^xsin(y)C.u(x,y)=ln(x2+y2)D.u(x,y)=x2+y29.對于復變函數(shù)的積分，下列哪些命題正確？A.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則∫Cf(z)dz與路徑無關B.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則∫Cf(z)dz僅取決于曲線C的起點和終點C.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則∫Cf(z)dz=0（C為封閉曲線）D.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則∫Cf(z)dz=∫Cf(z)dz（C?和C?為同起點同終點的不同曲線）10.下列哪些是復變函數(shù)的基本積分公式？A.∫Czdz=C2/2（C為任意簡單閉曲線）B.∫Ce^zdz=e^z+CC.∫(1/z)dz=ln|z|+iarg(z)+CD.∫sin(z)dz=-cos(z)+C四、簡答題（每題4分，共12分）1.簡述Cauchy-Riemann方程的物理意義。2.解釋什么是解析函數(shù)的孤立奇點，并舉例說明三種奇點類型。3.說明如何通過復變函數(shù)的極限計算判斷函數(shù)在一點的連續(xù)性。五、應用題（每題9分，共18分）1.計算極限lim(z→0)(sin(z)-z)/z3，并說明計算過程。2.設函數(shù)f(z)=z2/(z2+1)，求其在z=0處的泰勒級數(shù)展開式，并說明收斂半徑。---標準答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導。2.×極限的存在性不依賴于連續(xù)性，但連續(xù)性隱含極限存在。3.√Cauchy-Riemann方程是解析性的必要條件。4.√解析函數(shù)的實部和虛部滿足Laplace方程。5.×解析函數(shù)在奇點鄰域內(nèi)可能不存在泰勒級數(shù)（如本性奇點）。6.×復變函數(shù)的ε-δ定義需考慮復平面上的距離。7.×連續(xù)性不隱含有界性（如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)）。8.√若路徑不封閉且f(z)解析，積分可能為零（如柯西積分定理）。9.√解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)。10.×解析函數(shù)可能存在極點（如1/z在z=0處有極點）。二、單選題1.B.f(z)=z2解析。2.C.本性奇點e^(1/z)在z=0處無極限形式。3.A.v(x,y)=2xy由Cauchy-Riemann方程?u/?x=?v/?y且?u/?y=-?v/?x得。4.B.1由洛必達法則或泰勒展開sin(z)/z≈z-z3/6+...→1。5.C.2極點在z=±i。6.B.1泰勒級數(shù)常數(shù)項為f(z?)。7.A.0e^(z2)在|z|=1上解析，積分為零。8.C.本性奇點ln(z)在z=0處無極限形式。9.C.可能有零點由解析函數(shù)的零點定理。10.A.若lim(z→z?)f(z)存在，則f(z)在z?處連續(xù)。三、多選題1.A,C.f(z)=z3和f(z)=sin(z)解析。2.A,B,C,D.Cauchy-Riemann方程成立需滿足這些條件。3.A,B,C.可去奇點、極點、本性奇點為孤立奇點類型。4.A,C,D.柯西積分定理及推論。5.A,B,D.泰勒級數(shù)收斂半徑由奇點距離決定。6.A,C,D.1/z,e^(1/z),ln(z)在z=0處有奇點。7.A,B.復變函數(shù)極限與實部虛部極限等價。8.A,B,D.x2-y2,e^xsin(y),x2+y2滿足Laplace方程。9.A,B,C,D.柯西積分定理及推論。10.B,C,D.e^z,1/z,sin(z)的積分公式。四、簡答題1.Cauchy-Riemann方程描述了復變函數(shù)的解析性，即實部虛部的偏導數(shù)關系，與流體力學中的不可壓縮流場或電磁學中的勢函數(shù)關系類似。2.孤立奇點是函數(shù)定義域內(nèi)除有限點外解析的點。類型：可去奇點（如1/z在z=0處）、極點（如1/z2在z=0處）、本性奇點（如e^(1/z)在z=0處）。3.通過計算極限lim(z→z?)f(z)是否等于f(z?)來判斷連續(xù)性。若存在且等于f(z?)，則連續(xù)；否則不連續(xù)。五、應用題