2026復(fù)變函數(shù)留數(shù)定理應(yīng)用試卷及答案考試時(shí)長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)留數(shù)定理應(yīng)用試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.留數(shù)定理適用于所有復(fù)平面上的封閉曲線積分。2.如果函數(shù)f(z)在z?處有孤立奇點(diǎn)，則它在z?處的留數(shù)等于它在z?處的洛朗展開式中-1/z項(xiàng)的系數(shù)。3.留數(shù)定理可以用來計(jì)算實(shí)軸上的定積分。4.如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上除z?和z?兩點(diǎn)外處處解析，則∮|f(z)|dz=0（沿封閉曲線）。5.留數(shù)定理只適用于單值函數(shù)。6.留數(shù)定理的證明依賴于柯西積分定理。7.如果函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?處的留數(shù)一定不為零。8.留數(shù)定理可以用來計(jì)算某些三角函數(shù)的積分。9.留數(shù)定理只適用于奇點(diǎn)為極點(diǎn)的情形。10.留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)軸上的廣義積分時(shí)，可以通過變換將積分轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的積分。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.2D.-22.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z^2-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.-1/2B.1/2C.-πiD.πi3.函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)在z=ii處的留數(shù)是（）。A.e^i/2B.-e^i/2C.e^-i/2D.-e^-i/24.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=∞處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.不存在5.函數(shù)f(z)=1/(z^3-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/3B.-1/3C.1/6D.-1/66.函數(shù)f(z)=z^2/(z^2+1)^2在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-17.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.iD.-i8.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/29.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=-i處的留數(shù)是（）。A.-iB.iC.1D.-110.函數(shù)f(z)=e^z/(z^2-1)在z=-1處的留數(shù)是（）。A.e^-1B.-e^-1C.e^1D.-e^1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)在z=0處有孤立奇點(diǎn)的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=z/(z^2+1)D.f(z)=1/z^22.留數(shù)定理可以用來計(jì)算下列哪些積分？（）A.∫_a^∞e^(-x^2)dxB.∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dxC.∫_0^(2π)1/(1+sin(x))dxD.∫_a^∞1/(x^2+1)dx3.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=0處的留數(shù)是（）。A.1B.0C.-1D.24.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=∞處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.不存在5.下列函數(shù)在z=1處有孤立奇點(diǎn)的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=z/(z-1)D.f(z)=1/(z^2-1)6.留數(shù)定理的適用條件包括（）。A.函數(shù)在封閉曲線內(nèi)部有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)B.函數(shù)在封閉曲線內(nèi)部解析C.函數(shù)在封閉曲線外部解析D.封閉曲線不經(jīng)過奇點(diǎn)7.函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)在z=ii處的留數(shù)是（）。A.e^i/2B.-e^i/2C.e^-i/2D.-e^-i/28.函數(shù)f(z)=1/(z^3-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/3B.-1/3C.1/6D.-1/69.下列積分可以用留數(shù)定理計(jì)算的是（）。A.∫_0^(2π)cos(x)/2dxB.∫_0^(2π)1/(1+cos(x))dxC.∫_0^(2π)sin(x)/2dxD.∫_0^(2π)1/(1-sin(x))dx10.留數(shù)定理的應(yīng)用包括（）。A.計(jì)算實(shí)軸上的廣義積分B.計(jì)算三角函數(shù)的積分C.計(jì)算指數(shù)函數(shù)的積分D.計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)的積分四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算積分∮_C(z^2+1)/(z-1)^2dz，其中C是圓周|z|=2。2.計(jì)算積分∮_C(e^z)/(z^2+1)dz，其中C是圓周|z|=3。3.計(jì)算積分∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dx，使用留數(shù)定理。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)軸上的廣義積分中的應(yīng)用，并舉例說明。2.論述留數(shù)定理的證明思路，并解釋其與柯西積分定理的關(guān)系。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（留數(shù)定理適用于封閉曲線內(nèi)部有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)的情形）2.√3.√（通過變換將實(shí)軸積分轉(zhuǎn)化為復(fù)平面積分）4.×（柯西積分定理要求函數(shù)在封閉曲線內(nèi)部解析）5.×（留數(shù)定理適用于多值函數(shù)，如對(duì)數(shù)函數(shù)）6.√7.×（本性奇點(diǎn)的留數(shù)可以是任意復(fù)數(shù)）8.√9.×（留數(shù)定理適用于孤立奇點(diǎn)，包括極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)）10.√二、單選題1.D（留數(shù)=-2）2.A（留數(shù)=-1/2）3.C（留數(shù)=e^-i/2）4.B（留數(shù)=-1）5.A（留數(shù)=1/3）6.A（留數(shù)=1/2）7.B（留數(shù)=-1）8.D（留數(shù)=-1/2）9.A（留數(shù)=-i）10.B（留數(shù)=-e^-1）三、多選題1.ABD2.BCD3.AD4.BC5.ABD6.ACD7.ABCD8.AB9.BD10.ABC四、案例分析1.解：函數(shù)f(z)=(z^2+1)/(z-1)^2在z=1處有二級(jí)極點(diǎn)，留數(shù)計(jì)算：Res(f,1)=lim_(z→1)d/dz[(z-1)^2(z^2+1)/(z-1)^2]=lim_(z→1)d/dz(z^2+1)=2z|_(z=1)=2.積分結(jié)果：∮_C(z^2+1)/(z-1)^2dz=2πi2=4πi.2.解：函數(shù)f(z)=(e^z)/(z^2+1)在z=±i處有簡單極點(diǎn)，留數(shù)計(jì)算：Res(f,i)=(e^i)/(2i)=e^i/(2i),Res(f,-i)=(e^-i)/(-2i)=-e^-i/(2i).積分結(jié)果：∮_C(e^z)/(z^2+1)dz=2πi(e^i/(2i)-e^-i/(2i))=2πi(sin(1)/i)=2πsin(1).3.解：令z=e^(ix)，則dz=ie^(ix)dx，積分變?yōu)椋骸觃C(1+cos(x))/2dx=∮_C(1+Re(z))/2(dz/(iz))=∮_C(1+z)/2(dz/(iz)).函數(shù)g(z)=(1+z)/(2iz)在z=0處有簡單極點(diǎn)，留數(shù)計(jì)算：Res(g,0)=(1+0)/(2i)=1/(2i).積分結(jié)果：∫_0^(2π)(1+cos(x))/2dx=2πi(1/(2i))=π.五、論述題1.解：留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)軸上的廣義積分，通過將積分轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的積分。例如，計(jì)算∫_0^(∞)e^(-x^2)dx，令f(z)=e^(-z^2)，沿實(shí)軸對(duì)稱的封閉曲線C，積分結(jié)果為：∮_Ce^(-z^2)dz=2πiRes(f,0)=2πi1=2πi.由于沿虛軸的積分