2026復(fù)變函數(shù)留數(shù)計算技巧試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)留數(shù)計算技巧試卷及答案考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、考研備考學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.留數(shù)定理適用于任何封閉曲線上的積分計算。2.如果函數(shù)在擴充復(fù)平面上除有限個孤立奇點外處處解析，則其積分值為零。3.留數(shù)唯一確定于孤立奇點的階數(shù)。4.積分路徑的繞行方向不影響留數(shù)的計算結(jié)果。5.留數(shù)定理可以用于計算實變函數(shù)的定積分。6.所有極點都是孤立奇點。7.留數(shù)計算中，可去奇點對積分無貢獻。8.留數(shù)定理僅適用于單連通區(qū)域。9.留數(shù)可以通過洛朗展開式中的系數(shù)直接確定。10.留數(shù)定理可以推廣到多連通區(qū)域。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=(z^2-1)/(z-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.-12.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.2D.-23.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.π4.函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-15.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.1/2iB.-1/2iC.1D.-16.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^3在z=1處的留數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.-17.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.π8.函數(shù)f(z)=z/(z^2-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-19.函數(shù)f(z)=1/(z-2)^2在z=2處的留數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.-110.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在z=1處的留數(shù)是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/2三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)在z=0處有孤立奇點的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=sin(z)/zD.f(z)=1/(z-1)^22.留數(shù)定理可以用于計算以下哪些積分？（）A.∮_C(z^2+1)/(z-1)dz，C為|z|=1B.∮_Ce^z/(z-1)dz，C為|z|=2C.∮_C1/(z^2+1)dz，C為|z|=1D.∮_Cz/(z-1)dz，C為|z|=23.下列函數(shù)在z=1處有極點的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=(z^2-1)/(z-1)D.f(z)=z/(z-1)^24.留數(shù)的計算方法包括（）。A.洛朗展開法B.洛必達法則C.直接代入法D.留數(shù)定理法5.下列函數(shù)在z=0處有可去奇點的是（）。A.f(z)=sin(z)/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=1/z^2D.f(z)=1/(z-1)6.留數(shù)定理的應(yīng)用包括（）。A.計算實變函數(shù)的積分B.計算復(fù)變函數(shù)的積分C.研究函數(shù)的零點分布D.研究函數(shù)的極點分布7.下列函數(shù)在z=1處有極點的是（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=(z^2-1)/(z-1)D.f(z)=z/(z-1)^28.留數(shù)的計算公式包括（）。A.m階極點留數(shù)公式B.一階極點留數(shù)公式C.可去奇點留數(shù)公式D.極點留數(shù)公式9.下列函數(shù)在z=0處有孤立奇點的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=z/(z^2+1)C.f(z)=sin(z)/zD.f(z)=1/(z-1)^210.留數(shù)定理的適用條件包括（）。A.函數(shù)在封閉曲線上解析B.函數(shù)在封閉曲線內(nèi)部有有限個孤立奇點C.積分路徑為簡單閉曲線D.函數(shù)在封閉曲線外部解析四、案例分析（每題6分，共18分）1.計算積分∮_C(z^2+1)/(z-1)dz，其中C為|z|=2。2.計算積分∮_Ce^z/(z^2+1)dz，其中C為|z|=2。3.計算積分∮_Cz/(z^2+1)dz，其中C為|z|=1。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述留數(shù)定理在復(fù)變函數(shù)中的重要性及其應(yīng)用場景。2.比較不同類型孤立奇點（可去奇點、極點、本性奇點）的留數(shù)計算方法。---標準答案及解析一、判斷題1.×（留數(shù)定理適用于單連通區(qū)域，繞行方向影響積分結(jié)果）2.×（積分值不為零，需考慮奇點留數(shù)）3.×（留數(shù)與奇點階數(shù)無關(guān)）4.×（繞行方向影響積分結(jié)果）5.√（留數(shù)定理可轉(zhuǎn)化為實積分計算）6.×（孤立奇點不一定是極點）7.√（可去奇點留數(shù)為零）8.×（留數(shù)定理適用于多連通區(qū)域）9.√（洛朗展開系數(shù)對應(yīng)留數(shù)）10.√（留數(shù)定理可推廣至多連通區(qū)域）二、單選題1.B2.D3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.A10.D三、多選題1.A,B,D2.A,B,C3.A,B,C,D4.A,C,D5.A,B6.A,B,D7.A,B,C,D8.A,B,C,D9.A,B,D10.B,C,D四、案例分析1.解：f(z)=(z^2+1)/(z-1)在z=1處有一階極點，留數(shù)Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)f(z)=lim_(z→1)(z^2+1)=2，積分=2πi×2=4πi。2.解：f(z)=e^z/(z^2+1)在z=±i處有一階極點，Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)f(z)=lim_(z→i)e^z/(z+i)=e^i/(2i)，Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)f(z)=lim_(z→-i)e^z/(z-i)=e^-i/(-2i)，積分=2πi(e^i/(2i)-e^-i/(-2i))=2πi×sin(1)。3.解：f(z)=z/(z^2+1)在z=±i處有一階極點，Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)f(z)=lim_(z→i)z/(z+i)=i/(2i)=1/2，Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)f(z)=lim_(z→-i)z/(z-i)=-i/(-2i)=1/2，積分=2πi(1/2-1/2)=0。五、論述題1.留數(shù)定理的重要性：-可簡化復(fù)積