2026復(fù)變函數(shù)洛朗級數(shù)應(yīng)用試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)洛朗級數(shù)應(yīng)用試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.洛朗級數(shù)在復(fù)平面上的收斂域一定是圓環(huán)。2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)的洛朗級數(shù)展開式是唯一的。3.洛朗級數(shù)展開式中的負冪項反映了函數(shù)在奇點附近的漸近行為。4.洛朗級數(shù)展開式只能用于解析函數(shù)的奇點展開。5.洛朗級數(shù)的系數(shù)可以通過Cauchy積分公式計算。6.洛朗級數(shù)展開式中的正冪項與函數(shù)在無窮遠點附近的性質(zhì)無關(guān)。7.洛朗級數(shù)展開式可以用于計算某些積分的值。8.洛朗級數(shù)展開式中的常數(shù)項等于函數(shù)在展開中心點的值。9.洛朗級數(shù)展開式可以用于研究函數(shù)的孤立奇點類型。10.洛朗級數(shù)展開式不能用于非解析函數(shù)的展開。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=(z^2-1)/(z-1)在z=1處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1+z+z^2+...B.-1-z-z^2-...C.1-z+z^2-...D.-1+z-z^2+...2.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1+z+z^2+...B.-1-z-z^2-...C.1-z+z^2-...D.-1+z-z^2+...3.函數(shù)f(z)=1/(z^2+1)在z=i處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.e^(-z)+e^(-2z)+...B.e^(z)+e^(2z)+...C.e^(-z)-e^(-2z)+...D.e^(z)-e^(2z)+...4.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=1處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1/1+1/3+1/5+...B.-1/1-1/3-1/5-...C.1/1-1/3+1/5-...D.-1/1+1/3-1/5+...5.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=0處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.0+z-z^3+z^5-...B.0-z+z^3-z^5+...C.0+z+z^3+z^5+...D.0-z-z^3-z^5-...6.函數(shù)f(z)=e^z/(z+1)在z=-1處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.e^(-1)+e^(-2)+...B.e^(-1)-e^(-2)+...C.e^(-1)+e^(-1/2)+...D.e^(-1)-e^(-1/2)+...7.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.cos(π)+sin(π)z+...B.-cos(π)-sin(π)z+...C.cos(π)-sin(π)z+...D.-cos(π)+sin(π)z+...8.函數(shù)f(z)=1/(z^2-1)在z=1處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1/2-1/4z+1/8z^2-...B.1/2+1/4z-1/8z^2+...C.1/2-1/4z-1/8z^2-...D.1/2+1/4z+1/8z^2+...9.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)^2)在z=0處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1+z+z^2+...B.1-z+z^2-...C.1+2z+3z^2+...D.1-2z+3z^2-...10.函數(shù)f(z)=1/(z^2+z)在z=0處的洛朗級數(shù)展開式是（）。A.1-z+z^2-...B.1+z-z^2+...C.1-2z+3z^2-...D.1+2z-3z^2+...三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些函數(shù)可以在z=0處展開為洛朗級數(shù)？（）A.f(z)=1/(z^2+1)B.f(z)=1/(z-1)C.f(z)=z/(z^2+1)D.f(z)=1/(z^2-1)2.洛朗級數(shù)展開式的收斂域一定是（）。A.單圓環(huán)B.環(huán)形區(qū)域C.球形區(qū)域D.線性區(qū)域3.下列哪些是洛朗級數(shù)展開式的應(yīng)用？（）A.計算積分B.研究函數(shù)的奇點C.解微分方程D.計算極限4.洛朗級數(shù)展開式中的負冪項可以用來（）。A.表示函數(shù)在奇點附近的漸近行為B.表示函數(shù)在解析點附近的局部性質(zhì)C.表示函數(shù)在無窮遠點附近的性質(zhì)D.表示函數(shù)在原點附近的性質(zhì)5.下列哪些函數(shù)可以在z=1處展開為洛朗級數(shù)？（）A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=1/(z^2-1)C.f(z)=z/(z-1)D.f(z)=1/(z+1)6.洛朗級數(shù)展開式的系數(shù)可以通過（）。A.Cauchy積分公式計算B.泰勒級數(shù)展開式轉(zhuǎn)換C.長除法計算D.比較系數(shù)法計算7.下列哪些是洛朗級數(shù)展開式的性質(zhì)？（）A.唯一性B.收斂域的對稱性C.可疊加性D.可微性8.洛朗級數(shù)展開式可以用來研究（）。A.函數(shù)的孤立奇點B.函數(shù)的可積性C.函數(shù)的可微性D.函數(shù)的連續(xù)性9.下列哪些函數(shù)可以在z=-1處展開為洛朗級數(shù)？（）A.f(z)=1/(z+1)B.f(z)=1/(z^2+1)C.f(z)=z/(z+1)D.f(z)=1/(z-1)10.洛朗級數(shù)展開式中的正冪項可以用來（）。A.表示函數(shù)在解析點附近的局部性質(zhì)B.表示函數(shù)在奇點附近的漸近行為C.表示函數(shù)在無窮遠點附近的性質(zhì)D.表示函數(shù)在原點附近的性質(zhì)四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在z=0處的洛朗級數(shù)展開式是什么？并說明其收斂域。2.函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)在z=i處的洛朗級數(shù)展開式是什么？并說明其收斂域。3.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗級數(shù)展開式是什么？并說明其收斂域。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述洛朗級數(shù)在復(fù)變函數(shù)研究中的重要性，并舉例說明其應(yīng)用。2.論述洛朗級數(shù)展開式的收斂域如何確定，并舉例說明不同類型函數(shù)的收斂域特點。---標準答案及解析一、判斷題1.×洛朗級數(shù)的收斂域是圓環(huán)或圓環(huán)的外部/內(nèi)部，不一定是圓環(huán)。2.√解析函數(shù)的洛朗級數(shù)展開式是唯一的。3.√負冪項反映了函數(shù)在奇點附近的漸近行為。4.×洛朗級數(shù)展開式可以用于解析函數(shù)的解析區(qū)域，不限于奇點。5.√洛朗級數(shù)的系數(shù)可以通過Cauchy積分公式計算。6.×正冪項反映了函數(shù)在無窮遠點附近的性質(zhì)。7.√洛朗級數(shù)可以用于計算某些積分的值，如留數(shù)定理的應(yīng)用。8.√洛朗級數(shù)展開式中的常數(shù)項等于函數(shù)在展開中心點的值。9.√洛朗級數(shù)可以用于研究函數(shù)的孤立奇點類型。10.×洛朗級數(shù)展開式可以用于非解析函數(shù)的展開，如通過展開式研究函數(shù)的奇點。二、單選題1.C1/(z-1)=1/z-1/z^2+1/z^3-...2.A1/(z(z-1))=1/z+1-z+z^2-...3.A1/(z^2+1)=e^(-z)+e^(-2z)+...在z=i處展開。4.D-1/(z-2)=-1/1+1/3-1/5+...5.Az/(z^2+1)=0+z-z^3+z^5-...6.Be^(-1)/(z+1)=e^(-1)-e^(-2)+...7.Asin(π)/(z-π)=cos(π)+sin(π)z+...8.A1/(z^2-1)=1/2-1/4z+1/8z^2-...9.D1/(z(z-1)^2)=1+2z-3z^2+...10.B1/(z^2+z)=1+z-z^2+...三、多選題1.ABCD均可在z=0處展開為洛朗級數(shù)。2.AB洛朗級數(shù)的收斂域是環(huán)形區(qū)域。3.AB洛朗級數(shù)可用于計算積分和研究奇點。4.AC負冪項反映漸近行為和無窮遠點性質(zhì)。5.ABC均可在z=1處展開為洛朗級數(shù)。6.AD通過Cauchy積分公式和比較系數(shù)法計算。7.AC洛朗級數(shù)具有唯一性和可疊加性。8.AB可用于研究孤立奇點和可積性。9.ABC均可在z=-1處展開為洛朗級數(shù)。10.AC正冪項反映無窮遠點性質(zhì)。四、案例分析1.解：f(z)=1/(z(z-1)(z-2))=1/z-1/z^2+1/z^3-...收斂域：0<|z|<2。2.解：f(z)=e^z/(z^2+1)=e^z/(z-i)(z+i)=e^i/(z-i)-e^(-i)/(z+i)在z=i處展開：e^i/(z-i)=e^i(1+(z-i)+(z-i)^2+...)收斂域：|z-i|<1。3.解：f(z)=sin(z)/(z-π)=sin(π)/(z-π)+sin(π)z+...在z=π處展開：sin(π)/(z-π)=cos(π)+sin(π)(z-π)+...收斂域：|z-π|<1。五、論述題1.洛朗級數(shù)在復(fù)變函數(shù)研究中的重要性：-洛朗級數(shù)是研究復(fù)變函數(shù)奇點性質(zhì)的重要工具，通過展開式可以分析函數(shù)在奇點附近的漸近行為。-洛朗級數(shù)可以用于計算某些積分，如留數(shù)定理的應(yīng)用。-洛朗級數(shù)可以用于研究函數(shù)的解析性和可微性。舉例：函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0和z=1處有奇點，通過洛朗級數(shù)展