2026復(fù)變函數(shù)洛朗展開考核試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)洛朗展開考核試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.洛朗展開式中的主要部分和解析部分分別對應(yīng)函數(shù)在環(huán)域內(nèi)的解析性和奇異性。2.如果函數(shù)在某個圓環(huán)內(nèi)解析，則該函數(shù)在該圓環(huán)內(nèi)可以展開為洛朗級數(shù)。3.洛朗展開式中的負(fù)冪項僅出現(xiàn)在解析部分的展開式中。4.函數(shù)f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)可以展開為洛朗級數(shù)。5.洛朗展開式的收斂半徑由函數(shù)的極點決定。6.洛朗級數(shù)的收斂域是一個圓環(huán)，且可能包含邊界。7.函數(shù)f(z)在z?處的洛朗展開式唯一。8.洛朗展開式可以用于計算某些積分，如留數(shù)定理的應(yīng)用。9.如果函數(shù)在某個區(qū)域內(nèi)解析，則其洛朗展開式中的負(fù)冪項數(shù)為零。10.洛朗展開式僅適用于單變量復(fù)變函數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=(z2-1)/(z-2)在z=2處的洛朗展開式的收斂域是（）。A.|z-2|<1B.|z-2|>1C.0<|z-2|<1D.|z-2|=12.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞z^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^nz^nC.∑_{n=1}^∞z^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^nz^n3.函數(shù)f(z)=e^z/(z2+1)在z=i處的洛朗展開式的收斂域是（）。A.|z-i|<1B.|z-i|>1C.0<|z-i|<1D.|z-i|=14.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^2在z=1處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-1)^nC.∑_{n=1}^∞(z-1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-1)^n5.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-π)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-π)^{-n}C.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-π)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-π)^{-n}6.函數(shù)f(z)=1/(z+1)^3在z=-1處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(z+1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z+1)^nC.∑_{n=1}^∞(z+1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z+1)^n7.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-1)^nC.∑_{n=1}^∞(z-1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-1)^n8.函數(shù)f(z)=1/(z-2)^2在z=2處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-2)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^nC.∑_{n=1}^∞(z-2)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-2)^n9.函數(shù)f(z)=e^z/(z+1)在z=-1處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z+1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z+1)^{-n}C.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z+1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z+1)^{-n}10.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-2)在z=2處的洛朗展開式的解析部分是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-2)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-2)^nC.∑_{n=1}^∞(z-2)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-2)^n三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處可以展開為洛朗級數(shù)的是（）。A.f(z)=1/(z2+1)B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=e^z/(z+1)D.f(z)=sin(z)/(z-π)2.洛朗展開式的收斂域可以是（）。A.單點B.圓環(huán)C.球面D.半平面3.下列關(guān)于洛朗展開式的說法中，正確的是（）。A.洛朗展開式是泰勒級數(shù)的推廣B.洛朗展開式僅適用于解析函數(shù)C.洛朗展開式可以包含正冪項和負(fù)冪項D.洛朗展開式的收斂域由函數(shù)的極點決定4.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z-2)在z=1處的洛朗展開式的形式可以是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-1)^nC.∑_{n=1}^∞(z-1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-1)^n5.下列函數(shù)中，在z=0處解析的是（）。A.f(z)=1/zB.f(z)=e^zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=1/(z2+1)6.洛朗展開式可以用于計算（）。A.留數(shù)B.積分C.微分D.泰勒級數(shù)7.函數(shù)f(z)=1/(z-1)^3在z=1處的洛朗展開式的形式可以是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-1)^nC.∑_{n=1}^∞(z-1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-1)^n8.下列關(guān)于洛朗展開式的說法中，錯誤的是（）。A.洛朗展開式可以包含負(fù)冪項B.洛朗展開式僅適用于單變量函數(shù)C.洛朗展開式的收斂域是一個圓環(huán)D.洛朗展開式可以用于計算某些積分9.函數(shù)f(z)=e^z/(z2-1)在z=1處的洛朗展開式的形式可以是（）。A.∑_{n=0}^∞(z-1)^nB.∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-1)^nC.∑_{n=1}^∞(z-1)^nD.∑_{n=1}^∞(-1)^n(z-1)^n10.下列函數(shù)中，在z=0處可以展開為洛朗級數(shù)的是（）。A.f(z)=1/(z+1)^2B.f(z)=1/(z-1)^2C.f(z)=e^z/(z+1)D.f(z)=sin(z)/(z-π)四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z-2)，求其在z=1處的洛朗展開式，并確定其收斂域。2.函數(shù)f(z)=e^z/(z+1)，求其在z=-1處的洛朗展開式，并確定其收斂域。3.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)，求其在z=π處的洛朗展開式，并確定其收斂域。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述洛朗展開式在復(fù)變函數(shù)中的重要性，并舉例說明其應(yīng)用。2.比較洛朗展開式與泰勒展開式的異同，并說明在什么情況下使用洛朗展開式更為合適。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√解析：1.洛朗展開式將函數(shù)分為主要部分（解析部分）和解析部分，分別對應(yīng)函數(shù)的解析性和奇異性。3.負(fù)冪項僅出現(xiàn)在解析部分，正冪項僅出現(xiàn)在主要部分。9.如果函數(shù)在某個區(qū)域內(nèi)解析，則其洛朗展開式中沒有負(fù)冪項。二、單選題1.C2.B3.C4.A5.D6.A7.B8.A9.D10.B解析：1.函數(shù)f(z)=(z2-1)/(z-2)在z=2處的洛朗展開式的收斂域為0<|z-2|<1。5.函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗展開式的解析部分為∑_{n=0}^∞(-1)^n(z-π)^{-n}。三、多選題1.A,B,C,D2.B,D3.A,C,D4.B,D5.B,C,D6.A,B7.A,D8.B,C9.A,C10.A,B,C,D解析：1.所有選項中的函數(shù)在z=0處均可展開為洛朗級數(shù)。6.洛朗展開式主要用于計算留數(shù)和某些積分。四、案例分析1.解：f(z)=1/(z-1)(z-2)=1/(z-2)-1/(z-1)在z=1處展開：1/(z-2)=-1/(2-z)=-1/21/(1-(z-1))=-1/2∑_{n=0}^∞(z-1)^n1/(z-1)=∑_{n=0}^∞(z-1)^n所以：f(z)=-1/2∑_{n=0}^∞(z-1)^n-∑_{n=0}^∞(z-1)^n=-3/2∑_{n=0}^∞(z-1)^n收斂域：0<|z-1|<1。2.解：f(z)=e^z/(z+1)=e^z/(1+z)=e^z1/(1-(-z))=e^z∑_{n=0}^∞(-z)^n在z=-1處展開：e^z=e^{-1}e^{z+1}=e^{-1}∑_{n=0}^∞(z+1)^n/n!所以：f(z)=e^{-1}∑_{n=0}^∞(z+1)^n/n!∑_{m=0}^∞(-1)^m(z+1)^m=e^{-1}∑_{n=0}^∞∑_{m=0}^∞(-1)^m(z+1)^{n+m}/n!收斂域：|z+1|<1。3.解：f(z)=sin(z)/(z-π)=sin(z)1/(z-π)=sin(π+(z-π))1/(z-π)=sin(π)cos(z-π)+cos(π)sin(z-π)1/(z-π)=sin(z-π)/(z-π)=(z-π)/(z-π)=1在z=π處展開：sin(z)=sin(π+(z-π))=sin(π)cos(z-π)+cos(π)sin(z-π)=sin(z-π)所以：f(z)=sin(z-π)/(z-π)=1+(z-π)^2/6+O((z-π)^4)收斂域：0<|z-π|<1。五、論述題1.洛朗展開式在復(fù)變函數(shù)中的重要性體現(xiàn)在：-它可以將函數(shù)在環(huán)域內(nèi)展開為級數(shù)，便于研究函數(shù)的奇點和解析性。-它是留數(shù)定理的基礎(chǔ)，可用于計算某些積分。-它擴(kuò)展了泰勒級