【沖鋒號(hào)?考場(chǎng)模擬】高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷03卷（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.（陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）記集合

M>21,TV=|x|y=In（x2-,則McN=（）

A.{x|2<x<3}B.{x|x>3或rv-2}C.1x|0<x<2}D.{x|-2<x<3}

【答案】B

【分析】先解不等式確定集合M,N,然后再根據(jù)交集的定義求其交集即可.

【詳解】區(qū)>2,「.工>2或1<一2,

所以集合例={x\x>2或rv-2},

={.v|x2-3x>01={X|X<0SKX>3},

所以用門"={/,>3或1<-2}.

故選：B.

2.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足邑現(xiàn)=1-2"其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

z

1010.

A.-----B.------1C.2iD.2

33

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z即可求得虛部.

【詳解】由已知豈叫=>2i,故5=（l-2i）z=z=W=l+2i,

z1—21

故z的虛部是2.

故答案為：D

3.（2022?天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)"”=2$出上"+#），。>0,。<。<|^的

圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為/（。）=枕，貝"（力=（）

A.Vising2x+-jB.2sin（2x+?

C.V5sin（4x+?D.2sin（4x+?）

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為I,求出周期，算出”的值，再根據(jù)/（0）=&求出。的值，

即可得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（司=2m（8+。）（。>0,0</<三）的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為1,所以

T=-x2=7r,所以/=生=包=2,所以/（x）=2sin（2x+°）：

2T7U

又因?yàn)?（0）=&，所以八O）=2sin0=&,解得sine=1,

因?yàn)?<夕節(jié)，所以夕=?,所以/（x）=2sin（2x+5）.

故選：B.

4.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））下列各式大小比較中，其中正確的是（）

A.幣—由>由-乖>B.tansin；C.21n3<31n2D.心。1<|If

515J號(hào)2[2）

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)，三角函數(shù)和指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】（77+6）2=10+2后〈（石+石了=10+2后，0x/7+T3<x/5+x/5,即將一逐<逐一百，選項(xiàng)

A錯(cuò)誤；

L

.?0<cos-<l,則一三，得sin（三）=sinS<—=tan^,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

5COS555325

5

21r）3=ln9>In8=31n2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

5

iog|-=log52<log5^=-,^|>^=1,團(tuán)]選項(xiàng)D正確.

故選：D

5.（2022?河南?民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線￡-1=1（。>0力>0）的離心率為典，右

arb~2

焦點(diǎn)為廣，直線《4均過點(diǎn)尸且互相垂直，4與雙曲線的右支交于AC兩點(diǎn)，6與雙曲線的左支交于“點(diǎn)，

\FC\

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)A三點(diǎn)共線時(shí)，品=（）

\AF\

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求解可得.

【詳解】設(shè)雙曲線另焦點(diǎn)為廣，連接Ak,CP,5產(chǎn)，如圖，

因?yàn)锳。,8三點(diǎn)共線，《1（

所以由雙曲線的對(duì)稱性知，四邊形4所9為矩形，

設(shè)|4萬|=若|尸C|=a,貝lJ|A尸'|=2a+x,icr|=2a+tx,

在R，Z\AF7中,lArp+IAFlM^FI2,即（2a+4+f=4/,

又eM,解得工=?；?=一初：舍去），

2

在KfZXAP'C中，|A尸『+|ACT=C'f'『，gp（2a+a）2+（a+taf=（2a+ta）2,

\FC\

解得f=3,即a=3.

\AF\

故選：B

6.（2022?湖南?高二期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在西子湖畔--杭州召開，為了辦好這一屆“中國特色、浙江風(fēng)

采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽會(huì)志愿者招募，在杭大學(xué)生紛紛

踴躍參加.現(xiàn)有4名大學(xué)生志愿者，通過培訓(xùn)后，擬安排在游泳、籃球、體操三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行忐愿者服務(wù)，假

設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，在甲被安排到游泳項(xiàng)目的條件下，

乙也被安排到游泳項(xiàng)目的概率為（）

1112

A.—B.-C.-D.-

12649

【答案】B

【分析】利用條件概率的公式直接求解即可.

【詳解】記“甲被安排到游泳項(xiàng)目"為事件A,記"乙也被安排到游泳項(xiàng)目〃為事件8,

甲被安排到游泳項(xiàng)目分為兩類，甲一人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A；,

兩人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A；,

故種數(shù)為C；A；+C；A；=12,

甲乙被同時(shí)安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為A；=2,

所求概率為P（,B.M）、=木n（AB\廣/A胡：飛1

故選：D.

【答案】B

【解析】設(shè)底面圓的半徑為JOS”,以￡5所在直線為X軸，以垂直于方B所在直線為y軸,以O(shè)S所在直線

為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角N-QA-8與M-A8-B夾角的余

弦值.結(jié)合即可求得8的取值范圍，即可得夕的最大值.

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為「,0S=〃,以夕5所在直線為x軸，以垂直于用3所在直線為丁軸，以O(shè)S所在直線

為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則由ZAOB=6(0<0<7r)

可得0(0,0,0),B(r,0,0),5(0,0,6/),A(rcos0,rsin0,0),B'(T,0,0)

M.N是S8的兩個(gè)三等分點(diǎn)

則陪，吟｝'仔局

所以O(shè)A=(rcos6,rsine,0),ON=|日,。,三)

設(shè)平面NOA的法向量為帆=(內(nèi),y,zj

(xyz)-(rcos<9,rsin<7,0)=0

in?QA=0rp(

則，代入可得

m-ON=0,0,=o

xjcos6+yrsin6=0

化簡(jiǎn)可得，2xraz.

--+—L=0

33

Ai皿/□cosO2r

令X‘解得H"高萬=

cos。_2r}

所以加=

，sin0'a)

平面OAB的法向量為〃=（0,0,1）

由圖可知，二面角N-04-A的平面角。為銳二面角，所以二面角N-OA-A的平面角a滿足

cosa=

,cos204r2

1+-+^-

sin2^a

設(shè)二面角M-49-4的法向量為k=（孫、2,Z2）

B'4=(r+rcos0,rsin。,。)，4M=|j-rcos-rsin

(x,y,z)(r+rcos^,rsin^0)=0

::窘代人可得222

則

(x,y,z)---rcosa-rsin6,—=0

22233；

x2r+x2rcos^+y2rsin^=0

化簡(jiǎn)可得

號(hào)-x2rcos0-y2rsin6+=。

..--l-cos/72r

令石=1,解得九二F^，Z2=一T

.(.-1-cos^

平面AB'B的法向量為力二（0,0,1）

由圖可知，二面角的平面角”為銳二面角，所以二面角M-AZ-4的平面角2滿足

2r

kha

-1-cos。

麗一1+

sin。I”tr

由二面角的范圍可知幾

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知8SQNCOS/?

_2r_2r

a、a

i；U［=■>—］:

Vsm0aY（sin。Ja2

化簡(jiǎn)可得cosOK-g,且0<。<乃

所以0<0嚀

所以0的最大值是告

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得平

面的法向量，即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜，屬于難題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.（2022?江蘇?南京師大附中高二期中）為迎接黨的二十大勝利召開，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)全校參

賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成5

組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，卜.列說法正確的是（）

B.得分在區(qū)間［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200

C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績的中位數(shù)大于80

D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績的平均數(shù)落在區(qū)間［70,80）內(nèi)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)直接計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A,由頻率分布直方圖性質(zhì)得：（4+0.02+0.035+0.025+4）x10=1,解得，故A正確:

對(duì)于B,由頻率分布直方圖得：成績落在區(qū)間［60,70）的頻率為0.2,所以人數(shù)為0.2x1000=200,故B正確:

對(duì)于C,由頻率分布直方圖得：［50,70）的頻率為（0.01+0.02）x10=0.3,［70,80）的頻率為0.035x10=0.35,

所以成名責(zé)的中位數(shù)位于區(qū)間［70,80）內(nèi)，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,估計(jì)成績的平均數(shù)為：

J=55x0.01x10+65x0.02x104-75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5,所以成績的平均數(shù)落在

區(qū)間［70,80)內(nèi)，故D正確.

故選：ABD.

10.(2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高二期中)如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示

的六面體，其中四邊形AOE"和BCFG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，

AB=BG=3,FC=4,BCT,下列說法不正確的是()

A.該幾何體是四棱臺(tái)

B.該幾何體是棱柱，平面A8C。是底面

C.EG1HC

D.平面EFG”與平面A8CO的夾角為45。

【答案】ABC

【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛DE"和8CFG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，

所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面AOEH和平面4cFG是底面，故A,B錯(cuò)誤；

由題意可知DA,DC.DE兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,4),G(l,3,3),C(0,3,0),”(l,0,3),EG=(l,3,—l),C"=(l,—3,3),

則EGCH=1-9-3=-11w0，所以EG,"C不垂直，故C錯(cuò)誤：

根據(jù)題意可知平面A8C。，所以。E=(0,0,4)為平面A8CD的?個(gè)法向量，

EH=(1,O,-1),//G=(0,3,0),

設(shè)〃=(x,y,z)為平面EFGH的法向量,

n?EH=x-z=0,

則有則可取〃=(1,0,1),

n-HG=3y=(),

n-DE4V2

則cos(〃,DE)=

-2

所以平面EFG”與平面ABC。的夾角為45。，故D正確.

故選；ABC

11.(2022?湖北?恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓a：(x-cos6)2+()，-sine)2=l,則下列

結(jié)論正確的是()

A.圓。恒過原點(diǎn)O

B.圓。與圓/+)，=4外切

C.直線x+)，=呼被圓Q所截得弦長的最大值為G

D.直線Acosa+.ysina=0與圓。相切或相交

【答案】ACD

【分析】A.代入點(diǎn)(0,0)可判斷；B.計(jì)算圓心距離與半徑差的大小關(guān)系；C.利用垂徑定理求弦長然后求最值;

D.求圓心到直線的距離來判斷.

【詳解】對(duì)于A：代入點(diǎn)(0,0)得(-94+㈠而。)、1恒成立，A正確；

對(duì)于B：Vcos*2^+sin2^=|l-2|,即兩圓心距離等于兩圓半徑差.兩圓內(nèi)切，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：直線x+)，=土區(qū)被圓G所截得弦長為

?八八3五

sin。+cos。-----sin0+cos0-

1-^--------------------

22=2'

~12~2

sine+cose=\Z5sin[e+：]e『&,5/^],

sin6?+cos<9--0-啜

2

.??2^1--心K2y八_____?

2~~2~

即直線x+y=半被圓。所截得弦長的最大值為6,C正確;

|cos^cosa+sinOsina]

對(duì)于D：圓心到直線的距離=|cos(^-a)|<l,故圓和直線相切或相交,D正確;

Vcos2a+sin2a

故選：ACD.

12.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛4｝滿足%=28,q=[21）”+〃卜,1（〃22）,

〃eN"

數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2=1%3“+2,4〃7）-1。殳3〃"%），則下列說法正確的是（）

A.%=21

a2

B.=16

C.數(shù)列]絮J為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

D.滿足不等式3-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

【答案】ABD

【分析】由%=28和遞推公式凡=8fq=2,久=168玲A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確；

4=12臼+〃卜,“（〃？2”幺=2（川"+〃今上"=2（臼"+2〃=2〃+2為單調(diào)遞增的等差數(shù)列fC選項(xiàng)不正

aa

L」n-\2n-\

確；

b?=log,-^S?=log,塔>5玲〃>62-^D選項(xiàng)正確

【詳解】因?yàn)椤?=28,所以%=2（可./+3%=28,所以生=8,

則4=2（F〔4+2q=8，解得4=2,

〃4=2（叫'?％+4%=168,所以包=21,4-勺=16,所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確;

%

因?yàn)?=12(-°"+〃]%(〃之2),所以區(qū)=2(少+〃(〃之2),

L」an-\

所以(〃

=27"+2=2/2+2,又〃eN’，

a2n-\

所以上J=2〃+2-2〃=2,〃eN

a2n-\a2n-3

所以^為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,

.。2"-1.

則數(shù)列&L±不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以C選項(xiàng)不正確；

'>=2(-產(chǎn)+2〃+2=2〃+4,

“2/1

a

則b"=log2(a2n+2?)-log?(2n?。2”+J=log2&"必H=log?卑，

ci3?4n+1.〃+234〃+ln+2\n+2

—X-XX----------X------------=

S?=log2-+log2-++log2—.log=loglog>5,

〃+1223nn+\)2

解得〃>62,乂neN*?

所以正整數(shù)〃的最小值為63,所以D選項(xiàng)正確.

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】數(shù)列問題，常常需要由遞推公式求出通項(xiàng)公式，方法有累加法，累乘法，構(gòu)造法等，要根據(jù)數(shù)列

特征選擇不同的方法.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八豐、”思想對(duì)我國的建筑有一定影響.圖1是受

"八卦"啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗..在正八邊形ABCDEFGH中,^AC=xAB+yAH（x,yeR）,則x+），=

【答案】O+2##2+&

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析運(yùn)算.

【詳解】如圖，連接C",則ABgC”,

不妨設(shè)A5=2,則CH=20+2,即”C=（應(yīng)+1）AB,

^AC=AH+HC=[42+\）AB+AH,則工=&+1,），=1,

故x+y=x/i+2.

故答案為：4+2.

14.（2022?天津市匯文中學(xué)高三期中）!=|的展開式中，/的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答

（2

案）

35

【答案】v

O

【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤⒁?)的通項(xiàng)公式為尸'9)=(7)，x(jC"喙，

4

令8-三3r=2得廠=4,則其系數(shù)為C與=3任5.

2248

35

故答案為：v

O

15.(2022?上海市金山中學(xué)高二期末)已知6、F?為雙曲線巳=13＞。為＞。)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P、。為。

a'b'

上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且1。。1=1”鳥1,若直線2。的傾斜角為?，則C的離心率為—.

【答案】G+i##i+V5

【分析】由題意畫出圖形，可得4。。名為正三角形，進(jìn)一步得到四邊形〃鳥QK為矩形，再由雙曲線的定義

求解得答案.

【詳解】如圖，

團(tuán)直線尸。的傾斜角為%團(tuán)"06=60。，

又IPQIHK/I,回區(qū)=|。聞,可得△o。鳥為正三角形,

由對(duì)稱性可得，四邊形尸6Q”為矩形，得到仍用=篦?居|=Gc,

由雙曲線定義可得，＞/3c-c=2a,

團(tuán)e=G+l?

故答案為：G+1.

16.(2020?黑龍江?哈九中高三期末(文))若存在實(shí)常數(shù)A和〃，使得函數(shù)P(x)和G(x)對(duì)其公共定義域上

的任意實(shí)數(shù)工都滿足尸(力？丘+。和G("W履+6恒成立，則稱直線尸丘+》為尸(x)和G")的"隔離直

線”.已知函數(shù)/(X數(shù),(xw/?),g(x)=/＜0),h(x)=2e]nx,則有下列命題：

X

①y=-g(x)與右⑺有"隔離直線";

②/(X)和g(x)之間存在“隔離直線”，月力的最小值為-4;

③和g(x)之間存在"隔離直線"，且k的取值范圍是(Y。];

④和力(x)之間存在唯一的“隔離直線〃y=2&x-e.

其中真命題的序號(hào)為.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))

【答案】②④

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合“隔離直線”的定義可判斷①的正誤；利用“隔離直線”的定義求出〃、〃所滿足的不等

式，求出左、力的取值范圍，可判斷②③的正誤；求出函數(shù)/(X)和〃(“圖象的公共點(diǎn)以及公切線方程，

結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)法證明出〃"22〃彳-6、結(jié)合“隔離直線”的定義可判斷④的正誤.

【詳解】對(duì)于①,構(gòu)造函數(shù)p(x)=/(x)+g(x)=Y+；其中xvO,

則d(x)=2x—=1=與9二—1<0,所以，函數(shù)*(外在(-8,0)上單調(diào)遞減，

X

8(-1)=0,當(dāng)天<一1時(shí)，°(力>0(-1)=0,此時(shí)〃x)>-g(x)；

當(dāng)一l<x<0時(shí)，0(x)〈e(—1)=0,此時(shí)/(x)v-g(x).

所以，y=-g(x)與M6不存在"隔離直線"，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)/(X)和g(力之間的例離直線"為y=H+b,

當(dāng)XV。時(shí)，x2>^,則f之米+方在(-8,0)上恒成立，

設(shè)工⑺=/-4i,二次函數(shù)工⑴圖象的對(duì)稱軸為直線x=g.

當(dāng)上之0時(shí)，則工(0)=-此0,可得后0；

2

當(dāng)也V0時(shí)，^]=k+4b<Ot則。S一￡.

4

不等式依+羥，在(y,0)上恒成立，即-船在(f,0)上恒成立，

XX

若左>0,函數(shù)y=:-履在(-8,0)上單調(diào)遞減，該函數(shù)在(-8,0)上無最小值，此時(shí)b無解；

若k=0,可得力之,，當(dāng)XW(YO,0)時(shí)，-G(-OO,0),則Z?NO；

XX

若，:<0,則"N」?一Ax,

x

由基本不等式可得，一"二—[(一~^)+京4—2^—?L).%r=_2j—A,

當(dāng)且僅當(dāng)工=一左時(shí)，等號(hào)成立，則力之-2Q.

由上可知，當(dāng)〃=0時(shí)，6=0；

當(dāng)左<()時(shí)，-2yTk<b<--.k=0,〃=()也滿足一2々工人4一土,

由上可知—2GV—￡,整理可得-64&N/,即可公+環(huán))^。，/.-4<^<0.

由題意可知，12GL產(chǎn)后(一引，所以故②正確；

1/max

對(duì)于③，由②可知，-4<k<0,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，/(x)=x\h(x)=2e\nx,則/(G)=e,h(&)=2eln&=e,則/(&)=/?(&),

所以，函數(shù)〃同、8(力的圖象的公共點(diǎn)為(4,e),

r(x)=2x,則/(五)=2五，g'(x)=三，則g'(G)=2G,所以，r(&)=g'(e),

所以，函數(shù)/(力、g(x)的圖象在公共點(diǎn)(&，?)處有公切線y1=2正卜-巧，即)，=2&-e.

構(gòu)造函數(shù)0](x)=x2-(2\/^?e)=--2\/Jx+e=(x-\/?)>0,所以，f(x)>2\[ex-e.

構(gòu)造函數(shù)02(犬)=2elnx-(2&x-e)=2elnx-2\/?x+e,

則映上工2G2岡GT.

XX

當(dāng)()<“<血時(shí)，d(x)>0,此時(shí)函數(shù)仍(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>右時(shí)，d(x)<0,此時(shí)函數(shù)@(X)單調(diào)遞減.

所以，^2(x)<^2(x/ej=O,g|Jg(x)<2>fex-e.

綜上可知，/(')和之間存在唯一的“隔離直線"y=2向-e,④正確.

故答案為：@(4).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃”)>g(x)(或〃6<gG))轉(zhuǎn)化為證明〃x)—g(x)>0(或

/(x)-^(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)M"=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)己知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似〃函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知正項(xiàng)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”，其

中4=2,4S“=(4+1『+49亞2,〃￡N*).

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛q｝是否是等差數(shù)列，說明理由；

1I111

(2)證明：當(dāng)〃22時(shí)，一+——+——+?,?+-----<-.

〃必2%的?！啊队?

【答案】⑴4r=2〃二〃>2,數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列，理由見蟀析;

(2)證明見解析.

【分析】(1)由4s“=(々“+1)2+4得，當(dāng)〃23時(shí)，45?_,=(??_,+I)2+4,然后兩式相減得見-%=2,即數(shù)

列｛q｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,根據(jù)45.=(q+1)?+4和4=2得到生=3,即可得到&一q=1*2,數(shù)列｛〃”｝

不是等差數(shù)列，然后求通項(xiàng)即可；

1111111I1

(2)利用裂項(xiàng)相消的方法求---+----+----+,+-----,即可證明----+----+----++-----

44444%凡〃向%/生生3

22

【詳解】⑴由44“=&+if+4得，當(dāng)心時(shí),4Sn_,=(a?_,+if+4,兩式相減得4an=(an+l)-(%+1),

整理得(4+4I)(4—4I—2)=0,

因?yàn)閿?shù)列｛叫為正項(xiàng)數(shù)列，所以q+見一產(chǎn)。，則可-%-2=0,即/—-=2,

在4s〃=(可+1)2+4中，令〃=2,則4s2=44+4出=(%+1『+4,解得。2=3或口(舍去)，所以生一《二1,

數(shù)列｛《,｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，公差為2,

2n=l

所以4=2〃_1〃>2,數(shù)列｛叫不是等差數(shù)列?

(2)當(dāng)〃22時(shí)，(2?-l)(2?+l)=^\2^\~^V\

1

所以當(dāng)，此2時(shí)，—+—+—++----

a\a2。2。3。3。4anan+\2x32(3557

11

3-2(2/?+l)>

111111I

因?yàn)榫贫?gt;仇所以3—酒旬9印莉+莉+/

18.(2022?湖北?華中師大一附中高三期中)在銳角A8C中,佯.A,B,。所對(duì)的功分別為〃，b,C,R

知、6+b2-c2)=2bcs\nA.

⑴求sin,A+cos*的取值范圍；

(2)若。是A4邊上的一點(diǎn)，且人。：38=1:2,8=2,求工3C面積的最大值.

【答案】⑴借

(2)生

2

【分析】（1）先求出C，再根據(jù)三角變換公式化簡(jiǎn)si/A+co/B.利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍;

1o

（2）根據(jù)題設(shè)可得CD=（CK+（CA,平方后利用基本不等式可求故可求面積的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)?〃-c［）=2Z?csirt4,故+〃-a?-/尸+2abeosC）=2〃csio4,

整理得到：26abcosC=2bcsinA即GacosC=csin/l,

Aft75sinAcosC=sinCsinA?而A為三角形內(nèi)角,故sinA>0.

所以JJcosC=sinC,故tanC=、行，而C為銳角三角形內(nèi)角，故。=石.

sin'A+cos*=1+—(cos23-cos2A)

2

1__2n_

=t1+—cos28-cos2-----B

2](3

1+—I—cos2B+—sin2B|=1+—cosf2B--

2(222{6)

71

0<B<-

因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故o2,故

?！?-八兀62

3

tt1?2.2n7

故：<2B故-正<CQS（23-二故<sin~八Icos"?<

6662I6咚44

(2)由題設(shè)可得80=204,故CD-C8=2(C4-C。),

1?

整理得到：CD=-CB+-CA,

?4].24241c4、41

^CD=-CB~+-CA'+-CBCA^4=-a2+-b2+-abx-,

9999992

整理得至ll：36=/+4/?2+lab>4ab+lab=6ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a=2百,〃=石時(shí)等號(hào)成立，故("L=6.

故三角形面積的最大值為:x6x^=乎.

19.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱ABC-A8c中，△/1&C為等邊三角形，四邊形

AA43為菱形，AC1BC,AC=4,8c=3.

（1）求證：1\C；

⑵線段CG上是否存在一點(diǎn)E，使得平面AqE與平面A8C的夾角的余弦值為，？若存在，求出點(diǎn)E的位置;

4

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析

?

⑵點(diǎn)E存在，CE=^CCt.

【分析】（1）連接43與A4相交于點(diǎn)尸，連接C/,證明AB|_L平面8R7,可得A81_L8C,再利用已知

條件證明平面ABC,可證得4g_LAC.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用法向量表示平面八用七與平面ABC的夾角的余弦，求出點(diǎn)E

坐標(biāo).

【詳解】（1）連接43與AB1相交于點(diǎn)尸，連接C〃，如圖所示：

四邊形44M6為菱形，團(tuán)尸為44的中點(diǎn),有BFJ.AB「

VA8C為等邊三角形，有CF1AB1,

B￡CFu平面BFC,BFcCF=F,0Aql平面8戶C,

BCu平面BFC,

四邊形為菱形,團(tuán)知，昭,

BA,8Cu平面A8C,B%cBC=B,

Aq_L平面ABC,ACu平面ABC,

（2）O,G分別為AC,AB的中點(diǎn)，連接用O,OG,

由（1）可知44_LBC,又4C_Z8C,

A4，ACu平面AgC,AB]AC=A,BC上平面AgC,

OG//BC,OGI平面MC,

△力當(dāng)。為等邊三角形，B.O1AC,

以。為原點(diǎn)，OG,OC，的方向分別為x軸、）'軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,-2,0),C(0,2,0),4(3,2,0),q(O,O,2x/5),

由屈=4瓦，8C=AG,團(tuán)4(-3,-4,26)，G(-3,O,2X/5),

設(shè)CE=2CG(OM/lWl),則OE-OC=2CG，有

OE=2CC,+OC=2(-3,-2,2^)-(0,2,0)=(-32,2-22,2仞)，

國網(wǎng)-342-2426/1),AE=(-3/l,4-2A,2x/3/l),AB,=(0,2,2x/3),

,、(A￡：-/2=-32x+(4-2A)y+2^Az=0

設(shè)平面4修后的一個(gè)法向量〃=(x,y,z,則有J；

|A耳.〃=2)，+2任=0

令z=6，則)'=-3,±Lzf即〃=

x=(『同,

A

平面A8C的一個(gè)法向量為081的方向上的單位向量/?/=（0,0,1）,

V3_1

若平面—平面"C的夾角的余弦值為“I則有I|cosn,/n|

4A-4Y4,

+9+3

(44—4、42-42

=36,由0W4W1,0--------=-6,解得a=一.

2A5

2

所以，點(diǎn)￡存在，CE=-CCi.

20.（2022?上海市金山中學(xué)高二期末）近兩年因?yàn)橐咔榈脑?，線上教學(xué)越來越普遍了.為了提升同學(xué)們的

聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進(jìn)行專注度監(jiān)測(cè)，即要求同學(xué)們?cè)?0秒鐘內(nèi)在軟件平臺(tái)上按鈕

簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認(rèn)真聽課，否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了.經(jīng)

過一個(gè)月對(duì)全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計(jì)，平均每次專注度監(jiān)測(cè)有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到.為了能

夠進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個(gè)約定：

①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測(cè)中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；

②約定每次專注度監(jiān)測(cè)中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分.

請(qǐng)回答如下兩個(gè)問題：

⑴若一節(jié)課老師會(huì)進(jìn)行3次專注度監(jiān)測(cè)，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？

（2）記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測(cè)中累計(jì)得分恰為〃分的概率為P,（比如：R表示累計(jì)得分為1分的概率，P2

表示累計(jì)得分為2的概率），求：

①的通項(xiàng)公式：

②｛匕｝的通項(xiàng)公式.

【答案】（1）5.7；

+，

⑵①匕+T=f--T；②Pn=.

W+1I10J"1919I10J

【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求解，求得三次監(jiān)測(cè)中完成簽到次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求結(jié)果即可；

（2）求得的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得再結(jié)合累加法，以及等比

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，即可求得

【詳解】（1）設(shè)某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中完成簽到的次數(shù)為X,由題可知，X~B（3,0.9）,故

E（X）=3xO.9=2.7,

設(shè)某班同學(xué)3次專注度監(jiān)測(cè)的總得分為y,根據(jù)題意y=2X+（3-X）=X+3,故司y）=E（X）+3=5.7.

故某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)學(xué)期望是5.7.

（2）①由題可知，A=0.1,?=0.9+0.1x0.1=0.91

Io▲9,

根據(jù)題意,*?，故可得“「匕=三優(yōu)-心）

QIQ

故數(shù)列優(yōu)廠馬為首項(xiàng)2-4=0.81=夫，公比為的等比數(shù)列，

I（）010

1km2r

則匕+「匕=x

100ViojI10J

②根據(jù)上式可得?=（匕一匕T）+（KT-5.2）++（々-々）+4,

109<9

-----1-—x

1919I10J

故優(yōu)｝的通項(xiàng)公式4*+

21.（2022?重慶?高二階段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)M惇用，且離心率為《=學(xué)

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵當(dāng)橢圓C和圓0：/+）,2=］.過點(diǎn)A（〃A（））（/〃＞］）作直線（和心且兩直線的斜率之積等于1,（與圓。相

切于點(diǎn)/＞，4與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N.

（i）求，"的取值范圍；

（ii）求OMN面積的最大值.

【答案】（1）］+）1=1

加J行+1］V2

（2）（I）1,---；（II）——

I＞2

【分析】（1）結(jié)合橢圓過點(diǎn)",離心率，即。，b,c的關(guān)系即可求解;

（2）（D可設(shè)4的斜率為A,則乙的斜率為:小工0）,從而得到直線卜4的方程，

K

由《與圓。相切于點(diǎn)可得到*=1+公,

由4與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N,聯(lián)立方程組，得至1］（2/+1卜2-4/成2工+2嚴(yán)62-2=0,由△＞（）,即

可求解;

（ii）設(shè)〃（內(nèi)，y）,N（%，兄），結(jié)合韋達(dá)定理可得X+占，x/2，從而得至U|MN|,

再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式“J得到。到直線4的距離，即可表示例OMN的面積，從而求解.

【詳解】（1）由題意?眸彳？a2=2t〃=?,c2=1>

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為會(huì)

(2)(i)由題意，兩直線右、6的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，

設(shè)4的斜率為3則4的斜率為"AH0),

K

則直線A的方程為y=k(x-ni),即U-y-k〃=0,

直線人的方程為y=J(工一〃。，即x-ky-m=0,

K

4與陵。相切r點(diǎn)〃，:,］=1,化簡(jiǎn)得病=1+干,

J1+F

y=女(1-〃?)

由?f得，(2公+1)/_為?而x+2k2m2-2=0,

—+y2=l''

2

22222

A=(-4nik)-4(2k+l)(2m^-2)＞0,化簡(jiǎn)得，1+/(2-也＞0,

由加2=1+公得，3=〃?2一］,代入上式化簡(jiǎn)得，那一3川+1＜0,

解得匕叵＜〃人必叵，

22

又用＞1,則士至，得［〈,〃＜?jí)?

22

所以加的取值范圍是

(ii)設(shè)M&，y),N(w，y2),

4〃店2m2k2-2

由(1)可知〃?2=1+攵2,Xy+x=—;——,X,X.=----——

22/+11-2/+1

4mk2、2.2nrk'-2

又MM=J(l+&2“(芭+')2―41蒞1+公)1

乂原點(diǎn)0(0,0)到直線A的距離d=,

.?3v面積s=L且L絲叵叵回

2ViTF2^+1

2222

、份臚叫1+2D叫r-Irnkzmk.

----------------------』的-(西)-，

設(shè)，=空則5=&匚77,由1＜〃?〈叵見以及〃P=i+M得

2A?+12

所以當(dāng)/=!時(shí)，QWV面枳取最大值叵.

22

所以.OMN面積的最大值是它.

2

22.(2022?重慶一中高三期中)已知函數(shù)/(x)=adnx,g(x)=-x^+er(x>0),(awR,e為自然對(duì)數(shù)的

g(x),g(x)vf(x)

底數(shù))，=

f(x)tg(x)>f(xy

⑴若/(X)與g(x)在x=l處的切線相互垂直，求a的值并求MM的單調(diào)遞增區(qū)間;