第10講一次函數(shù)及其應(yīng)用(5年6考)知識(shí)梳理夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一一次函數(shù)的概念1.正比例函數(shù):一般地,形如

(k是常數(shù),k≠0)的函數(shù).

2.一次函數(shù):一般地,形如

(k,b是常數(shù),k≠0)的函數(shù).

注意

正比例函數(shù)是一次函數(shù)y=kx+b當(dāng)b=0時(shí)的一種特殊形式.知識(shí)梳理y=kxy=kx+b1.[人教八下新教材P115練習(xí)T1變式]下列函數(shù)中,是一次函數(shù)的是

,是正比例函數(shù)的是

.(填序號(hào))

針對(duì)訓(xùn)練①③⑤①知識(shí)點(diǎn)二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.一次函數(shù)的圖象正比例函數(shù)的圖象是一條過

的直線;一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(

,0)和(0,

)的一條直線.

知識(shí)梳理原點(diǎn)b2.一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)k,b的符號(hào)k>0k<0b>0b=0b<0b>0b=0b<0圖象位置第

象限第象限第

象限第

象限第象限第

象限增減性y隨x的增大而

y隨x的增大而

一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、三、四二、四增大減小3.一次函數(shù)圖象的平移一次函數(shù)y=kx+b的圖象可以看作是由直線y=kx向上(下)平移

個(gè)單位長度而得到的.當(dāng)b>0時(shí),將直線y=kx向上平移b個(gè)單位長度;當(dāng)b<0時(shí),將直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位長度.

|b|2.下列說法錯(cuò)誤的是()A.y=2-x是一次函數(shù)B.y=x是正比例函數(shù)C.函數(shù)y=-3x+3的圖象過點(diǎn)(1,0)D.直線y=-x過點(diǎn)(0,-1)針對(duì)訓(xùn)練D3.已知一次函數(shù)的解析式為y=2x-3.(1)該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

;

(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該一次函數(shù)的圖象;(0,-3)解:如圖所示.(3)該函數(shù)的圖象經(jīng)過第

象限,y隨x的增大而

;

(4)若點(diǎn)A(-1,y1),B(2,y2)在該函數(shù)的圖象上,則y1

y2.(選填“>”“<”或“=”)

4.(1)將一次函數(shù)y=2x-3的圖象向上平移2個(gè)單位長度,得到新的一次函數(shù)的解析式為

;

(2)將直線y=-3x+1向下平移5個(gè)單位長度,得到直線l,則直線l的解析式為

.

一、三、四增大<y=2x-1y=-3x-4知識(shí)點(diǎn)三一次函數(shù)解析式的確定及應(yīng)用1.一次函數(shù)解析式的確定知識(shí)梳理設(shè)設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k≠0)列找出一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),將其坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得到二元一次方程組解解這個(gè)方程組,求出待定系數(shù)k,b的值寫將求得的k,b的值代入,寫出一次函數(shù)的解析式2.一次函數(shù)的應(yīng)用(1)已知自變量的值求函數(shù)值;(2)已知函數(shù)值求自變量的值;(3)利用圖象分析實(shí)際問題,做出決策;(4)利用增減性確定最值.5.已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則這個(gè)函數(shù)的解析式為

.

針對(duì)訓(xùn)練y=2x6.[人教八下新教材P123練習(xí)T2]一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,0)和點(diǎn)(24,20),求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.知識(shí)點(diǎn)四一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系1.一次函數(shù)與方程(組)的關(guān)系(1)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解;

(2)一次函數(shù)y=kx+b與y=k1x+b1的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1)即為二元一次方程組

的解.

知識(shí)梳理kx+b=02.一次函數(shù)與不等式的關(guān)系(1)一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)y>0時(shí),自變量x的取值范圍即為不等式

的解集;

(2)一次函數(shù)y=kx+b與y1=k1x+b1,當(dāng)y>y1時(shí),自變量x的取值范圍即為不等式

的解集.

kx+b>0kx+b>k1x+b17.如圖所示,直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(5,0),B(1,4).針對(duì)訓(xùn)練(1)方程kx+b=0的解是

;

(2)不等式kx+b<0的解集是

;

(3)kx+b>4的解集是

;

x=5x>5x<1(3,2)(5)根據(jù)圖象,寫出關(guān)于x的不等式2x-4≥kx+b的解集是

.

x≥3重難突破提能力考點(diǎn)1一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5年1考)(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)C在y軸上且位于點(diǎn)B上方,△ABC的面積為6,求點(diǎn)C的坐標(biāo).即時(shí)訓(xùn)練1.(2025佛山模擬)若點(diǎn)A(2,y1),B(3,y2)在一次函數(shù)y=-x+b的圖象上,則y1與y2的大小關(guān)系是()A.y1>y2 B.y1≥y2

C.y1<y2 D.y1≤y22.(2025深圳模擬)請(qǐng)寫出同時(shí)滿足“①y隨x的增大而增大;②函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸”兩個(gè)條件的一次函數(shù)解析式:

.Ay=x-3(答案不唯一)考點(diǎn)2待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式(5年4考)典例2(2023廣東T16(2),5分)已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)(2,5),求該一次函數(shù)的解析式.即時(shí)訓(xùn)練3.(2025廣州模擬)已知直線l:y1=kx+b過點(diǎn)(5,2),且與直線y2=x+1相交于點(diǎn)A(3,m).求直線l的解析式.4.已知y與x+b成正比例,且當(dāng)x=4時(shí),y=6;當(dāng)x=2時(shí),y=2.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;y與x+b成正比例,則設(shè)y=k(x+b)(k≠0)(2)若-2<y<8,求x的取值范圍.解:(2)∵-2<y<8,∴-2<2x-2<8,解得0<x<5.考點(diǎn)3一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(5年1考)典例3跨物理學(xué)科物理實(shí)驗(yàn)證實(shí):在彈性限度內(nèi),某彈簧長度y(單位:cm)與所掛物體質(zhì)量x(單位:kg)滿足函數(shù)關(guān)系y=kx+15.下表是測(cè)量某物體質(zhì)量時(shí),該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系.x/kg025y/cm151925(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)彈簧長度為20cm時(shí),求所掛物體的質(zhì)量.解:(1)由表格可把x=2,y=19代入關(guān)系式,得2k+15=19,解得k=2,∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+15.(2)把y=20代入(1)中函數(shù)關(guān)系式,得2x+15=20,解得x=2.5,即所掛物體質(zhì)量為2.5kg.解題策略運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟(1)根據(jù)題意設(shè)問題中的變量;(2)建立一次函數(shù)模型;(3)確定自變量的取值范圍;(4)與方程(組)或不等式(組)結(jié)合解決實(shí)際問題.即時(shí)訓(xùn)練5.(2025廣東模擬)某社區(qū)組織垃圾分類活動(dòng),準(zhǔn)備購置兩種不同規(guī)格的垃圾桶.大垃圾桶的進(jìn)價(jià)是每個(gè)a元,小垃圾桶的進(jìn)價(jià)是每個(gè)(a-10)元.已知購買3個(gè)大垃圾桶和2個(gè)小垃圾桶共花費(fèi)290元.(1)求單個(gè)大垃圾桶的進(jìn)價(jià);解:(1)由題意,得3a+2(a-10)=290,解得a=62.答:單個(gè)大垃圾桶的進(jìn)價(jià)為62元.(2)若社區(qū)計(jì)劃用不超過3000元的資金購置這兩種垃圾桶共50個(gè),每個(gè)大垃圾桶的可裝垃圾量為20kg,每個(gè)小垃圾桶的可裝垃圾量為10kg.設(shè)購置大垃圾桶m個(gè),總可裝垃圾量為Qkg,寫出Q與m的函數(shù)關(guān)系式,并求出在資金允許的范圍內(nèi)Q的最大值.解:(2)已知購置大垃圾桶m個(gè),則購置小垃圾桶(50-m)個(gè).總可裝垃圾量Q=20m+10(50-m)=10m+500.∵購置資金不超過3000元,由(1)知小垃圾桶每個(gè)的進(jìn)價(jià)為62-10=52(元),∴62m+52(50-m)≤3000,解得m≤40.∵在Q=10m+500中,10>0,∴Q隨m的增大而增大.∴當(dāng)m=40時(shí),Q有最大值為10×40+500=900.答:Q與m的函數(shù)關(guān)系式為Q=10m+500,在資金允許的范圍內(nèi)Q的最大值為900.考點(diǎn)4一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系典例4如圖所示,直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A(-5,0),B(-1,4).(1)求直線AB的解析式;(2)若直線y=-2x-4與直線AB相交于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)根據(jù)圖象,直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.解:(3)x>-3.方法技巧利用函數(shù)圖象解不等式的步驟(1)先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小形式;(2)觀察或計(jì)算函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo);(3)利用圖象的位置關(guān)系,得到不等式的解集.即時(shí)訓(xùn)練6.(2024廣東)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,則一次函數(shù)y=kx+b的圖象大致是()Bkx+b<0的解集是函數(shù)y=kx+b的圖象位于x軸下方時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)7.(2025東莞模擬)如圖所示,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象分別與