第22講正方形(5年5考)知識梳理夯基礎知識點一正方形的性質與判定知識梳理性質正方形的對邊平行,四條邊都

;

正方形的四個角都是

;

對角線相等且互相

,每條對角線平分一組對角

面積S正=a2(a表示正方形的邊長)相等直角垂直平分周長C=4a(a表示正方形的邊長)對稱性正方形是

圖形,也是軸對稱圖形,有

條對稱軸

判定有一組鄰邊相等的

是正方形

對角線互相垂直的

是正方形

對角線相等的

是正方形

有一個角是直角的

是正方形

中心對稱4

矩形矩形菱形菱形針對訓練1.如圖所示,在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O.(1)∠ABC=

°,∠AOB=

°,∠ADB=

°;

(2)若AB=4,則AC=

,正方形ABCD的周長為

,面積為

.

90904516162.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,請?zhí)砑右粋€條件:

,使菱形ABCD成為正方形.

∠ABC=90°(答案不唯一)知識點二平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系1.關系圖知識梳理2.從邊、角的關系看3.從對角線的關系看3.判斷正誤:(1)有一個角是直角的平行四邊形是正方形;()(2)對角線互相垂直的矩形是正方形;()(3)有一組鄰邊相等的菱形是正方形;()(4)各邊都相等的四邊形是正方形.()針對訓練×√××4.如圖所示,只要把一張矩形紙片的一個角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD邊上的AF重合,則四邊形ABEF就是一個正方形.判斷的根據(jù)是

.

有一組鄰邊相等的矩形是正方形知識點三中點四邊形1.任意四邊形的中點四邊形一定是

;對角線

的四邊形的中點四邊形是菱形;對角線

的四邊形的中點四邊形是矩形;對角線互相垂直且相等的四邊形的中點四邊形是

.

2.中點四邊形的面積等于原四邊形面積的

.

知識梳理平行四邊形相等互相垂直正方形一半5.[北師大九上P23做一做改編]如圖所示,在四邊形ABCD中,AC⊥BD,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.若AC=6,BD=8,則四邊形EFGH的形狀是

,面積是

.

針對訓練矩形12重難突破提能力考點1正方形的性質與判定(5年5考)典例1

在正方形ABCD中,點E是對角線BD上的一點,正方形的邊長為2.如圖所示,連接AE,若BA=BE,則BE的長為

,BD的長為

,∠AEB的度數(shù)為

.

267.5°即時訓練1.如圖所示,邊長為3的正方形OBCD兩邊與坐標軸正半軸重合,則點C的坐標是()A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3)C2.(2024廣州模擬)如圖所示,在正方形ABCD中,E是對角線AC上一點,作EF⊥AB于點F,連接DE,若BC=6,BF=2,則DE等于()A3.[人教八下P67復習題T1變式]如圖所示,以AD為邊在正方形ABCD的外側作等邊三角形ADE,則∠BED=

.

[變式]以正方形ABCD的邊AD為一邊作等邊三角形ADE,則∠BEC=

.

45°30°或150°4.(2025佛山模擬)如圖所示,正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別是對角線上的兩點,過點E,F分別作AD,AB的平行線,則陰影部分的面積等于

.

5.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=DF,OE=OA.求證:四邊形AECF是正方形.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF.∴四邊形AECF是菱形.∵OE=OA,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC.∴四邊形AECF是正方形.6.如圖所示,在正方形ABCD中,E是BC上一點,F是CD延長線上一點,且BE=DF,連接AE,AF,EF.(1)求證:△ABE≌△ADF.思路點撥

(1)由正方形的性質得到AB=AD,∠ABC=∠ADF,根據(jù)SAS證明△ABE≌△ADF;

(2)若AE=5,請求出EF的長.思路點撥

(2)證明△AEF是等腰直角三角形,可求出EF的長.(2)解:∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°.∴△AEF是等腰直角三角形.7.在正方形ABCD中,E是BC上一點,過點E作EF⊥AE.(1)如圖(1)所示,若EF交CD于點F,BE=3,CF=2,則正方形的邊長為

.

圖(1)9(2)如圖(2)所示,若點E為BC的中點,EF交正方形外角∠DCG的平分線于點F.求證:AE=EF.圖(2)(2)證明:如圖所示,取AB的中點H,連接EH.∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠1+∠AEB=90°.∴∠1=∠2.∵E是BC的中點,H是AB的中點,∴BH=BE,AH=CE.∴∠BHE=45°.∵CF是∠DCG的平分線且∠DCG=90°,∴∠FCG=45°.∴∠AHE=∠ECF=135°.∴△AHE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.考點2平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系典例2下列條件:①∠ABC=90°;②AB=BC;③AC=BD;④AC⊥BD.從中選擇兩個作為補充條件,使平行四邊形ABCD成為正方形,下列四種選擇方法中,你認為錯誤的是()A.①② B.①③ C.②③ D.③④B即時訓練8.如圖所示,在△ABC中,D是邊AB上任意一點,E是BC的中點,過點C作CF∥AB,交DE的延長線于點F,連接BF,CD.(1)求證:四邊形CDBF是平行四邊形.(1)證明:∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EBD.∵E是BC的中點,∴CE=BE.在△CEF和△BED中,∠ECF=∠EBD,CE=BE,∠CEF=∠BED,∴△CEF≌△BED(ASA).∴CF=BD.又CF∥BD,∴四邊形CDBF是平行四邊形.(2)若D為