微專題八與四邊形有關(guān)的?？寄Ｐ湍Ｐ鸵皇帜Ｐ皖愋蛨D示模型特點結(jié)論變式圖形及作法正方形十字模型AE⊥BF△ABF≌△DAE分別過點E,G作AB,AD的垂線,得△NGF≌△MEA矩形十字模型BD⊥CE△ABD∽△DEC分別過點G,F作CD,AD的垂線,得△GMH∽△FNE1.如圖所示,在矩形ABCD中,點E是AD上一點,連接BE,過點A作BE的垂線交CD于點F,垂足為G,若5AB=3AD,BE=6,則AF的長為

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102.[人教八下新教材P77練習(xí)T3變式](2025德陽)在綜合實踐活動中,同學(xué)們將對學(xué)校的一塊正方形花園ABCD進行測量規(guī)劃使用,如圖所示,點E,F處是它的兩個門,且DE=CF,要修建兩條直路AF,BE,AF與BE相交于點O(兩個門E,F的大小忽略不計).(1)請問這兩條路是否等長?它們有什么位置關(guān)系?說明理由.解:(1)兩條路等長且互相垂直.理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.∵DE=CF,∴AD-DE=CD-CF.∴AE=DF.在△BAE和△ADF中,BA=AD,∠BAE=∠D=90°,AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS).∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,∴∠BAO+∠ABE=90°.在△AOB中,∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,∴AF⊥BE.∴道路AF與BE等長,且它們相互垂直.(2)同學(xué)們測得AD=4m,AE=3m,根據(jù)實際需要,某小組同學(xué)想在四邊形OBCF地上再修一條2.5m長的直路,這條直路的一端在門F處,另一端P在已經(jīng)修建好的路段OB或花園的邊界BC上,并且另一端P與點B處的距離不少于1.5m,請問能否修建成這樣的直路?若能,能修建幾條?并說明理由.模型二半角模型模型特點一個大角包含一個小角,小角是大角的一半,二者有公共頂點且大角兩邊相等圖示及證明①先確定兩角頂點;②繞公共頂點將大角和小角的一組鄰邊旋轉(zhuǎn)一個大角,得到一對等角,一對等邊和公共邊,得兩個三角形全等結(jié)論△DEF≌△DMF;EF=MF=CM+CF=AE+CF3.如圖所示,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,滿足CE=DF,連接AF,DE,點G在AB邊上,連接DG交AF于點H,使得∠DHF=45°,連接GE,若∠DAF=α,則∠BGE的度數(shù)為()A.90°-2α B.45°+α

C.4α D.3α+15°A4.旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中最基本的圖形變換之一,利用旋轉(zhuǎn)可將分散的條件相對集中以達到解決問題的目的.(1)如圖(1)所示,四邊形ABCD是正方形,點E,F分別在邊BC和CD上,且∠EAF=45°,如圖(2)所示,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,探究圖中線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.解:(1)由旋轉(zhuǎn)可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠BAD=90°.∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°.∴∠BAG+∠BAE=45°.∴∠GAE=∠EAF.在△AGE和△AFE中,∴△AGE≌△AFE(SAS).∴GE=EF.∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.(2)如圖(3)所示,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=120°,∠EAF=60°,AE,AF與BC,CD邊分別交于E,F兩點.(1)中結(jié)論是否依然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由.解:(2)結(jié)論EF=BE+DF依然成立.證明如下:如圖所示,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABM,∴△ABM≌△ADF.∴∠ABM=∠D=90°,∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=DF.∵∠ABE=90°,∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°.∴M,B,E三點共線.∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD∠EAF=60°.∴∠MAE=∠FAE.又AE=AE,AM=AF,∴△MAE≌△FAE(SAS).∴ME=EF.∴EF=ME=BE+MB=BE+DF.模型三對角互補模型模型已知∠ABC+∠ADC=180°輔助線作法作垂直作旋轉(zhuǎn)結(jié)論①若AD=CD,則△AFD≌△CED,BD平分∠ABC;②若AD≠CD,則△AFD∽△CED①若AD=CD,則△ABD≌△CED,BD平分∠ABC;②若AD≠CD,則△ABD∽△CED5.如圖所示,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點O,M是邊AD上一點,連接OM,過點O作ON⊥OM,交CD于點N.若四