2025年阿氏圓例題文檔(帶答案)已知圓C的方程為(x-2)2+y2=9，圓心C(2,0)，半徑r=3。點(diǎn)A(5,0)，點(diǎn)B(0,0)，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)。求PA+(2/3)PB的最小值。分析：點(diǎn)B(0,0)到圓心C(2,0)的距離CB=2，小于圓的半徑3，故B在圓內(nèi)。根據(jù)阿氏圓性質(zhì)，構(gòu)造點(diǎn)B'使CB·CB'=r2（即2·CB'=9），解得CB'=4.5，因此B'位于C右側(cè)，坐標(biāo)為(2+4.5,0)=(6.5,0)。由相似三角形△CPB∽△B'PC，可得PB/PB'=CB/CP=2/3，即PB=(2/3)PB'。目標(biāo)式PA+(2/3)PB轉(zhuǎn)化為PA+PB'，其最小值為點(diǎn)A到B'的距離與圓半徑的關(guān)系。解答：A(5,0)到B'(6.5,0)的距離為1.5。圓C在x軸上的右端點(diǎn)為(5,0)（即點(diǎn)A），當(dāng)P與A重合時(shí)，PA=0，PB=√[(5-0)2+02]=5，(2/3)PB=10/3，此時(shí)PA+(2/3)PB=10/3。但更優(yōu)解為P在A、B'連線(xiàn)上且位于圓上時(shí)，因圓右端點(diǎn)恰為A，故最小值為1.5（驗(yàn)證：P=A時(shí)PA=0，PB'=6.5-5=1.5，和為1.5）。最終最小值為3/2。已知圓C的方程為(x-3)2+(y-4)2=25，圓心C(3,4)，半徑r=5。點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(6,8)，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)。求PA+(1/2)PB的最小值。分析：點(diǎn)B(6,8)到圓心C(3,4)的距離CB=5，等于圓半徑，故B在圓上。PB的取值范圍為0到10。目標(biāo)式PA+(1/2)PB中，當(dāng)P與A重合時(shí)，PA=0，PB=√[(0-6)2+(0-8)2]=10，(1/2)PB=5，和為5。驗(yàn)證A是否在圓上：(0-3)2+(0-4)2=9+16=25，符合圓方程，故P=A時(shí)成立。解答：當(dāng)P=A(0,0)時(shí)，PA=0，PB=10，(1/2)PB=5，和為5，此為最小值。已知圓C：x2+(y-2)2=4，圓心C(0,2)，半徑r=2。點(diǎn)A(2,2)，點(diǎn)B(-2,2)，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PA+√2PB的最小值。分析：A、B均在圓上（CA=CB=2=r）。當(dāng)P=B(-2,2)時(shí)，PA=√[(-2-2)2+0]=4，PB=0，目標(biāo)式=4+0=4。驗(yàn)證P=B在圓上，符合條件。解答：當(dāng)P=B(-2,2)時(shí)，PA=4，PB=0，和為4，此為最小值。已知圓C：(x-1)2+(y-1)2=2，圓心C(1,1)，半徑r=√2。點(diǎn)A(0,0)，點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的最大值。分析：△PAB面積=1/2×|AB|×h，其中h為P到直線(xiàn)AB的距離。直線(xiàn)AB方程為y=x，h=|x-y|/√2。圓C參數(shù)方程為x=1+√2cosθ，y=1+√2sinθ，代入得h=|cosθ-sinθ|=√2|cos(θ+45°)|，最大值為√2。|AB|=2√2，故面積最大值=1/2×2√2×√2=2。解答：面積最大值為2。已知圓C：x2+y2=4，點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(3,0)，是否存在點(diǎn)P在圓C上，使得PA2+2PB2=20？分析：設(shè)P(x,y)，滿(mǎn)足x2+y2=4。PA2=(x-1)2+y2=5-2x，PB2=(x-3)2+y2=13-6x。代入得PA2+2PB2=31-14x=20，解得x=11/14。代入圓方程得y2=663/196，存在實(shí)數(shù)解。解答：存在點(diǎn)P(11/14,√663/14)和(11/14,-√663/14)。已知圓C：(x+1)2+(y-3)2=9，圓心C(-1,3)，半徑r=3。點(diǎn)M(2,3)，點(diǎn)N(-4,3)，點(diǎn)Q為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求2MQ+NQ的最小值。分析：點(diǎn)M(2,3)到圓心C(-1,3)的距離CM=3，等于半徑，故M在圓上。構(gòu)造點(diǎn)M'使CM·CM'=r2（即3·CM'=9），得CM'=3，M'位于C左側(cè)，坐標(biāo)為(-1-3,3)=(-4,3)，即N點(diǎn)。由相似關(guān)系，MQ/M'Q=CM/CP=3/3=1，故MQ=M'Q=NQ，目標(biāo)式2MQ+NQ=3NQ。NQ的最小值為CN-r=√[(-4+1)2+(3-3)2]-3=3-3=0（當(dāng)Q=N時(shí)），但N(-4,3)在圓上嗎？代入圓方程：(-4+1)2+(3-3)2=9，符合，故Q=N時(shí)，NQ=0，MQ=√[(-4-2)2+0]=6，目標(biāo)式=2×6+0=12。解答：最小值為12。已知圓O：x2+y2=16，點(diǎn)E(4,0)，點(diǎn)F(0,3)，點(diǎn)G為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求GE+(4/5)GF的最小值。分析：點(diǎn)F(0,3)到圓心O(0,0)的距離OF=3，半徑r=4。構(gòu)造點(diǎn)F'使OF·OF'=r2（即3·OF'=16），得OF'=16/3，F(xiàn)'坐標(biāo)為(0,16/3)。由相似△OGF∽△F'GO，GF/G'F=OF/OG=3/4，故(4/5)GF=(4/5)×(4/3)GF'=16/15GF'（需調(diào)整系數(shù)）。更直接的方法：GE=√[(x-4)2+y2]，GF=√[x2+(y-3)2]，目標(biāo)式=√[(x-4)2+y2]+(4/5)√[x2+(y-3)2]。利用參數(shù)方程x=4cosθ，y=4sinθ，代入得GE=√[16cos2θ-32cosθ+16+16sin2θ]=√[32-32cosθ]=4√2(1-cosθ)，GF=√[16cos2θ+16sin2θ-24sinθ+9]=√[25-24sinθ]，