/河北省保定市多校2025?2026學年高一上學期期中聯考數學試卷一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．復數的虛部為（

）A．-3 B． C． D．3．設向量，，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件4．已知，且，則的最小值為（

）A． B．4C． D．85．已知命題“”是假命題，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．如圖，已知等腰中，，點是邊上的動點，則的值（

）

A．為定值 B．不為定值，有最大值C．為定值 D．不為定值，有最小值7．已知是定義域為的奇函數，當時，，若，則零點的個數為（

）A．4 B．5 C．6 D．78．在平面直角坐標系中，函數且的圖象恒過定點，若角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列等式成立的是（

）A．B．C．D．10．有關復數和實數，下列說法不正確的是（

）A．，則 B．，則C． D．，其中11．已知，，，下列結論正確的是（

）A．的最小值為9 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題12．函數的定義域為.13．已知函數的最小正周期為，則.14．在中，角的對邊分別為，且.若，則對的最小值為.四、解答題15．已知，復數．（1）若z在復平面內對應的點位于第四象限，求的取值范圍；（2）若z滿足，，求的值．16．已知定義在上的函數圖象關于原點對稱．（1）求的解析式；（2）判斷并用定義證明的單調性；（3）解不等式．17．已知函數，且.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）得到函數的圖象.當時，求不等式的解集.18．在中，是邊上靠近的三等分點.（1）若，證明：；（2）若.（i）求面積的最大值；（ii）求的最小值.19．記的內角，，的對邊分別為，，，已知，為中點，且，的角平分線交于點，且.（1）求；（2）求.

答案1．【正確答案】B【詳解】解不等式，解得或，所以集合或，解得，即，所以集合，所以.故選B2．【正確答案】C【詳解】由題復數，所以復數的虛部為.故選C3．【正確答案】D【詳解】若，則解得：或，若，則解得：或，所以“”是“”的不必要條件，“”是“”的不必要條件，“”是“”的不充分條件，“”是“”的充分條件，故選D4．【正確答案】B【詳解】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為4.故選B.5．【正確答案】B【詳解】命題“”是假命題，等價于“”是真命題，即判別式，解得：或，則實數的取值范圍為.故選B.6．【正確答案】C【詳解】如圖，記的中點為，由題可知，，，，所以.故選C.

7．【正確答案】A【詳解】由于是定義域為的奇函數，故，故，所以當時，，又由，可得，故是周期函數，且周期為4，當時，，則，又，所以時，，當時，，則，又由，得到，所以當時，，當時，，則，所以當時，，故在同一坐標系中，作出的圖象如下,又當時，，而，故當后，兩個函數圖象再無交點，由函數圖象可知：的圖象有4個不同的交點，故有4個零點，故選A.8．【正確答案】C【詳解】因為函數且的圖象恒過定點，所以；因為角的終邊過點，所以，所以.故選C9．【正確答案】AB【分析】應用倍角正余弦、和差角正余弦公式及誘導公式化簡求值，即可判斷各項的正誤.【詳解】A：，A正確；B：，B正確；C：，C錯誤；D：，D錯誤.故選AB.10．【正確答案】AB【詳解】對于A，取復數，則，所以A不正確；對于B，取復數，則，所以B不正確；對于C，設，則，所以由，則，所以，所以C正確.對于D，設，可則，則，又由，所以，所以，其中，所以D正確.故選AB.11．【正確答案】ACD【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即時取等號，取得最小值9，故A正確；對于B，，根據二次函數的性質可知，當，時，取得最小值，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值，故C正確；對于D，因為，即，當且僅當，即時取等號，所以，即最大值，故D正確．故選ACD．12．【正確答案】【詳解】對于函數，令，解得且，所以的定義域為.13．【正確答案】/【詳解】，所以的最小正周期為，解得，即，.14．【正確答案】【詳解】由，得，所以，因為，則，所以，設，則點在直線上，所以，

當時，最小，其最小值為.15．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】（1）復數在復平面內對應的點為，由z在復平面內對應的點位于第四象限，得，解得，所以的取值范圍是.（2）依題意，，又，則，解得，，所以.16．【正確答案】（1）（2）在上單調遞增，見詳解（3）【詳解】（1）由題意可得，即，，故，即，此時有，故關于原點對稱，故，即的解析式為；（2）在上單調遞增；證明如下：令，則，由，則，，，故，即在上單調遞增；（3）由題意可得為奇函數，則有，又因為在上單調遞增，則有，解得，所以原不等式的解集為．17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，所以，，可得，，又，所以，所以.（2）將的圖象向右平移個單位長度得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到的圖象，所以，所以原不等式化為.令，，則，不等式化為，所以，所以，所以，結合函數在上的圖象得，所以，即不等式的解集為.18．【正確答案】（1）見詳解（2）（i）；（ii）【詳解】（1）因為是邊上靠近的三等分點，所以，所以，設內角的對邊分別為，則，所以，即，在中，由余弦定理得，所以，化簡得，即.（2）（i）在中，由余弦定理得，又，所以，當且僅當，即為等邊三角形時等號成立，所以，又是邊上靠近的三等分點，所以，即的面積的最大值為.（ii）在中，，由正弦定理，得，又，所以，因為，所以，由余弦定理，得，將代入上式，化簡得，所以，其中，當，即時，取得最小值，的最小值為.19．【正確答案】（1）（2