/遼寧省錦州市三校聯(lián)考2024?2025學年高二上學期期末質量檢測數(shù)學試卷一、單選題1．園藝部門打算為一個社區(qū)休閑廣場的中心花壇（如圖）布置花卉，要求同一區(qū)域擺放同一種花卉，相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）擺放不同種類的花卉．現(xiàn)有4種不同種類的花卉可供選擇，則不同布置方案有（

）A．144種 B．120種 C．96種 D．72種2．已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．3．已知事件A，B相互獨立，且，，則（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線的兩個焦點為，雙曲線上有一點，若，則（

）A．10 B．2 C．2或10 D．145．在黨的二十大報告中，他提出要發(fā)展“高質量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導教育教學工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．6．已知圓和圓相交于A，B兩點，則弦AB的長為（

）．A． B． C．4 D．27．已知橢圓的上焦點為，右頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于，兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A．或 B． C． D．8．棱長為2的正方體中，是棱的中點，點在側面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題9．已知二項式，則其展開式中（

）A．的系數(shù)為15 B．各項系數(shù)之和為1C．二項式系數(shù)最大項是第3項 D．系數(shù)最大項是第3項或第5項10．在棱長為1的正方體中，O為上底面的中心，則（

）A．平面B．C．直線與的距離為D．直線與平面所成角的正弦值為11．如圖，曲線可以看作“蝴蝶結”的一部分，已知曲線上除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點橫縱坐標之積的絕對值的商恒為定值（），則（

）A．曲線關于直線對稱B．曲線經(jīng)過點，其方程為C．曲線圍成的圖形面積小于D．存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）三、填空題12．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，以下結論，正確結論的序號為①展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256②展開式中第6項的系數(shù)最大③展開式中存在常數(shù)項④展開式中含項的系數(shù)為4513．已知四面體，，為邊長為的等邊三角形，若頂點在平面的投影是的垂心，則四面體的體積為.14．已知兩點，，動點M滿足，拋物線的焦點為F，動點N在C上，則的最小值為.四、解答題15．從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？16．已知圓，圓的圓心在直線上，且過點．(1)求圓的標準方程；(2)已知第二象限內(nèi)的點在圓上，過點作圓的切線恰好與圓相切，求的斜率．17．如圖，在三棱錐中，是邊長2的等邊三角形，.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.18．個考簽中有個難簽，人參加抽簽（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求：（1）甲抽到難簽的概率；（2）在甲抽到難簽后，乙抽到難簽的概率；（3）甲、乙兩人有人抽到難簽的概率.19．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀由赫爾曼?閔可夫斯基提出來的．在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，如圖，對于一個具有正南?正北?正東和正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道，從一點到另一點的距離等于在南北方向上行進的距離加上在東西方向上行進的距離，這種距離即“曼哈頓距離”，也叫“出租車距離”．對于平面直角坐標系中的點和，兩點間的“曼哈頓距離”．（1）如圖，若為坐標原點，兩點坐標分別為和，求；（2）若點滿足，試在圖中畫出點的軌跡，并求該軌跡所圍成圖形的面積；（3）已知函數(shù)是圖象上一個動點，求的最值，并求出此時點的坐標．

答案1．【正確答案】C【詳解】先考慮A區(qū)有4種可供選擇，再考慮B區(qū)有3種，D區(qū)有2種，E區(qū)有2種，C區(qū)有2種，由分步乘法計數(shù)原理得共有種.故選C.2．【正確答案】C【詳解】由題意，直線的斜率為1，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為-1.結合斜率與傾斜角的關系，得直線的傾斜角為.故選C3．【正確答案】C【詳解】因為事件是相互獨立事件，所以與相互獨立，所以，則.故選C.4．【正確答案】A【詳解】因為雙曲線，所以，故，即，由雙曲線的定義知，，所以或，當時，,不合題意，舍去.故.故選A5．【正確答案】B【詳解】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個地區(qū)指導教育教學工作的安排方法共有：種；每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為.故選B.6．【正確答案】A【詳解】由題意知圓，即圓，圓心為，半徑，圓，即圓，圓心為，半徑，則，即兩圓相交，將圓和圓的方程相減，可得直線的方程為，則到直線的距離為，故弦的長為，故選A7．【正確答案】D【詳解】延長交于點M，所以點M為的中點，設.因為，點為的重心，所以即，所以.因為點在橢圓上，所以，兩式相減得，即，整理得.因為，所以，即，所以，解得或.又因為，所以，，所以.故選D.8．【正確答案】A【詳解】以分別為軸建立空間直角坐標系，依題意有，，由于，故，解得.根據(jù)正方體的性質可知，，故為直角三角形，而，故，的面積為，當時，面積取得最小值為，故選:A.9．【正確答案】AD【詳解】的展開式的通項為，對于A，取，則，故的系數(shù)為，故A正確；對于B，因為，令，則各項系數(shù)之和為，故B錯誤；對于C，二項式展開后共有7項，所以二項式系數(shù)最大項是第4項，故C錯誤；D，由展開式的通項可得展開式中各項的系數(shù)依次為：，故系數(shù)最大項是第3項或第5項，D正確；故選AD.10．【正確答案】ACD【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，所以，，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，即，又因為平面，所以平面，故A正確；，平面的法向量，設直線BC與平面所成角為，則，所以直線BC與平面所成角的正弦值為，故D正確；，，則，所以不成立，故B錯誤；因為，設，，則，令，則，又因為，所以直線與的距離為，故C正確.故選ACD11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，先求曲線方程，設曲線上一點（），由已知，即.若點在曲線上，則也滿足曲線方程，所以曲線關于直線對稱，A選項正確.對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項錯誤.對于C，，則，所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結合圖形知道，C選項正確.對于D，由于，所以，由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點，當整點為時，，此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意;當整點為時，，此時整點均在曲線上，且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，D正確.故選ACD.12．【正確答案】②③④【詳解】對①，由二項式的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等可知，又展開式的各項系數(shù)之和為1024，即當時，，又，所以，所以二項式為，則二項式系數(shù)和為，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故①錯誤；對②，由可知展開式共有11項，中間項的二項式系數(shù)最大，即第6項的二項式系數(shù)最大，因為與的系數(shù)均為1，則該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同，所以第6項的系數(shù)最大，故②正確；對③，若展開式中存在常數(shù)項，由通項可得，解得，故③正確；對④，由通項可得，解得，所以系數(shù)為，故④正確.13．【正確答案】【詳解】解：作平面，垂足為，是的垂心，連結交于，連結交于，則，因為，所以，所以是邊的中點，是邊的垂直平分線，所以，平面，平面，所以，，平面，平面，所以平面，平面，所以平面，所以平面平面，在平面內(nèi)作，垂足為，平面平面，所以平面，平面，所以連結交于平面，平面，所以平面，平面，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以，由等邊三角形的高線、中線、角平分線合一，所以是的中心，所以三棱錐是正三棱錐，所以，，，，.14．【正確答案】3【詳解】因為點M滿足，設，則，兩邊平方整理得，即點M的軌跡為圓心，半徑為2的圓，的最小值是M到準線的最短距離，因為N可以選擇在拋物線上，使得N到M的距離加上N到準線的距離最小，圓心到準線的距離是，圓的半徑是2，所以M到準線的最短距離是，因此，的最小值是15．【正確答案】（1）60；（2）91【詳解】解：（1）根據(jù)題意，從5名男生中選出2人，有種選法，從4名女生中選出2人，有種選法，則4人中男生和女生各選2人的選法有種；（2）先在9人中任選4人，有種選法，其中甲乙都沒有入選，即從其他7人中任選4人的選法有種，則甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有種；16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設圓的圓心坐標為，半徑為.因為圓過點和，根據(jù)圓的標準方程.對于點有，即①.對于點有，即②.將②代入①可得.展開得.移項化簡得，即，解得.把代入②得.所以圓的標準方程為.（2）如圖所示，兩圓外離，公切線有四條，由于第二象限內(nèi)的點在圓上顯然滿足題意的是.下面求公切線斜率.顯然斜率存在，設切線.圓心到切線（即）的距離（?），圓心到切線（即）的距離（??），兩個式子比，得到由.化簡得到，則或者.即或者.當時，代入方程（?），得到，兩邊平方整理得，解得或.當時，代入方程（?），同樣得到，解得.由于且由圖知道，因此，.故滿足題意的的斜率為.

17．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）證明：取AB中點O，連接PO，CO，如圖所示，因為是邊長為2的等邊三角形，O為AB中點，所以，且，因為，O為AB中點，所以，且，因為，所以，所以，因為，平面，所以平面，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）得兩兩垂直，則以O為原點，所在直線為x，y，z軸建系，如圖所示，則，所以，設平面的法向量，則，即，令，則，即，所以點到平面的距離（3）設平面PBC的法向量，所以，即，令，則，即，由（2）得平面的法向量，所以，所以，即二面角的正弦值18．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）依題意，個考簽中有個難簽，所以甲抽到難簽的概率是.（2）甲抽到難簽后，還剩個考簽中有個難簽，乙抽到難簽的概率為.（3）“甲、乙兩人有人抽到難簽”的對立事件為“甲、乙都沒抽