2026年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)補(bǔ)差綜合試卷（附答案可下載）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分（核心目標(biāo)：兼顧基礎(chǔ)鞏固與能力提升，分層設(shè)計(jì)題型，基礎(chǔ)題保障學(xué)困生得分，中檔題助力中等生突破，壓軸題供尖子生拓展，實(shí)現(xiàn)培優(yōu)補(bǔ)差同步推進(jìn)，適配不同水平學(xué)生提分需求）考查范圍：覆蓋中考全模塊核心知識(shí)點(diǎn)，基礎(chǔ)層面聚焦實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式分式、方程不等式、基礎(chǔ)函數(shù)與圖形性質(zhì)；提升層面?zhèn)戎睾瘮?shù)綜合、幾何變換、圓的中檔應(yīng)用；培優(yōu)層面設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)幾何、二次函數(shù)壓軸、綜合推理題型，兼顧廣度與深度。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。每題只有一項(xiàng)符合題目要求，1-6題為基礎(chǔ)題，7-9題為中檔題，10題為培優(yōu)題）下列實(shí)數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（）

A.√5B.πC.0.3?D.√2/2

（提分指向：有理數(shù)與無理數(shù)辨析，補(bǔ)差基礎(chǔ)得分點(diǎn)，確保學(xué)困生掌握分類標(biāo)準(zhǔn)）

計(jì)算a2·a3的結(jié)果是（）

A.a?B.a?C.2a?D.2a?

（提分指向：同底數(shù)冪乘法，基礎(chǔ)運(yùn)算，強(qiáng)化學(xué)困生運(yùn)算規(guī)范，規(guī)避簡(jiǎn)單錯(cuò)誤）

關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=2，則m的值為（）

A.1B.-1C.3D.-3

（提分指向：一元一次方程解的應(yīng)用，基礎(chǔ)題型，確保學(xué)困生掌握代入求值方法）

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，則∠A的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.80°D.100°

（提分指向：等腰三角形性質(zhì)，基礎(chǔ)幾何題，補(bǔ)差核心知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用）

一次函數(shù)y=-2x+3的圖象經(jīng)過的象限是（）

A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四

（提分指向：一次函數(shù)圖象性質(zhì)，基礎(chǔ)數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)困生由k、b判斷象限）

已知⊙O的半徑為4，點(diǎn)P到圓心O的距離為3，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓上C.點(diǎn)P在圓外D.無法確定

（提分指向：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，基礎(chǔ)概念，補(bǔ)差得分點(diǎn)）

將拋物線y=x2-2x+3向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線解析式為（）

A.y=x2+2B.y=x2+3C.y=(x+1)2+2D.y=(x-2)2+2

（提分指向：拋物線平移，中檔基礎(chǔ)題，助力中等生掌握“左加右減”規(guī)則，突破平移易錯(cuò)點(diǎn)）

如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，若OA=3，則AC+BD的值為（）

A.6B.9C.12D.18

（提分指向：平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)，中檔題，強(qiáng)化幾何性質(zhì)應(yīng)用，銜接培優(yōu)基礎(chǔ)）

在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，隨機(jī)摸出2個(gè)球，恰好是1紅1白的概率為（）

A.3/5B.6/25C.3/10D.6/10

（提分指向：簡(jiǎn)單概率計(jì)算，中檔題，幫助中等生掌握組合計(jì)數(shù)方法，規(guī)避概率易錯(cuò)點(diǎn)）

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，則四邊形DECF的周長(zhǎng)最小值為（）

A.12/5B.24/5C.5D.6

（提分指向：動(dòng)態(tài)幾何最值，培優(yōu)題，拓展尖子生思維，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合能力）

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。11-14題為基礎(chǔ)題，15題為中檔題，16題為培優(yōu)題）計(jì)算：|-5|-√9=__________。

（提分指向：實(shí)數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算，補(bǔ)差得分點(diǎn)，強(qiáng)化絕對(duì)值與二次根式化簡(jiǎn)）

因式分解：x2-6x+9=__________。

（提分指向：完全平方公式因式分解，基礎(chǔ)代數(shù)式變形，補(bǔ)差核心技能）

不等式3x-2≥1的解集為__________。

（提分指向：一元一次不等式求解，基礎(chǔ)題型，確保學(xué)困生掌握步驟規(guī)范）

已知反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)(1，-2)，則k的值為__________。

（提分指向：反比例函數(shù)解析式，基礎(chǔ)題，補(bǔ)差代入求值能力）

如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，OB=5，OA=3，則AB的長(zhǎng)為__________。

（提分指向：圓的切線性質(zhì)與勾股定理，中檔題，助力中等生綜合應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)）

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△ACP沿AP折疊，點(diǎn)C落在C'處，當(dāng)C'B最小時(shí)，CP的長(zhǎng)為__________。

（提分指向：折疊與最值綜合，培優(yōu)題，拓展尖子生動(dòng)態(tài)幾何思維）

三、解答題（本大題共9小題，共86分。17-20題為基礎(chǔ)題，21-23題為中檔題，24-25題為培優(yōu)題，步驟清晰可得分）（8分）計(jì)算：√12+|1-√3|-2sin60°+(1/2)?1。

（提分指向：實(shí)數(shù)綜合運(yùn)算，基礎(chǔ)題，補(bǔ)差運(yùn)算精準(zhǔn)性，確保步驟得分）

（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：(x-1)2-(x+2)(x-2)，其中x=3。

（提分指向：整式化簡(jiǎn)求值，基礎(chǔ)題，強(qiáng)化平方差與完全平方公式應(yīng)用，補(bǔ)差運(yùn)算規(guī)范）

（8分）

（1）解一元二次方程：x2-5x+6=0；

（2）解分式方程：2/x+1=(x+1)/x（提示：檢驗(yàn)）。

（提分指向：方程求解，基礎(chǔ)題，分式方程檢驗(yàn)提示降低學(xué)困生易錯(cuò)點(diǎn)）

（8分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC且DE=1/2BC。

（提分指向：三角形中位線定理，基礎(chǔ)幾何證明，補(bǔ)差邏輯推理與步驟規(guī)范）

（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠BCD=30°，⊙O的半徑為2。

（1）求∠BAD的度數(shù)；

（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）。

（提分指向：圓的綜合應(yīng)用，中檔題，助力中等生掌握?qǐng)A周角定理與扇形面積公式）

（10分）某服裝店銷售一種服裝，進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件80元時(shí)，每天可賣出20件，售價(jià)每降低2元，每天可多賣出4件。

（1）求每天的利潤(rùn)y（元）與售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（提分指向：二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，中檔題，銜接培優(yōu)，強(qiáng)化建模與最值求解能力）

（10分）為了解全校學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)每周鍛煉時(shí)間（單位：小時(shí)），并繪制了如下頻數(shù)分布表：

鍛煉時(shí)間0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<88≤t<10頻數(shù)（人）51015128（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（2）求這50名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)；

（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)每周鍛煉時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)。

（提分指向：統(tǒng)計(jì)綜合，中檔題，兼顧補(bǔ)差與提升，強(qiáng)化數(shù)據(jù)分析能力）

（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A(-1，0)、B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且在x軸上方，連接PC、PB，求△PBC面積的最大值；

（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得△QBC與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

（提分指向：二次函數(shù)綜合壓軸，培優(yōu)題，拓展尖子生分類討論與數(shù)形結(jié)合思維）

（12分）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，BE=1，點(diǎn)F是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B'處，連接AB'、B'C、B'D。

（1）當(dāng)B'E∥AB時(shí)，求BF的長(zhǎng)；

（2）求證：B'D+B'C≥4√2；

（3）當(dāng)點(diǎn)B'落在正方形對(duì)角線上時(shí)，求BF的長(zhǎng)。

（提分指向：正方形折疊綜合，培優(yōu)題，強(qiáng)化尖子生動(dòng)態(tài)幾何推理與最值證明能力）

參考答案（附分層提分思路，兼顧培優(yōu)與補(bǔ)差）一、選擇題（每小題4分，共40分）C（提分解析：有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，0.3?是無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；√5、π、√2/2均為無理數(shù)。基礎(chǔ)題，學(xué)困生牢記分類標(biāo)準(zhǔn)即可得分）A（提分解析：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，a2·a3=a2?3=a??；A(chǔ)運(yùn)算，規(guī)避指數(shù)相乘的錯(cuò)誤，確保學(xué)困生得分）A（提分解析：將x=2代入方程2×2+m=5，得4+m=5，解得m=1?；A(chǔ)題，代入求值步驟簡(jiǎn)單，學(xué)困生可輕松掌握）C（提分解析：AB=AC，△ABC為等腰三角形，∠B=∠C=50°，∠A=180°-50°-50°=80°。等腰三角形性質(zhì)應(yīng)用，基礎(chǔ)得分點(diǎn)）B（提分解析：一次函數(shù)y=-2x+3中，k=-2<0（過二、四象限），b=3>0（過第一象限），故經(jīng)過一、二、四象限。由k、b判斷象限，基礎(chǔ)數(shù)形結(jié)合）A（提分解析：點(diǎn)到圓心距離d=3，半徑r=4，d<r，故點(diǎn)P在圓內(nèi)?；A(chǔ)概念，牢記位置關(guān)系判定標(biāo)準(zhǔn)）A（提分解析：先將拋物線化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-1)2+2，向左平移1個(gè)單位，x變?yōu)閤+1，得y=x2+2。中檔題，中等生掌握“左加右減”規(guī)則，規(guī)避頂點(diǎn)式變形錯(cuò)誤）C（提分解析：平行四邊形對(duì)角線互相平分，OA=OC=3，OB=OD，AC=6，BD=6（隱含OA=OB，菱形性質(zhì)延伸），故AC+BD=12。中檔題，強(qiáng)化對(duì)角線性質(zhì)綜合應(yīng)用）A（提分解析：總組合數(shù)C(5，2)=10，1紅1白組合數(shù)C(3，1)×C(2，1)=6，概率=6/10=3/5。中檔題，中等生掌握組合計(jì)數(shù)方法即可得分）B（提分解析：設(shè)CD=x，四邊形DECF為矩形，周長(zhǎng)=2(DE+DF)，由相似得DE=4/5(5-x)，DF=3/5x，周長(zhǎng)=2[4/5(5-x)+3/5x]=2(4-1/5x)，x最大為5時(shí)周長(zhǎng)最小為24/5。培優(yōu)題，尖子生通過相似轉(zhuǎn)化線段求最值）二、填空題（每小題4分，共24分）2（提分解析：|-5|=5，√9=3，5-3=2?；A(chǔ)運(yùn)算，確保學(xué)困生得分）(x-3)2（提分解析：完全平方公式，x2-6x+9=(x-3)2?；A(chǔ)因式分解，補(bǔ)差核心技能）x≥1（提分解析：移項(xiàng)得3x≥3，系數(shù)化為1得x≥1?；A(chǔ)不等式求解，步驟規(guī)范即可得分）-2（提分解析：代入點(diǎn)(1，-2)得-2=k/1，解得k=-2?；A(chǔ)題，代入求值直接得分）4（提分解析：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，OA⊥AB，由勾股定理AB=√(OB2-OA2)=√(25-9)=4。中檔題，綜合切線性質(zhì)與勾股定理）3/2（提分解析：點(diǎn)C'在以A為圓心、AC為半徑的圓上，當(dāng)A、C'、B共線時(shí)C'B最小，由相似得CP=3/2。培優(yōu)題，尖子生通過圓的性質(zhì)轉(zhuǎn)化最值條件）三、解答題（共86分）（8分）解：原式=2√3+(√3-1)-2×(√3/2)+2（4分）

=2√3+√3-1-√3+2=2√3+1（8分）

（提分思路：基礎(chǔ)題，分步化簡(jiǎn)，明確特殊角三角函數(shù)值與負(fù)指數(shù)冪含義，學(xué)困生可按步驟得分）（8分）解：原式=x2-2x+1-(x2-4)（4分）

=x2-2x+1-x2+4=-2x+5（6分）

當(dāng)x=3時(shí)，原式=-6+5=-1（8分）

（提分思路：基礎(chǔ)題，強(qiáng)化平方差公式去括號(hào)符號(hào)規(guī)則，學(xué)困生規(guī)避符號(hào)錯(cuò)誤即可得分）（8分）解：（1）因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x?=2，x?=3（4分）；

（2）去分母得2+x=x+1，整理得2=1，無解（6分）；

檢驗(yàn)：分母不為0，但等式不成立，故原分式方程無解（8分）

（提分思路：基礎(chǔ)題，分式方程給出檢驗(yàn)提示，幫助學(xué)困生規(guī)避增根判斷錯(cuò)誤）（8分）證明：延長(zhǎng)DE至F，使EF=DE，連接CF（2分）；

∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE，又∠AED=∠CEF，△AED≌△CEF（SAS）（4分）；

∴AD=CF，∠ADE=∠F，AB∥CF，又D是AB中點(diǎn)，AD=BD，BD=CF（6分）；

∴四邊形BCFD是平行四邊形，故DE∥BC且DE=1/2BC（8分）

（提分思路：基礎(chǔ)證明題，步驟清晰，學(xué)困生掌握中位線定理的構(gòu)造證明方法即可得分）（10分）解：（1）∠BCD=∠BAD（同弧所對(duì)圓周角相等），∠BCD=30°，故∠BAD=30°（4分）；

（2）連接OD，∠AOD=2∠BAD=60°，扇形AOD面積=60π×22/360=2π/3（7分）；

△AOD為等邊三角形，面積=√3，陰影面積=2π/3-√3（10分）

（提分思路：中檔題，中等生掌握?qǐng)A周角與圓心角關(guān)系，結(jié)合扇形面積公式得分）（10分）解：（1）每件利潤(rùn)(x-50)元，銷量=20+4×(80-x)/2=180-2x（件）（4分）；

y=(x-50)(180-2x)=-2x2+280x-9000（6分）；

（2）y=-2(x-70)2+800，當(dāng)x=70時(shí)，最