/黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．2026的相反數(shù)是（

）A．2026 B． C． D．2．中華文明源遠(yuǎn)流長，數(shù)學(xué)與藝術(shù)在傳統(tǒng)文化中交相輝映，繪就了許多充滿智慧的精美圖案．下列圖形中，屬于軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．2025年11月9日，第十五屆全國運(yùn)動會在廣東奧林匹克中心開幕，本屆運(yùn)動會共有14000余名運(yùn)動員參加競技比賽項(xiàng)目．將14000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（

）A． B． C． D．5．如圖為人行天橋的示意圖，若高長為米，斜道長為米，則的值為（

）．A． B． C． D．6．按圖中規(guī)律，第⑩個圖形中黑色三角形的個數(shù)為（

）A． B． C． D．7．將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度后，所得新的拋物線為（

）A． B．C． D．8．將直角三角形紙片按如圖方式折疊兩次再展開，折痕為和．下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)的延長線與邊相交于點(diǎn)，連接．若，則線段的長為（

）A． B． C． D．10．如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊上的一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)，分別為上的一個動點(diǎn)，連接，若，，設(shè)，，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，當(dāng)關(guān)于的函數(shù)的部分圖象如圖2所示，則的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題11．函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是．12．計算：．13．把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為．14．不等式組的解集為．15．如圖，是的切線，為切點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接，若，則度．16．定義運(yùn)算：，例如：，則的運(yùn)算結(jié)果是．17．不透明的袋子中裝有紅、藍(lán)小球各一個，除顏色外無其他差別，隨機(jī)摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個，兩次都摸到相同顏色的小球的概率是．18．如圖，為的直徑，為弦，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)；分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)，作直線；若直線經(jīng)過點(diǎn)，，則弧的長為（結(jié)果保留）．19．在，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，若，，則的長為．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象在第一象限與正方形的兩邊分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，，，線段與相交于點(diǎn)．設(shè)正方形邊長為．有如下結(jié)論：①四邊形與面積相等；②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)；③若，，則直線的解析式為；④的最小值為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題21．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．22．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，每個小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，，都是格點(diǎn)，請用無刻度的直尺按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫出以為一邊的（點(diǎn)為格點(diǎn)），使其面積為4，且一個角的正切值為；（2）在圖2中，畫出以為底邊的等腰（點(diǎn)為格點(diǎn)），且，再作出邊上的高（保留作圖痕跡，體現(xiàn)作圖過程）．此時，線段與的比值為______．23．如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)在第四象限函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在第一象限函數(shù)的圖象上，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在軸上，，連接，．（1）求的值；（2）過點(diǎn)作直線，求直線的解析式．24．如圖，等邊中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)，在上方作等邊，連接．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）不添加任何輔助線，直接寫出與相等的角（不包括）．25．年是中國農(nóng)歷馬年，以生肖馬為主題的玩偶憑借時尚可愛的形象“圈粉”無數(shù)．某商店銷售甲、乙兩種型號以馬為主題的生肖玩偶，已知乙型玩偶的單價是甲型玩偶的單價的倍，用元購買甲型玩偶的數(shù)量比用元購買乙型玩偶的數(shù)量多個．（1）求甲、乙兩種型號玩偶的單價各是多少元？（2）某公司計劃采購兩種型號玩偶共60個作為員工新年禮物，總費(fèi)用不超過3000元，最多可以采購多少個乙型玩偶？26．內(nèi)接于，為直徑，弦交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在弧上，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，求的長．27．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，．（1）如圖1，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在軸上且在點(diǎn)的下方，點(diǎn)在上，，連接，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，連接，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可得．【詳解】解：2026的相反數(shù)是，故選B．2．【正確答案】B【分析】本題考查軸對稱圖形與中心對稱圖形；根據(jù)軸對稱圖形：沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的圖形；中心對稱圖形：繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與自身重合的圖形；即可解答．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形(繞中心旋轉(zhuǎn)與自身重合)；B、是軸對稱圖形(有多條對稱軸)，但繞中心旋轉(zhuǎn)后無法與自身重合，不是中心對稱圖形，符合題意；C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．故選B．3．【正確答案】B【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)數(shù)．【詳解】解：．故選B．4．【正確答案】C【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，掌握主視圖是從幾何體正面看得到的平面圖形是解決本題的關(guān)鍵．得到從幾何體正面看得到的平面圖形即可．【詳解】解：從正面看得到3列正方形的個數(shù)依次為2，1，1．故選C．5．【正確答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理和正切三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握正切三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．先用勾股定理求出的長，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，，∴．∵，，∴,∴．故選D．6．【正確答案】B【分析】本題考查了圖形的變化類問題，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．找到圖形的變化規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：∵第個圖案中有個，即個，第個圖案中有個，即個，第個圖案中有個，即個，第個圖案中有個，即個，，∴第個圖案中有個．∴按此規(guī)律，第⑩個圖案中有個黑色三角形．故選B．7．【正確答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【詳解】解：根據(jù)平移法則得新拋物線的解析式為：．故選C．8．【正確答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是知識點(diǎn)的靈活應(yīng)用；由折疊可得，據(jù)此逐一判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】解：由折疊可得：，∵，∴，∴，∵，∴，A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵，∴，B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵，∴，∵，∴，∴，即：，C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵∴∴，D選項(xiàng)錯誤，符合題意；故選D．9．【正確答案】C【分析】連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，證明垂直平分，得出，根據(jù)三角形面積得出，求出，求出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴．故選C．10．【正確答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)．證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，即，證明得到，可知當(dāng)時，，即，作，根據(jù)三線合一及勾股定理得到，根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵當(dāng)時，，∴，即當(dāng)時，，∴，作，∵，，∴，，∴，∴，∴．故選A．11．【正確答案】x≠4．【分析】根據(jù)分式分母不為0列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，x-4≠0，解得，x≠4，故答案為x≠4．12．【正確答案】【分析】本題考查了二次根式的加法，先化簡，，然后合并同類二次根式即可．【詳解】解：故答案為13．【正確答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．【詳解】解：==14．【正確答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵，先分別解兩個不等式，再求不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為．15．【正確答案】40【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)得，然后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴．∵，∴，∴．∵是的切線，∴，∴．16．【正確答案】【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，根據(jù)定義運(yùn)算規(guī)則，將和代入公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴．17．【正確答案】【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果，找出兩次都摸到相同顏色的小球的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖為：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都摸到相同顏色的小球的結(jié)果數(shù)為2，所以兩次都摸到相同顏色的小球的概率＝＝．故答案為．18．【正確答案】/【分析】本題考查了弧長公式，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識點(diǎn)．連接，由作圖可得，，垂直平分，求出，由,，得到，，然后解，求出，再由弧長公式即可求解．【詳解】解：連接，由作圖可得，，垂直平分，設(shè)，∴，∴∴在中，由得，，∴，∴，∴，∵,，∴，∴在中，∴弧的長度：19．【正確答案】3或5【分析】本題考查的是解直角三角形，根據(jù)題意，分點(diǎn)D在邊上和在邊延長線上兩種情況，結(jié)合解直角三角形求出的長即可解答．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)D在邊上時，如圖，∵在中，，，，∴∴設(shè)，則，又，∴，解得，（負(fù)值舍去），∴，，∵，∴，∴,∴；當(dāng)點(diǎn)D在邊延長線上時，如圖，同理可得．綜上，的長為3或5．20．【正確答案】①③/③①【分析】①運(yùn)用反比例函數(shù)幾何意義得出，求解即可；②運(yùn)用反比例函數(shù)幾何意義得出，推出，再比較即可；③首先求出，并根據(jù)勾股定理求值，再將繞逆時針旋轉(zhuǎn)至，證明，得到，最后求出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線的解析式；④運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值，再用勾股定理求解即可．【詳解】解：①：∵點(diǎn)和點(diǎn)在同一反比例函數(shù)上，∴，即，∴．故①符合題意；②：∵正方形，∴，∵點(diǎn)和點(diǎn)在同一反比例函數(shù)上，∴即∴∴點(diǎn)為中點(diǎn)時，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，故②不符合題意；③由②可得，∴，∴的等腰直角三角形．∵，∴．∵將繞逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，，．．∴．∴三點(diǎn)共線，∵，∴，∴．∵在和中，，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)，點(diǎn)．∵設(shè)直線的解析式為：，代入點(diǎn)，點(diǎn)，，解得：．∴設(shè)直線的解析式為：．故③符合題意；④：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)共線時，有最小值．∵正方形，且邊長為，∴，．∵點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)點(diǎn)，∴．在中，∴．即的最小值為，故④不符合題意．∴符合題意的有①③．21．【正確答案】，【分析】此題考查了分式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．將括號內(nèi)的式子通分運(yùn)算，再將除法化為乘法進(jìn)行約分計算得到最簡結(jié)果，利用特殊角的三角函數(shù)值求出x的值，代入計算即可求出值．【詳解】解：．當(dāng)時，原式．22．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解，【分析】（1）在方格紙中作，使其正切值為，由三角形的面積，確定點(diǎn)和點(diǎn)的位置即可；（2）由矩形的性質(zhì)，可得點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得，根據(jù)勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得線段與的比值．【詳解】（1）解：如圖，的面積為，的正切值為．，．（2）解：如圖，是以為底邊的等腰三角形，為邊上的高．∵，，∴是以為底邊的等腰三角形，由矩形的性質(zhì)可得為的中點(diǎn)，∴，∴是邊上的高，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∴線段與的比值為．23．【正確答案】（1）；（2）．【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)和線段比設(shè)線段的值，再根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)上求點(diǎn)坐標(biāo)，并求出，然后證明四邊形是矩形，根據(jù)等積法求出點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)代入，即可求解；（2）先求直線解析式，再根據(jù)，值相同，設(shè)直線解析式，最后將點(diǎn)代入求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，．∵，設(shè)，則．∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，，∴．∴，．∴．∵，∴四邊形是矩形．∵，，∴．∴．∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴．（2）∵由（1）得四邊形是矩形，∴，，∵，．∵設(shè)直線解析式，∴，解得．∴直線解析式．∵設(shè)直線解析式，又∵，∴，∵點(diǎn)在直線上，∴代入點(diǎn)解得．∴直線解析式．24．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】此題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和證明，再證明，最后利用平行四邊形的判定進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，．在和中，，，，是等邊三角形，，，，．，，．，，．是等邊三角形，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，與相等的角有25．【正確答案】（1）甲、乙兩種型號玩偶的單價分別為元，元；（2）最多可以采購個乙種型號玩偶．【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程和根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系列出不等式的方程．（1）先設(shè)甲型玩偶單價為元，乙型玩偶的單價為元，再求出各自的個數(shù)，根據(jù)甲型玩偶的數(shù)量比乙型玩偶的數(shù)量多個列分式方程即可；（2）先設(shè)采購個乙型玩偶，得出采購個甲型玩偶，根據(jù)總價單價數(shù)量列不等式即可．【詳解】（1）解：