廣東省吳川一中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.82．若，則（）A.0 B.1C. D.23．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-25．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（）A. B.C. D.6．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．若兩個不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確8．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.9．若指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.911．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.12．對于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為__.14．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.15．同時擲兩枚骰子，則點(diǎn)數(shù)和為7的概率是__________.16．拋物線的準(zhǔn)線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長的最大值18．（12分）在數(shù)列中，，，記.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試判斷數(shù)列的增減性，并說明理由19．（12分）若存在常數(shù)，使得對任意，，均有，則稱為有界集合，同時稱為集合的上界.（1）設(shè)，，試判斷A、B是否為有界集合，并說明理由；（2）已知常數(shù)，若函數(shù)為有界集合，求集合的上界最小值.20．（12分）已知橢圓上頂點(diǎn)與橢圓的左，右頂點(diǎn)連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）設(shè)橢圓過，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點(diǎn)，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由22．（10分）已知，：，：.（1）若，為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，即的最小值為，故選：C.2、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D3、B【解析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.4、C【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線上，利用向量共線原理，解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：因?yàn)?，?/，，則，故可得，又△△，則，即，解得，故拋物線方程為：.故選：.6、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.7、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.8、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.9、A【解析】分析可知直線與曲線在上的圖象有兩個交點(diǎn)，令可得出，令，問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，，此時兩個函數(shù)的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)時，由得，可得，令，其中，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時，，作出直線與曲線如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)（且）與三次函數(shù)的圖象恰好有兩個不同的交點(diǎn).故選：A.10、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，所以.故選：D11、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.12、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯誤；利用對數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯誤；對于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】明確程序運(yùn)行的順序，寫出每次循環(huán)的m,n的值，直到判斷符合條件時結(jié)束，即可得到結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，m＝3，n＝2；第二次循環(huán)，m＝6，n＝3；第三次循環(huán)，m＝9，n＝4；第四次循環(huán)，m＝12，n＝5，此時m+n＞15，跳出循環(huán)，故答案為：5.14、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：215、【解析】利用古典概型的概率計(jì)算公式即得.【詳解】依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則可得到數(shù)組共有組，其中滿足的組數(shù)共有6組，分別為，，，，，，因此所求的概率等于.故答案為：.16、【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2p=1，∴其準(zhǔn)線方程是y=，故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對稱，結(jié)合菱形的對角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危傻?，即，即，即，可得，化簡可得，設(shè)菱形的周長為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，滿足①，所以菱形的周長的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問題具體分析，一般涉及弦長計(jì)算問題，運(yùn)算比較繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題。18、（1）證明見解析，（2）數(shù)列單調(diào)遞減.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后用作差法即可判斷其單調(diào)性【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數(shù)列單調(diào)遞減.19、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由見解析（2）【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合B，由此可得結(jié)論；（2）由函數(shù)，得出函數(shù)單調(diào)遞減，即有，分和兩種情況討論，求得集合的上界，再由集合的上界函數(shù)的單調(diào)性可求得集合的上界的最小值.【小問1詳解】解：由得，即，，對任意一個，都有一個，故不是有界集合；，，，，是有界集合，上界為1；【小問2詳解】解：，因?yàn)椋院瘮?shù)單調(diào)遞減，，因?yàn)楹瘮?shù)為有界集合，所以分兩種情況討論：當(dāng)，即時，集合的上界，當(dāng)時，不等式為；當(dāng)時，不等式為；當(dāng)時，不等式為，即時，集合的上界，當(dāng)，即時，集合的上界，同上解不等式得的解為，即時，集合的上界，綜上得時，集合的上界；時，集合的上界.時，集合的上界是一個減函數(shù)，所以此時，時，集合的上界是增函數(shù)，所以，所以集合的上界最小值為；20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設(shè)，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理得到，結(jié)合題意求解即可，當(dāng)切線斜率不存在時，驗(yàn)證即可.【小問1詳解】將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達(dá)定理得，，②因?yàn)?，所以，③將①代入③并整理得，?lián)立②得，④因?yàn)橹本€和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即