/安徽省合肥市第三十八中學(xué)2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)第二次月考試卷一、單選題1．科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進(jìn)了我國新質(zhì)生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標(biāo)中，為中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．在中，，則（

）A． B． C． D．3．已知，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．64．已知，是某函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．5．如圖，五邊形，是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，．若的長為6，則的長為（

）A．3 B．4 C．3.5 D．4.56．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．7．已知在中，，，，則的長（

）A．7 B．8 C．8或17 D．7或178．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，的延長線與邊相交于點(diǎn)D，連接．若，，則線段的長為（

）A．24 B．4.8 C．8 D．9.69．如圖，點(diǎn)在正方形的對角線上，于點(diǎn)，連接并延長，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線于點(diǎn)．若，，則（

）A． B． C． D．10．如圖，在銳角中，，兩動點(diǎn)，分別在，邊上滑動且，，，得矩形，設(shè)的長為，矩形的面積為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是()A． B．C． D．二、填空題11．若，則的值為．12．兩個相似三角形的最長邊分別是和，并且它們的周長之和為，那么較小三角形的周長是．13．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，連接OA，OB，AB．若，則．14．如圖，在正方形中，點(diǎn)E，M分別為，的中點(diǎn)，P為邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接，過點(diǎn)P作，且，連接，．（1）的值為；（2）若，則線段長度的最小值為．三、解答題15．計(jì)算：．16．如圖，在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點(diǎn)（頂點(diǎn)均為網(wǎng)格線的交點(diǎn)）和格點(diǎn)．（1）以點(diǎn)為位似中心將在網(wǎng)格中放大倍得到，請畫出；（2）以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，請畫出．17．如圖，一次函數(shù)（m，n為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式．（2）結(jié)合圖象，請直接寫出不等式的解集．18．明代徐光啟創(chuàng)作的《農(nóng)政全書》成書于萬歷年間，基本囊括了中國明代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民生活的各個方面．書中插圖繪制了古代勞動人民發(fā)明的一種采桑工具——桑梯，如圖1，其模型如圖2所示，已知米，，梯子的踏腳點(diǎn)為D，梯腳為點(diǎn)C，且．請求出踏腳點(diǎn)D距地面的高度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）19．為方便懸掛電子屏幕，物業(yè)公司需要在小區(qū)大門上方的拋物線形框架結(jié)構(gòu)上增加立柱．為此，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了綜合與實(shí)踐活動，記錄如下：活動主題為小區(qū)大門上方的拋物線形框架結(jié)構(gòu)增加立柱活動準(zhǔn)備1．去小區(qū)物業(yè)查閱框架結(jié)構(gòu)的圖紙；2．準(zhǔn)備皮尺等測量工具．采集數(shù)據(jù)圖1是小區(qū)大門及上方拋物線形框架結(jié)構(gòu)的平面示意圖，信息如下：1．大門形狀為矩形（矩形）；2．底部跨度（的長）為；3．立柱的長為，且，垂足為O，．設(shè)計(jì)方案考慮實(shí)用和美觀等因素，在A，D間增加兩根與垂直的立柱，垂足分別為，，立柱的另一端點(diǎn)，在拋物線形框架結(jié)構(gòu)上，其中．確定思路小組成員經(jīng)過討論，確定以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段所在直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，分析數(shù)據(jù)得到點(diǎn)A或點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式，再利用表達(dá)式求出增加立柱的長度，從而解決問題．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一根長度為的材料，如果用它制作這兩根立柱，請你通過計(jì)算，判斷這根材料的長度是否夠用（因施工產(chǎn)生的材料長度變化忽略不計(jì)）．20．如圖，在矩形中，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，顯然點(diǎn)F是線段的二等分點(diǎn)．（1）連接交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，求證：點(diǎn)H是線段的三等分點(diǎn)；（2）請?jiān)趫D中作出線段的一個四等分點(diǎn)（作圖工具不限，保留作圖痕跡，不寫作法）．21．（1）已知，均為銳角，，，求的度數(shù)．如圖1，小亮同學(xué)在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出和（點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上），請你按照這個思路求的度數(shù)．（2）已知，均為銳角，，，則________；（3）已知，，均為銳角，，，，請?jiān)趫D2中自行構(gòu)圖求的值．22．如圖，的對角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊，上，且，E，G分別是與，的交點(diǎn)，F(xiàn)，H分別是與，的交點(diǎn)．

（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若為菱形，且，，求的值．23．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1）求該拋物線的對稱軸；（2）若，且對于該拋物線上的兩點(diǎn)，，當(dāng)，時，均滿足，求t的取值范圍；（3）點(diǎn)和分別在拋物線和上（A，B都不與原點(diǎn)重合）．當(dāng)時，若是一個與無關(guān)的定值p，求p的值．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據(jù)此判斷即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選．2．【正確答案】B【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的定義．根據(jù)銳角三角函數(shù)定義直接進(jìn)行解答，即可．【詳解】解：∵在中，，∴．故選B3．【正確答案】D【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡．根據(jù)，可得，從而得到，然后代入化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選D4．【正確答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性．由題意可得當(dāng)時，y隨x的增大而增大，逐個選項(xiàng)判斷函數(shù)的增減性，即可額解答．【詳解】解：∵當(dāng)時，，即，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．A、對于函數(shù)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；B、對于，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意；C、函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而增大，故該函數(shù)符合題意；D、函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則當(dāng)，y隨x的增大而減小，故該函數(shù)不合題意．故選C5．【正確答案】B【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，證明，即可求解．【詳解】解：∵五邊形是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選B．6．【正確答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與軸交點(diǎn)及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)．本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)中（開口方向）、（對稱軸與共同決定）、（與軸交點(diǎn)）的意義及特殊點(diǎn)函數(shù)值的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)圖象中，開口向上，．對稱軸，又，，即．拋物線與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，．選項(xiàng)A：，，，兩負(fù)一正相乘得正，，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)B：對稱軸，由圖象知對稱軸，即，又，兩邊乘得，，該選項(xiàng)錯誤．選項(xiàng)C：當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，，該選項(xiàng)正確．選項(xiàng)D：當(dāng)時，，由圖象知對應(yīng)的函數(shù)值，，該選項(xiàng)錯誤．故選．7．【正確答案】D【分析】①過作交于，可求，，從而可求，，即可求解；②過作交的延長線于，由即可求解．【詳解】解：①如圖，過作交于，

，，，，，，，；②如圖，過作交的延長線于，

，，；綜上所述：的長為7或17．故選D．8．【正確答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用勾股定理求出的長，通過證明得到，，，再結(jié)合等腰三角形三線合一和面積法求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，在中，，，，∴，∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，∴，∵，∴∴，，∵，，∴，∵∵∴∴，故選B．9．【正確答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，根據(jù)，得出，則，進(jìn)而可得，根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，∴，，，∵，∴，∴，，∴，則，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故選B．10．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意首先求出AD，然后進(jìn)一步證明△AMN～△ABC，據(jù)此利用相似三角形性質(zhì)得出AE=，由此可知MP=，最后列出關(guān)于的函數(shù)解析式，然后再對其進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，交MN于點(diǎn)E，∵銳角△ABC中，BC=6，其面積為12，∴，∴AD=4，∵兩動點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上滑動，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC，得到矩形MPQN，∴MP=ED，△AMN～△ABC，∴，又∵M(jìn)N長為，矩形MPQN的面積為，∴，∴AE=，∴ED=AD?AE=，∴MP=，∴矩形的面積,∴關(guān)于的函數(shù)圖象是二次函數(shù)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(3，6)，∴只有B選項(xiàng)符合，故選B.11．【正確答案】4【分析】本題主要查了比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴．12．【正確答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，兩個相似三角形的周長比等于相似比，由最長邊之比得出相似比，再根據(jù)周長之和求解即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形的最長邊分別是和，∴這兩個相似三角形的相似比為，∴這兩個相似三角形的周長比為，∵這兩個相似三角形的周長之和為，∴較小三角形的周長是.13．【正確答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，過點(diǎn)A作軸于C，過點(diǎn)B作軸于D，可證明，得到，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得到，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作軸于C，過點(diǎn)B作軸于D，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴或（舍去），∴14．【正確答案】；【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，延長交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證明，，得出，進(jìn)而可得，即可得出的值，（2）根據(jù)（1）所求可得點(diǎn)在上運(yùn)動，證明四邊形是平行四邊形，得出，則當(dāng)在上時，取得最小值，此時重合，進(jìn)而解直角三角形，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，連接，，延長交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，∵是的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴，即，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴∴.（2）∵，∴點(diǎn)在上運(yùn)動，∴當(dāng)時，取得最小值，∵，，∴又∵∴四邊形是平行四邊形，∴又∵，即，∴，∴當(dāng)在上，取得最小值時，此時重合，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，在中，，∴，∴，∴，即的最小值為.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，求特殊角三角函數(shù)值，先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，再計(jì)算立方根和零指數(shù)冪，最后計(jì)算加法即可得到答案．【詳解】解：．16．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】本題主要考查了位似圖形、圖形的旋轉(zhuǎn)．分別連接、、，并延長到、、，使、、，連接、、，得到即為所求；分別畫出點(diǎn)、繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、，連接點(diǎn)、、得到即為所求．【詳解】（1）解：如下圖所示，分別連接、、，并延長到、、，使、、，連接、、，得到，即為所求；（2）解：如下圖所示，分別畫出點(diǎn)、繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、，連接點(diǎn)、、得到，即為所求．17．【正確答案】（1）（2）或【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合函數(shù)圖象找到一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得，解得，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：聯(lián)立，解得或，∴直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)和點(diǎn)，由函數(shù)圖象可知，不等式的解集為或，∴不等式的解集為或．18．【正確答案】踏腳點(diǎn)與地面的高度約為米【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)，求出，，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，米，，米，∵，，∴，在中，，（米），答：踏腳點(diǎn)與地面的高度約為米．19．【正確答案】（1）（2）這根材料的長度不夠用，計(jì)算見詳解【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確地求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可；（2）求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，，∴，把代入，得，∴，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：由題意，可知：，∴關(guān)于軸對稱，在中，當(dāng)時，，∴，∵，∴這根材料的長度不夠用．20．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由矩形的性質(zhì)得到，由三線合一定理得到，則由三角形中位線定理可得，，證明可推出，再證明即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作于P，連接交于Q，過點(diǎn)Q作于M，可證明四邊形是矩形，則可證明點(diǎn)M為的中點(diǎn)，而點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則點(diǎn)M為的四等分點(diǎn)．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，交于點(diǎn)E，∴，∵，∴，是的中位線，，，，．，，，∴，，是的一個三等分點(diǎn)．（2）解：如圖所示，過點(diǎn)E作于P，連接交于Q，過點(diǎn)Q作于M，則點(diǎn)M即為所求．21．【正確答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）解直角三角形可得，，則可證明，利用勾股定理及其逆定理可證明，，得到，則可證明是等腰直角三角形，則；（2）根據(jù)特殊角三角函數(shù)值可得的度數(shù)，進(jìn)而可得答案；（3）構(gòu)造解析圖中的，可證明；同理可證明，解直角三角形得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）如圖所示，取格點(diǎn)E、F，連接，在中，，在中，，∴由網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得，，，∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）∵，均為銳角，，，∴，∴；（3）如圖所示，，∴，∴，∴；由網(wǎng)格的特點(diǎn)和勾股定理可得，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．22．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）先證明四邊形是平行