/湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡集團(tuán)2025?2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3=a5 B．a(chǎn)+a=a2C．（a2）3=a5 D．a(chǎn)2（a+1）=a3+12．下面各組線(xiàn)段中，能組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．4，4，8 C．5，4，10 D．6，7，143．下列結(jié)論正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)圖形是全等形B．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形C．全等三角形的面積相等D．兩個(gè)等邊三角形全等4．在中，，，（

）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，已知，，下列條件中，無(wú)法判定的是（

）

A． B． C． D．8．尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法．如圖，為了得到，在用直尺和圓規(guī)作圖的過(guò)程中，得到的依據(jù)是：（

）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS9．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分線(xiàn)交AB于D，交BC于E，則△ADC的周長(zhǎng)等于（）A．4 B．6 C．10 D．1610．如圖，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分線(xiàn)BP、CP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，則下列結(jié)論：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．若a+b=2，a－b=3，則a2－b2=．12．如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充條件：．13．生活中處處有數(shù)學(xué)，起重機(jī)的底座、自行車(chē)的支架都是采用三角形結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，是因?yàn)槿切尉哂校?4．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第塊．15．一個(gè)三角形的三邊為3，6，，另一個(gè)三角形的三邊為，3，7，若這兩個(gè)三角形全等，則．16．如圖，在中，，是的平分線(xiàn)．若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．三、解答題17．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19．如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．（1）畫(huà)出與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．20．若已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．21．如圖，在中，，點(diǎn)，分別在邊，上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22．如圖，為等邊三角形，，相交于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)．23．定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“麓山數(shù)”，即：若正整數(shù)（，為正整數(shù)，且），則稱(chēng)正整數(shù)為“麓山數(shù)”．例如：，，所以和都是“麓山數(shù)”．（1）根據(jù)定義，請(qǐng)寫(xiě)出最小的“麓山數(shù)”是______，兩位數(shù)中最大的“麓山數(shù)”是______；（2）求證：除以外的所有正奇數(shù)都是“麓山數(shù)”；（3）將所有麓山數(shù)從小到大排列，請(qǐng)求出第個(gè)“麓山數(shù)”是多少．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，連接，點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（，兩點(diǎn)不重合），且．連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接，求的面積．

答案1．【正確答案】A【詳解】A．a(chǎn)2?a3=a5，故此選項(xiàng)正確；B．a(chǎn)+a=2a，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．（a2）3=a6，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．a(chǎn)2（a+1）=a3+a2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可判斷.【詳解】A.2+3＞4，可構(gòu)成三角形，符合題意；B.4+4=8，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C.5+4＜10，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D.6+7＜14，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；故選A．3．【正確答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、應(yīng)為形狀相同，大小相等的兩個(gè)圖形是全等形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、應(yīng)為對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形是全等三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、全等三角形的面積相等，正確，故本選項(xiàng)正確；D、應(yīng)為兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．4．【正確答案】B【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，理解并掌握三角形內(nèi)角和的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，即可求解．【詳解】解：在中，，，∵，∴，故選．5．【正確答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選D．6．【正確答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可求解，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵圖中的兩個(gè)三角形全等，是兩邊的夾角，∴，故選．7．【正確答案】D【分析】由全等三角形的判定依次判斷可求解．【詳解】A、添加，由“”可證，故選項(xiàng)A不符合題意；B、添加，由“”可證，故選項(xiàng)B不符合題意；C、添加，由“”可證，故選項(xiàng)C不符合題意；D、添加，不能證明，故選項(xiàng)D符合題意；故選D．8．【正確答案】C【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，明確尺規(guī)作圖所隱含的條件成為解題的關(guān)鍵．由尺規(guī)作圖可知：、，然后根據(jù)全等三角形的判定定理即可解答．【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：、，∴．故選C．9．【正確答案】D【分析】根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，DC=DB，從而等量代換求解.【詳解】解：∵DE是BC的垂直平分線(xiàn)，∴DC＝DB，∴△ADC的周長(zhǎng)＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16，故選D．10．【正確答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PN＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴AP平分∠EAC，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，∴∴∠BAC＝2∠BPC，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選D11．【正確答案】6、【詳解】試題分析：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6．故答案是6．考點(diǎn)：平方差公式．12．【正確答案】【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本題考查直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定方法．【詳解】證明：在和中，，∴．13．【正確答案】穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，三角形具有穩(wěn)定性，這是初中數(shù)學(xué)中三角形的基本性質(zhì)，適用于需要固定結(jié)構(gòu)的應(yīng)用．【詳解】解：三角形的穩(wěn)定性是指當(dāng)三角形的三邊長(zhǎng)度確定時(shí)，其形狀和大小唯一確定，不會(huì)發(fā)生變形．而其他多邊形（如四邊形）則容易變形．起重機(jī)的底座和自行車(chē)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)，正是利用了三角形的這一性質(zhì)來(lái)確保結(jié)構(gòu)的牢固和穩(wěn)定．14．【正確答案】4【分析】本題主要考查三角形全等的判定，本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可得到結(jié)論．【詳解】解：1、2、3塊玻璃不同時(shí)具備包括條一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合，滿(mǎn)足三角形全等的條件，是符合題意的.15．【正確答案】1【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，兩個(gè)三角形全等，則對(duì)應(yīng)邊相等．通過(guò)比較兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)度，從而求出x和y的值，則可得到答案．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)可得，∴.16．【正確答案】【分析】由等腰三角形的三線(xiàn)合一可得出垂直平分，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，則此時(shí)取最小值，最小值為的長(zhǎng)，在中，利用面積法可求出的長(zhǎng)度，此題得解．本題考查了垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線(xiàn)合一，等面積法，垂線(xiàn)段最短，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是的平分線(xiàn)，∴垂直平分，∴．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)P，如圖所示．則此時(shí)取最小值，最小值為的長(zhǎng)，∵∴．17．【正確答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可；．（3）利用完全平方公式計(jì)算即可；（4）利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式．18．【正確答案】﹣8x＋13，21【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)即可化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算可得．【詳解】原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9）

=4x2-8x+4-4x2+9

=﹣8x+13，當(dāng)x=-1時(shí)，原式=8+13=21．19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解，（2）【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱(chēng)：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此得到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，描出并順次連接即可；（2）利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；∵與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，∴．（2）解；由題意得，．20．【正確答案】（1）8；（2）．【分析】本題考查了完全平方公式、熟練掌握運(yùn)算法則，采用整體代入的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方和公式，結(jié)合已知條件恒等變形，代值求解即可得到答案；（2）將兩個(gè)已知等式相減求解即可得到答案．【詳解】（1）解：①，②，①②得：，則．（2）①②得：，即．21．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）．【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為．（1）根據(jù)，得，即可求證；（2）由，得到；即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，（）（2）解：，，，，，即的度數(shù)為．22．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）7【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)證明與全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出，進(jìn)而由直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．23．【正確答案】（1），（2）見(jiàn)詳解（3）【分析】本題考查了整數(shù)問(wèn)題的綜合運(yùn)用，新定義運(yùn)算問(wèn)題，平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出規(guī)律，從而得出答案．（1）根據(jù)“麓山數(shù)”的定義和規(guī)律即可解答；（2）設(shè)，根據(jù)“麓山數(shù)”的定義進(jìn)行解答即可；（3）由（2）可知除以外的所有正奇數(shù)都是“麓山數(shù)”，再通過(guò)總結(jié)偶數(shù)中“麓山數(shù)”的特點(diǎn)，即可得解．【詳解】（1）解：由平方差公式知，無(wú)法分解成整數(shù)的平方差形式，，，均為正整數(shù)，最小的“麓山數(shù)”是，，兩位數(shù)中最大的“麓山數(shù)”是.（2）解：設(shè)，，，符合定義，又，，除以外的所有正奇數(shù)都是“麓山數(shù)”；（3）解：由（2）可知除以外的所有正奇數(shù)都是“麓山數(shù)”，又偶數(shù)中也存在“麓山數(shù)”，故討論偶數(shù)是“麓山數(shù)”的特點(diǎn)．設(shè)，且為偶數(shù)，則，為偶數(shù)，故因式與為一奇一偶或兩個(gè)偶數(shù)．當(dāng)與為一奇一偶時(shí)，奇偶奇數(shù)，，為正整數(shù)，為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾，故與不可能為一奇一偶；當(dāng)與為兩個(gè)偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，，，均為正整數(shù)，且，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，除之外所有的倍數(shù)是“麓山數(shù)”．以?xún)?nèi)（含）除掉有個(gè)奇數(shù)為“麓山數(shù)”，以?xún)?nèi)（含）以外是的倍數(shù)的偶數(shù)共有個(gè)數(shù)為“麓山數(shù)”，合計(jì)個(gè)“麓山數(shù)”，第個(gè)“麓山數(shù)”是，第個(gè)“麓山數(shù)”是，第個(gè)“麓山數(shù)”是．24．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2），理由見(jiàn)詳解；（3）1．【分析】（1）根據(jù)，，可得，，從而得證；（2）當(dāng)在點(diǎn)左邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明，得到，，再證明，得到，從而得到與的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)在點(diǎn)右邊時(shí)，由，，可知，同理可證，有，則，同理可證，從而得到與的數(shù)量關(guān)系；（3）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，先證明是等邊三角形，，設(shè)，然后結(jié)合角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，表示出，，，，然后利用表示出，