第15章軸對稱復(fù)習(xí)課前練:先化簡再求值：

課前練:(1)分解因式：a3-2a2+a(2)解方程：(1)分解因式a3-2a2+aa3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2

軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后，這個圖形的兩部分能夠重合；兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合性質(zhì)：1.兩個圖形全等2.連接對稱點的線段被對稱軸垂直平分作線段的垂直平分線1.過對稱點作垂線，求出點的位置2.描點3.連線點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(x，-y)點(x，y)關(guān)于y軸對稱的點坐標(biāo)為(-x，y)線段的垂直平分線性質(zhì)判定等邊對等角有兩個角相等的三角形(等角對等邊)三線合一三個內(nèi)角都相等都為60°三線合一三個角都相等的三角形有一個角等于60°的等腰三角形30o角所對的直角邊等于斜邊的一半1.下列是四款常用的人工智能大模型的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是()2.如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠A＝65°，∠B＝80°，則∠F＝（）A．80°B．65°C．45°D．35°3.在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2，－1)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為()A．(2，1)B．(－2，1)C．(－2，－1)D．(1，－2)4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．若BD＝5，則CD＝()A．3B．4C．5D．6CD成軸對稱的兩個圖形全等∠F＝∠C=180°-∠A-∠B坐標(biāo)與對稱：點(x，y)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(x，-y)A等腰三角形：三線合一C55.若一個等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則該等腰三角形的周長是()A．12B．13C．15D．12或156.如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC＝45°，則∠ACE的度數(shù)為（）A．18°B．20°C．30°D．15°7.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，則AD的長為()A．2B．4C．6D．8等腰三角形：兩腰相等C等邊三角形：三線合一D含30°角的直角三角形D三角形的三邊關(guān)系ED是BC的垂直平分線∴BE=CE∴∠EBC=∠ECD=45°(等邊對等角)∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=60°-45°60°90°∴∠1=90°-∠DBC＝30°1∴BD=2BC＝848∵∠1=∠A+∠ABD(三角形外角的性質(zhì))∴∠ABD=∠1-∠A=15°∴AD=BD(等角對等邊)8.命題“如果兩個實數(shù)相等，那么這兩個實數(shù)的平方相等”的逆命題是：

．9.如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使點A，B分別落在點M，N處．若∠1＝40°，則∠AEF的度數(shù)為__________．10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是線段AD，AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是__________．如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等逆命題110°軸對稱23∠2＝∠3=(180°-∠1)÷2=70°最短路徑問題4.811.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝5.(1)作BC的垂直平分線DH，分別交AB，BC于點D，H；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下，連接CD，求△BCD的周長.解：(1)DH如圖所示·D·H(2)如圖，連接CD∵DH垂直平分BC∴CD＝BD(線段垂直平分線的性質(zhì))∴∠1＝∠B(等邊對等角)∵∠ACB＝90°∴∠1＋∠2＝90°∠B＋∠A＝90°(直角三角形兩銳角互余)∴∠2＝∠A(等角的余角相等)∴CD＝AD(等角對等邊)∴△BCD的周長為CD＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝8＋5＝131212.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點的坐標(biāo)分別為A(－2，4)，B(－4，2)，C(－3，1).(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)；(2)求△A1B1C1的面積；(3)若在y軸上有一點P，使得線段AP＋B1P的值最小，請你在圖中標(biāo)出點P的位置，并直接寫出點P的坐標(biāo)．解:(1)△A1B1C1如圖所示A1(－2，-4)，B1(－4，-2)，C1(－3，-1)·A1B1··C1(3)點P如圖所示·A'·PP(0，2)13.如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于點F.（1）求證：BE＝AD；（2）過點B作BG⊥AD于點G.求證：BF＝2FG證明:(1)∵△ABC是等邊三角形∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°(2)∵△ABE≌△CAD∴∠1＝∠2∴∠4＝∠1＋∠BAF(三角形外角的性質(zhì))＝∠2＋∠BAF(等量待換)＝∠BAC＝60°∵BG⊥AD∴∠BGF＝90°∴∠3＝90°－∠4＝90°－60°＝30°(直角三角形兩銳角互余)∴BF＝2FG∴△ABE≌△CAD（SAS）∴BE＝AD在△ABE和△CAD中AB＝CA∠BAE＝∠CAE＝CD1243【教材呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第86頁《探究與發(fā)現(xiàn)》有這樣一段話：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．那么，不相等的邊（或角）所對的角（或邊）之間的大小關(guān)系怎樣呢？大邊所對的角也大嗎？為了探究不等邊（或角）所對角（或邊）之間大小關(guān)系，在數(shù)學(xué)活動課上，王老師給出如下問題：如圖①，在△ABC中，AB＞AC，求證：∠ACB＞∠B.a.如圖②，小濤認(rèn)為：作∠BAC的平分線AE.∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，連接DE，利用三角形全等以及三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰內(nèi)角即可證明．b.如圖③，小亮認(rèn)為：∵AB＞AC，∴在AB邊上截取AD＝AC，連接CD，利用等腰三角形性質(zhì)以及三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰內(nèi)角即可證明．請你選擇一名同學(xué)的解題思路，完成他的證明過程1234選小亮：∵AD＝AC∴∠3＝∠4

∵∠3＝∠B+∠BCD(三角形外角的性質(zhì))∴∠3＞∠B∴∠4＞∠B(等量代換)∵∠ACB＞∠4∴∠ACB＞∠B證明：選小濤：∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2AD=AC在△ADE與△ACE中∠1=∠2AE=AE∴△ADE≌△ACE（SAS）∴∠ADE＝∠C∵∠ADE=∠B+∠BED(三角形外角的性質(zhì))∴∠ADE＞∠B∴∠C＞∠B(等量代換)【類比分析】根據(jù)上述過程可以看出，利用軸對稱的性質(zhì)，可以把研究邊與角之間的不等問題，轉(zhuǎn)化為較大量的一部分與較小量相等的問題．為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，王老師又提出下面的問題，請你解答．如圖①，在△ABC中，∠ACB＞∠B.求證：AB＞AC.12證明：如圖②，作∠BAC的平分線AE交BC于點E.∴∠1＝∠2∵∠ACB＞∠B∴可在線段AB上取點D，使得∠ADE＝∠C∠1=∠2在△ADE與△ACE中∠ADE＝∠CAE=AE∴△ADE≌△ACE（AAS）∴AD＝AC∵點D在邊AB上，AD＝AC∴AB＞AD，即AB＞AC【知識應(yīng)用】如圖④，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，AB＞AC＋CD.求證：∠C＞2∠B12∵AB＞AC＋CD，∴如圖，在EB上取點F，使EF＝ED，連接DF∴∠5＝∠6(等邊對等角)∴∠AED＝2∠5(三角形外角的性質(zhì))∵∠5=∠B+∠BDF(三角形外角的性質(zhì))∴∠5＞