初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級下冊第二十一章四邊形21.3.3

正方形第2課時

正方形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并證明正方形的判定.

(重點)2.會運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計算.

(難點)課堂引入1.什么是正方形?正方形有哪些性質(zhì)?2.矩形、菱形的判定方法有哪些?一

、

正方形的判定問題1

預(yù)習(xí)課本P77~P78思考：(1)準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照如圖方式折疊，然后展開，折疊部分得到一個正方形，可測量驗證.滿足怎樣條件的矩形是正方形?提示一組鄰邊相等的矩形是正方形.(2)證一證：對角線互相垂直的矩形是正方形.如圖，在矩形ABCD

中

，AC,DB

是它的兩條對角線，

且ACLDB.求證：四邊形ABCD是正方形.提示

∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO,∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.C問題2預(yù)習(xí)課本P77~P78思考：(1)把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.滿足怎樣條件的菱形是正方形?提示有一個角是直角的菱形是正方形.量量看是不是正方形.(2)證一證：對角線相等的菱形是正方形.如圖，在菱形ABCD

中

，AC,DB

是它的兩條對角線，

AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.提示

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC

是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴菱形ABCD是正方形.C知識梳理正方形的判定的幾種途徑：先判定矩形

菱形條件(二選一)先判定菱形

矩形條件(二選一)一組鄰邊相等，

且一內(nèi)角是直角一個直角/

對角線相等一組鄰邊相等

對角線垂直平行四

邊形正方

形正方

形正方

形例1

(課本P77例6)如圖，E,F,G,H

分別是正方形ABCD

四條邊上的點，且

AE=BF=CG=DH.

求證：四邊形EFGH

是正方形.證明

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA,又AE=BF=CG=DH,∴EB=FC=GD=HA,∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,∴HE=EF=FG=GH.H

2FAEk3BDGC例1

(課本例6)如圖，E,F,G,H

分別是正方形ABCD

四條邊上的點，且

AE=BF=CG=DH.

求證：四邊形EFGH

是正方形.證明

∴四邊形EFGH是菱形，∵△AEH≌△BFE,∴∠2=∠3,又∠1+∠2=90°,∴∠1+∠3=90°

,∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.四邊形EFGH是正方形.Ek3BA

H

D2FGCP77跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖，在四邊形ABCD

中，0是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是A.AC=BD,AB//CD,AB=CDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC解析對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.B.AD//BC,∠BAD=∠BCDCAO=BO=CO=DO,AC⊥BDD

C(2)如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°,∠BAC,∠ABC點E,DF⊥BC

于點F.求證：四邊形CEDF為正方形.證明

∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°,∴四邊形

CEDF

是矩形.過點D

作DG⊥

AB

于點G(圖略).∵AD是∠CAB的平分線，∴DE=DG.同理DG=DF,∴DE=DF.四邊形

CEDF為正方形.的平分線交于點D,DE⊥AC

于A

B正方形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例2如圖，在正方形ABCD

中，動點E

在AC

上，AF⊥AC,垂足為A,AF=AE.E(1)求證：BF=DE;證明在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°,∵AF⊥AC,

∴∠EAF=90°,∴∠BAF=∠DAE,在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(SAS),BF=DE.F<DACB例2如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC,垂足為A,AF=AE.(2)當(dāng)點E

運(yùn)動到AC

的中點時(其他條件都保持不變),四邊形AFBE

是什么特殊四邊形?請說明理由.解

當(dāng)點E

運(yùn)動到AC

的中點時，四邊形AFBE

是正方形，理由：∵點E

運(yùn)動到AC

的中點，AB=BC,∴.BEIAC,∵AF=AE,∴BE=AF=AE.又∵

BE⊥AC,AF⊥AC,GDECABF<解

∴∠FAE=∠BEC=90°,∴BE//AF,∵BE=AF,∴四邊形AFBE

是平行四邊形，

∵∠FAE=90°,AF=AE,∴□AFBE

是正方形.垂足為A,AF=AE.(2)當(dāng)點E

運(yùn)動到AC

的中點時(其他條件都保持不變),四邊

形AFBE

是什么特殊四邊形?請說明理由.例2如圖，在正方形ABCD中，動點E在AC上，AF⊥AC,F<BECDA跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在正方形ABCD

中，點E是邊AB

的中點，過點A作

DE的垂線，垂足為F,過點B作DE的垂線，垂足為G,過點A作BG的

垂線，垂足為H.求證：四邊形AFGH是正方形.證明

由題意，得∠

AFG=∠FGH=∠AHG=90°,∴四邊形AFGH是矩形，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°,∵∠DAF+∠FAE=90°,∠HAB+∠FAE=90°,∴∠DAF=∠BAH,在△

AFD和△AHB中，∴△AFD≌△AHB(AAS),∴AF=AH,∴四邊形AFGH是正方形.B一個角是直角且

正方形一

組

鄰

邊

相

等一個角是直角或?qū)蔷€相等矩形一組鄰邊相等

或?qū)蔷€垂直

課堂小結(jié)平行四邊形對角線垂直5種判

定方法菱形四邊形三個角是直角課堂練習(xí)1.下列命題正確的是A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形課堂練習(xí)2.如圖，已知四邊形ABCD

是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是A.當(dāng)AB=BC時，四邊形ABCD是菱形B.

當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C.

當(dāng)∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形BCD

當(dāng)

AC=BD時，四邊形ABCD是正方形課堂練習(xí)3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC;

②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD

四個條件中，選兩個作為補(bǔ)充條件后，使得四邊

形ABCD是正方形，其中錯誤的組合是

②③和①④(只填寫序號).課堂練習(xí)4.如圖，在四邊形ABCD

中，AB=BC,對角線BD

平分∠ABC,P是BD

上一點，過點P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.(1)求證：∠ADB=∠CDB;證明

∵對角線BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中

，∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.C課堂練習(xí)4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,

對角線BD平分∠ABC,P是BD

上一點，過點P作PM⊥AD,PN⊥CD,

垂足分別為M,N.(2)當(dāng)∠ADC=

時，四邊形MPND是正方形，并說明理