總分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡兩個(gè)集合，即可根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義，結(jié)合圖形求解.詳解】由，可得或，，故或由圖可知陰影部分表示的集合為，故選：D2.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則（）A. B.20C D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后利用純虛數(shù)的概念求得，進(jìn)而由求解即可.【詳解】，且為純虛數(shù)，，，，．故選：B．3.生物興趣小組在研究某種流感病毒的數(shù)量與環(huán)境溫度之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)在一定溫度范圍內(nèi)，病毒數(shù)量與環(huán)境溫度近似存在線性相關(guān)關(guān)系，為了尋求它們之間的回歸方程，興趣小組通過實(shí)驗(yàn)得到了下列三組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的回歸方程為：，但由于保存不妥，丟失了一個(gè)數(shù)據(jù)（表中用字母m代替），則（）溫度（）病毒數(shù)量（萬個(gè)）A. B. C. D.m的值暫時(shí)無法確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)可得解.【詳解】由已知，，即樣本中心為，又回歸方程為，即，解得，故選：B.4.已知向量，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由求，由求，代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以向量在上的投影向量?故選:A.5.已知函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)圖象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，可根據(jù)為偶函數(shù)和得到正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，則為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)A、B，又，故排除選項(xiàng)C；故選：D.6.下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則（）1234PA B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，利用對(duì)立事件概率性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以．故選：B.7.函數(shù)單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求的范圍，然后在解抽象不等式.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，在上單調(diào)遞增，于是單調(diào)遞增時(shí)只需，則；又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，即于是.故選：C8.已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，從而得到新函數(shù)的單調(diào)性，然后再對(duì)要求的不等式變形，變成“”的形式，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“”，從而解得答案.【詳解】因?yàn)槎x在上，所以中的式子要有意義，需滿足，解得.因?yàn)?，所以，即，設(shè)函數(shù)，則在定義域上單調(diào)遞減.要求，則當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，解得或，所以；當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，解得；在中，令得，而在中，當(dāng)時(shí)，有，顯然成立；綜上，的解集為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，則B.數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為2，則，，，…，的平均數(shù)為6C.在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為10.D.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)二項(xiàng)分布得到，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可判斷A選項(xiàng)正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可判斷B選項(xiàng)正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和求解的值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)進(jìn)行求解即可；對(duì)于選項(xiàng)D，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)即可判斷D選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，.故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，，，…，的平均?shù)為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，已知各項(xiàng)系數(shù)和為，則令，得：，解得：.由的展開式中第項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，得：，即項(xiàng)的系數(shù)為.故C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，服從正態(tài)分布，，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確結(jié)論的是（）A.異面直線和所成的角為B.與平面所成角的正切值為C.D.直線平面【答案】BC【解析】【分析】利用中位線性質(zhì)及異面直線所成角的概念可知為異面直線與所成的角，然后在等邊三角形中求解判斷A；根據(jù)線面角的概念可知即為所求，然后在直角三角形求解判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直判斷C；利用向量法判斷與不垂直，然后利用線面垂直的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A：連接是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，.在正方體中，由且，可得四邊形為平行四邊形，因此，則，為異面直線與所成的角.連接，易知為等邊三角形，因此，即異面直線與所成角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)槠矫媾c平面所成角為，不妨設(shè)正方體的棱長為2，在直角三角形中，，故B正確；對(duì)于C：由B選項(xiàng)正方體的棱長為2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因此，，故C正確；對(duì)于D：同選項(xiàng)C有，假設(shè)平面成立，因?yàn)槠矫?，則必有.與不垂直，與假設(shè)矛盾，因此不垂直于平面.故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列 B.當(dāng)時(shí)，最大C.使得成立的最小自然數(shù) D.數(shù)列中的最小項(xiàng)為【答案】ABD【解析】【分析】由條件分析出，，，求出公差，即可判斷A，B；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，即可判斷C；分別判斷當(dāng)，，時(shí)，的正負(fù)，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定最小項(xiàng)，即可判斷D.【詳解】由，可得，由，可得，即，又因?yàn)?，所?因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A正確；由A知數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，所以當(dāng)時(shí)，最大，故B正確；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可知，，，所以使得成立的最小自然數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以在時(shí)為增函數(shù)，所以數(shù)列中的最小項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在拋物線C：上，則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為__________．【答案】2【解析】【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程，求出及準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€C：上，所以，解得，故拋物線C的準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為__________．【答案】【解析】【分析】由全概率公式即可處理.【詳解】設(shè)=“任取一個(gè)X光片為次品”，=“X光片為某廠生產(chǎn)”（甲、乙、丙廠依次對(duì)應(yīng)）則,且兩兩互斥.由題意可得：,14.已知函數(shù)，過點(diǎn)有三條直線與的圖象相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)問題，然后列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線與的圖象相切于點(diǎn)，則切線斜率，由切線過點(diǎn)，得，因此，整理得.令，則，原問題等價(jià)于有三個(gè)不同零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，最多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極大值為，極小值為，要使有三個(gè)零點(diǎn)，需滿足且，即，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，極大值為，要使有三個(gè)零點(diǎn)，需滿足且，即，解得；綜上，的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前的成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；并求強(qiáng)化訓(xùn)練后的成績的60%分位數(shù).（2）規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”.強(qiáng)化訓(xùn)練是否優(yōu)秀合計(jì)優(yōu)秀非優(yōu)秀強(qiáng)化訓(xùn)練前

強(qiáng)化訓(xùn)練后

合計(jì)

將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？附：，.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）平均數(shù)為，分位數(shù)為；（2）表格見解析，認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求各組的頻率，結(jié)合平均數(shù)和分位數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；（2）完善列聯(lián)表，求值，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)思想分析判斷.【小問1詳解】因?yàn)閺?qiáng)化訓(xùn)練前的各組頻率分別為，，，，，；強(qiáng)化訓(xùn)練前的成績的平均數(shù)，強(qiáng)化訓(xùn)練后的各組頻率分別為，，，，，又因?yàn)榍叭M頻率之和為，前四組頻率之和為，可知分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)分位數(shù)為，則，解得，所以分位數(shù)約為；【小問2詳解】零假設(shè)為：跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無關(guān)，補(bǔ)充完整的表格為

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān).16.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求使成立的的集合；（2）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由輔助角公式得到，結(jié)合最大值求解，再由即可求解；（2）由（1）求得，再結(jié)合三角形面積公式及余弦定理即可求解.【小問1詳解】，最大值為，所以，即，則，即，即，即，所以的解集為：【小問2詳解】因?yàn)?，即，即，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，得，又的面積為，即，得，又則即，所以周長為.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)，時(shí)，解關(guān)于的方程；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)解析式；（3）在（2）的前提下，函數(shù)滿足，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）將，代入，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，解方程進(jìn)而可得的值；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；（3）化簡可得，代入不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，利用換元法及基本不等式直接求最值.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，．即，解得：或（舍去），∴；（2）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即即恒成立，解得：，，或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足函數(shù)的定義域?yàn)?，．?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，∴，則不等式恒成立，即恒成立即恒成立，設(shè)，則，即，恒成立，由平均值不等式可得：當(dāng)時(shí)，取最小值．故，即實(shí)數(shù)m的最大值為．【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和（2）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），（2）存在，，【解析】【分析】（1）設(shè)出公差，得到方程組，求出公差，得到通項(xiàng)公式，并利用錯(cuò)位相減法求和；（2）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，得到方程，得到，求范圍，即得結(jié)論.【小問1詳解】由題意在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，得，則，又，，成等比數(shù)列，∴7，，成等比數(shù)列，得，即，得，∴，，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（）．∴，∴【小問2詳解】若存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等比數(shù)列，則，即，化簡得：，解得：又且，所以，，故存在正整數(shù)，，使得，，成等比數(shù)列.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若，是的極值點(diǎn)，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再由點(diǎn)斜式方程求解即得；（2）依題意，將在上恰有2個(gè)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)問題，求導(dǎo)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，作出其圖象數(shù)形結(jié)合即可求得參數(shù)的范圍.（3）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)題設(shè)可得，由代入化簡并放縮得到，令，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，得到，即得，則得證【小問