（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求集合.【詳解】，則.故選：C.2.已知扇形的圓心角為150°，其弧長為，則這個扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)弧長求出半徑，再由扇形的面積公式求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，扇形的圓心角為150°，即所以弧長為，則這個扇形的面積為故選：B3.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用必要不充分條件判斷即可.【詳解】若，取，，但是無意義，所以由“”推不出“”，若“”，則，所以可得，所以由“”可推出““，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．4.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡計算即可得解.【詳解】.故選：C.5.已知、、，則下列結(jié)論中正確的有（）A.若且，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】利用作差法可判斷ABC選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，若且，則，可得，A錯；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，，則，即，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，則，則，即，C錯；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時，，D錯.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)即可判斷大小關(guān)系.【詳解】，，，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了比較指對數(shù)的大小，應(yīng)用了指對數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)，屬于簡單題.7.若是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為或，兩種情況來分類討論，而函數(shù)和時x的取值范圍可根據(jù)為奇函數(shù)和單調(diào)性求出.【詳解】∵是R上的奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù).∴在內(nèi)也是增函數(shù)，又，，.當(dāng)時，；時，；或可解得或，∴不等式的解集是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，解不等式過程中運(yùn)用了分類討論的思想.題目難度較易.8.已知函數(shù)定義域?yàn)?，，，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得在上遞增，然后將化為，由單調(diào)性結(jié)合定義域可得答案.【詳解】由條件得，，，在上遞增.由得，則或．故選：B．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列命題是真命題的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)C.若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則D.函數(shù)的零點(diǎn)是【答案】BC【解析】【分析】對于A，直接寫出命題“，”的否定，即可求解；對于B，利用相同函數(shù)的判斷方法，即可求解；對于C，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，即可求解；對于D，利用函數(shù)零點(diǎn)的定義，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)槊}“，”的否定是“，”，所以選項(xiàng)A錯誤，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以與定義域相同，表達(dá)式相同，故函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到，故選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D，令，得到，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，故選項(xiàng)D錯誤，故選：BC.10.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】由，得，解得（負(fù)值舍去），則正確.由，得，則B，D正確.由，得，解得，則錯誤故選：ABD11.已知函數(shù)，若有四個解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.0 B.C.的最小值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)對稱性和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可求出．【詳解】作出函數(shù)的圖象，因是方程的四個互不相等的解，則，A選項(xiàng)正確；因?yàn)?，則有，是方程的兩個根，必有，因?yàn)?，所以，所以，所以，B選項(xiàng)正確；，因，且，所以，C選項(xiàng)錯誤；，是方程的兩個不等根，則，即，所以，整理得，，即，于是得，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，求出實(shí)數(shù)的值，然后驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù)即可.【詳解】對任意的，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，由是奇函?shù)，得，解得，即，由于，即函數(shù)奇函數(shù)，所以．故答案為：.13.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式的乘“1”法即可求解.【詳解】由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故答案為：14.已知，則___________．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和將原式變形為，代入即可．【詳解】由題意得.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，求的值；若是第三象限角，求的值．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡結(jié)合即可得結(jié)果；由得，結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以由得，又，故，即因?yàn)槭堑谌笙藿?，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊順時針旋轉(zhuǎn)后得到角，記角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為.（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由條件可知，并且，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果代入求得，并且，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，．因?yàn)榻堑慕K邊順時針旋轉(zhuǎn)后得到角，所以，.（1）當(dāng)時，因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)?，，所以，即．因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.17.習(xí)總書記指出：“綠水青山就是金山銀山．”某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：kg）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其他成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：元）．已知這種水果的市場售價大約為10元/kg，且供不應(yīng)求．記該單株水果樹獲得的利潤為（單位：元）．（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，表示出即可；(2)利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，所?【小問2詳解】當(dāng)時，，由一元二次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且從而，即在上的最大值為240；當(dāng)時，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，不等式取等號，從而，即當(dāng)時，有最大值270，此時肥料費(fèi)用.綜上所述，當(dāng)肥料費(fèi)用為30元時，該單株水果樹獲得的利潤最大，利潤最大值為270元.18.已知函數(shù)，.（1）證明：為偶函數(shù)；（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)，是否存在m，使最小值為0.若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存，.【解析】【分析】（1）證明函數(shù)的奇偶性，用定義證明；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象與直線沒有公共點(diǎn)，用分離參數(shù)法；（3）復(fù)合函數(shù)問題，用換元法，令，討論即可.【詳解】解：（1）證明：因?yàn)?，又，即，所以為偶函?shù).（2）原題意等價于方程無解，即方程無解.令，因?yàn)?，顯然，于是，即函數(shù)的值域是.因此當(dāng)時滿足題意.所以a的取值范圍是.（3）由題意，.令，則.則，.①當(dāng)時，，，解得；②當(dāng)時，，解得（舍去）；③當(dāng)時，，解得（舍去）.綜上，存在，使得最小值為0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）對函數(shù)奇偶性的證明用定義：或；（2）分離參數(shù)法是求參數(shù)范圍的一種非常常用的方法.19.已知函數(shù)，.（1）若對任意，，不等式恒成立，求的取值范圍.（2）若存在，對任意，總存在唯一，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）或或；（2）或.【解析】【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，只需，求解即可；（2）可求得在上的值域?yàn)椋芍覍θ我?，總存在唯一，使得成立，進(jìn)而分，和三種情況分別討論，從而可求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，，故，要使對任意，，不等式恒成立，只需，所以，?記，因?yàn)椋灾恍?，即，解得或?故的取值范圍為或