一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知隨機(jī)變量，則（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得答案.【詳解】由題意可得該正態(tài)分布的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又，所以.故選：B.2.給出下列說法，其中正確的是（）A.某病8位患者的潛伏期（天）分別為3，3，8，4，2，7，10，18，則它們的第50百分位數(shù)為B.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別為5，13C.在回歸直線方程中，相對(duì)于樣本點(diǎn)的殘差為D.樣本相關(guān)系數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念可判斷A的真假；根據(jù)兩組相關(guān)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算方法判斷B的真假；計(jì)算殘差判斷C的真假；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的取值范圍判斷D.【詳解】對(duì)A：將3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列為2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位數(shù)即為中位數(shù)，這組數(shù)的中位數(shù)為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B：由數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，方差為3，則數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，方差為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C：殘差，故C正確；對(duì)D：樣本的相關(guān)系數(shù)應(yīng)滿足，所以D錯(cuò)誤．故選：C3.某學(xué)校在讀書節(jié)活動(dòng)中，甲，乙，丙3個(gè)班各有2名同學(xué)獲獎(jiǎng)，現(xiàn)將這6人站成一排拍照，其中甲班的2名同學(xué)相鄰，且乙班的2名同學(xué)不相鄰的站法種數(shù)共有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.288種【答案】C【解析】【分析】甲班的2名同學(xué)相鄰，用“捆綁法”，乙班的2名同學(xué)不相鄰，用“插空法”，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】第一步，將甲班的2人捆綁，連同丙班的2人作全排列，有種站法；第二步，將乙班的2人插入前后4個(gè)空檔，有種站法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同站法共有種.故選：C4.的展開式中的系數(shù)為（）A.12 B.60 C.160 D.240【答案】B【解析】【分析】先寫出的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，求出值，再代入通項(xiàng)中，計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，所以的展開式中的系數(shù)為60.故選：B5.設(shè)動(dòng)直線x＝m與函數(shù)f(x)＝x3，g(x)＝lnx的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則|MN|的最小值為()A. B. C. D.ln3－1【答案】A【解析】【詳解】由f(x)和g(x)的圖象可以看到|MN|就是兩條曲線間的垂直距離，設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x3－lnx，求導(dǎo)得F′(x)＝3x2－，令F′(x)＞0，得x＞；令F′(x)＜0，得0＜x＜.所以當(dāng)x＝時(shí)，F(xiàn)(x)有最小值F()＝＋ln3＝(1＋ln3)，故選A.6.如圖所示，現(xiàn)要給固定位置的四棱錐的五個(gè)面涂上顏色，要求相鄰的面涂不同的顏色，可供選擇的顏色共有5種，則不同的涂色方案共有（）A.360 B.420 C.480 D.660【答案】B【解析】【分析】根據(jù)使用顏色種數(shù)分類，利用排列組合可得.【詳解】若5種顏色全涂，有種；若5種顏色涂4種，則左右側(cè)面或前后側(cè)面涂同種顏色，有種；若5種顏色涂3種，則左右側(cè)面涂同種顏色，前后側(cè)面涂同種顏色，有種可得，故不同的涂色方案共有420種.故選：B7.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釣著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為，若從頂端投入1024粒小球，則落入3號(hào)格子的小球的均值為（）A.93 B.120 C.210 D.300【答案】B【解析】【分析】由已知得，從而求得小球落入第三個(gè)格子的概率，再計(jì)算均值即可》【詳解】由于小球是等概率的向左或向右下落，則最后落入格子的號(hào)碼數(shù)，所以，又1024個(gè)小球落入第三個(gè)格子的球數(shù)，所以，即落入第三個(gè)格子的球數(shù)均值為120.故選：B.8.已知雙曲線的離心率為，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，的面積分別為，則（）A.4 B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出的關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的公式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值即可.【詳解】由，得，故線段所在直線的方程為，又點(diǎn)在線段上，可設(shè)，其中，由于，即，得，所以.由于，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)，然后計(jì)算出，利用二次函數(shù)性質(zhì)則得到其最值，再代入得到，則得到面積比.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合賦值法、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】由，令得，A選項(xiàng)正確.令得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，由此可知是負(fù)數(shù)，為正數(shù)，所以令得，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤由，兩邊求導(dǎo)得，令得，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD10.甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（）A.、為對(duì)立事件 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.【詳解】因?yàn)榧坠拗兄挥屑t球和白球，所以A正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有4個(gè)紅球，7個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故B正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有3個(gè)紅球，8個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故D不正確；，故C不正確.故選：AB11.如圖，曲線上的點(diǎn)與軸非負(fù)半軸上的點(diǎn)，構(gòu)成一系列斜邊在軸上的等腰直角三角形，記為，，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．設(shè)的斜邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，的面積為，則下列說法中正確的是（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式 B.數(shù)列的通項(xiàng)公式C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A根據(jù)幾何特征求出，再根據(jù)以及化簡(jiǎn)得出數(shù)列為等差數(shù)列即可求出；B根據(jù)A選項(xiàng)以及即可；C根據(jù)以及平方和公式即可；D由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可.【詳解】已知，設(shè)，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，即，則，設(shè)，則，，則，可得，即，由，可得，故得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則，故A正確；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，其面積，則由平方和公式，可得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則=______.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，可得，將代入上式即可求得：，即可求得，將代入即可得解【詳解】因?yàn)椋?所以，則，所以則，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及賦值法，考查方程思想及計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知在自然人群中，男性色盲患者出現(xiàn)的概率為7%，女性色盲患者出現(xiàn)的概率為0.5%．今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，則此人是男性的概率是______．【答案】【解析】【分析】以事件表示“選出的是男性”，則事件表示“選出的是女性”，以事件表示“選出的人是色盲患者”.由已知得，，.根據(jù)貝葉斯公式可求得答案.【詳解】解：以事件表示“選出的是男性”，則事件表示“選出的是女性”，以事件表示“選出的人是色盲患者”.由題意，知，，.由貝葉斯公式，可知此色盲患者是男性的概率為.故答案為：.14.已知集合.若九位數(shù)滿足，且，，，如212323212，則稱這個(gè)九位數(shù)為“九曲正弦數(shù)”，則共有______個(gè)“九曲正弦數(shù)”.【答案】【解析】【分析】根據(jù)這5個(gè)數(shù)至少取集合中3個(gè)不同的數(shù)字，且為最大的數(shù)，為最小的數(shù)，按照取自集合中元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合排列組合的知識(shí)求解即可.【詳解】因，，，則這5個(gè)數(shù)至少取集合中3個(gè)不同的數(shù)字，至多取5個(gè)不同的數(shù)字，且為最大的數(shù)，為最小的數(shù)，①取3個(gè)數(shù)：，分別自動(dòng)選取最大的數(shù)和最小的數(shù)（以下均采取相同的做法，不再贅述），則取剩下的數(shù)，共有種；②取4個(gè)數(shù)：共有種；③取5個(gè)數(shù)：則從剩下的3個(gè)中各自匹配一個(gè)數(shù)，共有種；故共有個(gè)“九曲正弦數(shù)”.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角△ABC的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A的值；（2）若，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明，證明即可求解；

（2）證明，，證明，證明，證明即可求解.【小問1詳解】，由正弦定理得，整理得，在中，，，即，，即；【小問2詳解】由正弦定理得，∴，，∴，，∴，在銳角中，∴，，∴，∴周長(zhǎng)的取值范圍為．16.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；（2）在這100名候選者用分層隨機(jī)抽樣的方法從第四組和第五組面試者內(nèi)抽取10人，再從這10名面試者中隨機(jī)抽取兩名，求兩名面試者成績(jī)都在第五組的概率．（3）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．【答案】（1）平均數(shù)為69.5，第25百分位數(shù)為63（2）（3）【解析】【分析】（1）首先算出，然后根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）由列舉法求解古典概型概率即可；（3）由分層抽樣方差公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可知：，解得，可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)為，因?yàn)?，設(shè)第25百分位數(shù)為，則，則，解得，故第25百分位數(shù)為63．【小問2詳解】10人中，第四組為8人.第五組為2人，記第四組的人的編號(hào)為1到8，第五組的人的編號(hào)為9和10，則樣本空間共45個(gè)樣本點(diǎn)，記兩名面試者成績(jī)都在第五組為事件A，則事件，故；【小問3詳解】設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)，第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．故估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差是．17.已知函數(shù)．(1)當(dāng)b＝4時(shí)，求極值；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍．【答案】（1）極小值f(－2)＝0，極大值f(0)＝4；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)函數(shù)在上大于或者等于零，求出的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)b＝4時(shí)，，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x＝－2處取得極小值f(－2)＝0，在x＝0處取得極大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，易知當(dāng)x∈時(shí)，<0，依題意當(dāng)x∈時(shí)，有5x＋(3b－2)≤0，從而＋(3b－2)≤0，得b≤.所以b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.考查了已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)問題.18.已知橢圓過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，為橢圓的上頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)．①設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；②若射線為的平分線，求的取值范圍．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，利用橢圓的定義求出的值，結(jié)合的值可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)、、，利用點(diǎn)差法可求得的值；②設(shè)設(shè)直線、的斜率分別為、，推導(dǎo)出，將直線、的方程分別與曲線的方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線的方程，利用方程思想與可求出的值，即可的直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).解法1：由化簡(jiǎn)得出，求出的范圍，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出的取值范圍；解法2：分析可知，則，故只需求出的范圍即可，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與曲線的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，左右焦點(diǎn)為，雙曲線的焦點(diǎn)為和，則，因?yàn)?，所以，可得，，故橢圓的方程為．【小問2詳解】①設(shè)、、，則有，兩式作差得，即，即，由題設(shè)知，，故，即，又，則．②設(shè)直線、的傾斜角分別為和，則直線的傾斜角為，由題設(shè)知和均不等于．又直線的斜率為，故其傾斜角為，從而有，從而，，即，又，故．設(shè)直線、的斜率分別為、，則．設(shè)直線、的方程分別為、，聯(lián)立直線和曲線得，解得，代入直線得，故點(diǎn)，同理可得，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，化簡(jiǎn)得，同理有，故、是方程的兩個(gè)根，故，解得，故直線方程為，過定點(diǎn)．法1：由①知，即，即，即，所以，且，從而，因?yàn)?，而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故．法2：因?yàn)?，故，故，只需求的范圍．設(shè)直線的方程為，與曲線聯(lián)立得，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線內(nèi)部，則必有，則，，從而，令，則，因?yàn)?，則，則，即，故，所以．19.2023年10月11日，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)成功構(gòu)建255個(gè)光子的量子計(jì)算機(jī)原型機(jī)“九章三號(hào)”，求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問題比目前全球是快的超級(jí)計(jì)算機(jī)快一億億倍.相較傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計(jì)算機(jī)的量子比特（qubit）可同時(shí)處于0與1的疊加態(tài)，故每個(gè)量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進(jìn)行計(jì)算的.現(xiàn)假設(shè)某臺(tái)量子計(jì)算機(jī)以每個(gè)粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨(dú)立.現(xiàn)將兩個(gè)初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個(gè)粒子中上旋粒子的個(gè)數(shù)為.（1）若通過第二道邏輯門后的兩個(gè)粒子中上旋粒子的個(gè)數(shù)為2，且，求兩個(gè)粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個(gè)數(shù)為2的概