專題07立體幾何初步考點(diǎn)一：考點(diǎn)一：簡(jiǎn)潔幾何體的表面積和體積1．（2025北京）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，依據(jù)這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長(zhǎng)為6，則此半正多面體模型的體積為（

）

A．108 B．162 C．180 D．189【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求組合體的體積【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為，則.故選：C.2．（2025福建）圓柱的底面半徑和高都是1，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)給定條件，利用圓柱的體積公式計(jì)算即得.【詳解】圓柱的底面半徑和高都是1，則該圓柱的體積.故選：D3．（2025河北）已知是球的球面上一點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作垂直于直線的平面，若該球被這個(gè)平面截得的圓面的面積為，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個(gè)圓，依據(jù)圓的面積公式（其中為面積，為半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為，截面圓半徑為，球心到截面的距離（這里），通過勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】已知截面圓的面積為，依據(jù)圓的面積公式，可得，解得.設(shè)球的半徑為，由于是的中點(diǎn)，所以球心到截面的距離.依據(jù)勾股定理，將，代入可得：,則，則，則，解得.依據(jù)球的表面積公式，將代入可得：故選：C.4．（2025河北）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成的角是，則該圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)圓錐的性質(zhì)求得圓錐的高和底面半徑，再由體積公式計(jì)算．【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，又母線長(zhǎng)為，而母線與底面所成的角是，則，，所以體積為，故選：A．5．（2025北）若球O被一個(gè)平面所截，所得截面的面積為，且球心O到該截面的距離為1，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再依據(jù)球的表面積公式即可得出答案.【詳解】由于球的一截面的面積為，所以截面圓的半徑為，又由于球心到該截面的距離為1，所以球的半徑為，所以球的表面積為.故選：B.6．（2025河北）已知圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角是，則該圓錐的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)給定條件，求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即得.【詳解】由圓錐的母線與底面所成的角是，得圓錐軸截面等腰三角形且底角為，所以圓錐軸截面等腰三角形是正三角形，因此圓錐母線長(zhǎng)為2，所以該圓錐的側(cè)面積是.故選：B7．（2025廣西）已知圓柱的底面積為1，高為2，則該圓柱的體積為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】由于圓柱的底面積為1，高為2，所以該圓柱的體積為.故選：B.8．（2025浙江）一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體頂點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的直徑是正方體的對(duì)角線，從而得到結(jié)果．【詳解】∵棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，∴球的直徑是正方體的對(duì)角線，∴球的半徑是r，∴球的表面積是4故選：A9．（2025吉林）一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積是（

）A． B．C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問題【分析】由已知可得所求球是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，代入正方體對(duì)角線公式，求出外接球的半徑，代入球的體積公式，可得答案．【詳解】若棱長(zhǎng)為的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球是正方體的外接球，球的半徑，則球的體積.故選：.10．（2025天津）一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與該圓柱的體積之比為（

）．A． B． C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、球的體積的有關(guān)計(jì)算【分析】設(shè)球的半徑為，即可求出球、圓柱的體積，從而得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，依題意圓柱的底面半徑為，高為，所以，所以.故選：D11．（2025浙江）上、下底面圓的半徑分別為、，高為的圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】依據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.【詳解】由于圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為、，高為，所以.故選：A12．（2025湖南）已知圓柱的底面半徑為3cm，體積為，則該圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】利用圓柱體積求得圓柱的高，再利用表面積公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)圓柱的高為，由題意，，解得，則圓柱的表面積為cm2.故選：D.13．（2025安徽）在中，，，，若將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為.【答案】【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求旋轉(zhuǎn)體的體積【分析】畫出旋轉(zhuǎn)體的圖象，依據(jù)圓錐體積公式求出幾何體的體積.【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，所以，所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：.故答案為：14．（2025云南）一商場(chǎng)門口有個(gè)球形裝飾品.若該球的半徑為1米，則該球的表面積為平方米.【答案】【學(xué)問點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算【分析】由球的表面積公式求解．【詳解】由于該球的半徑為1米，所以該球的表面積為：（平方米），故答案為：15．（2025云南）若一個(gè)半徑為的球和一個(gè)上，下底面邊長(zhǎng)分別為和的正四棱臺(tái)的體積相同，則正四棱臺(tái)的高為．【答案】/【學(xué)問點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】利用球和正四棱臺(tái)的體積公式直接建立等式計(jì)算即可．【詳解】解：球的體積為①，設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則正四棱臺(tái)的體積為②，由，解得：．故答案為：．16．（2025浙江）上、下底面面積分別為1，4，高為3的圓臺(tái)體積為.【答案】7【學(xué)問點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】由圓臺(tái)體積公式即可求解.【詳解】由題意知,,，所以.故答案為：.考點(diǎn)二：考點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系1．（2025北京）如圖，在三棱柱中，底面是的中點(diǎn)，則直線（

）A．與直線相交 B．與直線平行C．與直線垂直 D．與直線是異面直線【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】異面直線的判定【分析】由直三棱柱的特征逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】易知三棱柱為直三棱柱，由圖易推斷與異面，AB錯(cuò)誤；由于,與相交但不垂直，所以與直線不垂直，C錯(cuò)誤；由圖可推斷與直線是異面直線，D正確.故選：D2．（2025河北）已知是一條直線，是兩個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：①若，則；

②若，則；③若，則.

④若，則.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷【分析】依據(jù)空間中線面、面面之間的基本關(guān)系，依次推斷命題即可.【詳解】①：若，則，故①正確；②：若，則或與相交或，故②錯(cuò)誤；③：若，則或與相交，故③錯(cuò)誤；④：若，則，故④正確.故選：D3．（2025天津）若，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】推斷命題的必要不充分條件、線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷【分析】依據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系及充分條件、必要條件的定義推斷即可.【詳解】由于，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，，若，則或，故充分性不成立；若，則在平面存在直線，使得，又，，所以，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．（2025北京）在空間中，若兩條直線與沒有公共點(diǎn)，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】異面直線的概念及辨析【分析】依據(jù)空間直線的位置關(guān)系推斷，即可得答案.【詳解】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點(diǎn)，即與不相交，則a與b可能平行，也可能是異面直線，故選：D5．（2025遼寧）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷、平行公理、面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷、推斷面面是否垂直【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長(zhǎng)方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.【詳解】選項(xiàng)A，若，，則由平行的傳遞性可知，，故A正確；選項(xiàng)B，若，，則或都有可能，如圖，長(zhǎng)方體中（以下同），設(shè)直線為，直線為，底面為，滿足，，但，與不平行，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若，，則與不肯定垂直，如圖，設(shè)上底面為，下底面為，平面為，滿足，，但，與不垂直，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若，，則或或與相交都有可能，如圖，設(shè)直線為，直線為，設(shè)上底面為，滿足，，但，與不平行，故D錯(cuò)誤．

故選：A.6．（2025黑龍江）如圖，在正方體中，與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】異面直線的判定【分析】依據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合空間中線線位置關(guān)系分析推斷.【詳解】依據(jù)題意可知：、與相交，與平行，與異面，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7．（2025浙江溫州）已知，是不同的直線，，是不同的平面，下列命題中，正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，則【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷【分析】依據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系和符號(hào)表示，推斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【詳解】在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；在B中，若，，則，故B錯(cuò)誤；在C中，必需平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，此時(shí)兩平面才平行，故C錯(cuò)誤；在D中，，時(shí)，過作平面，所以，且，所以，故D正確.故選：D.8．（2025天津）已知空間三條直線，，.若，，則（

）A．與平行 B．與相交C．與異面 D．與平行、相交、異面都有可能【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】異面直線的判定【分析】依據(jù)線線關(guān)系舉例可得答案.【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則與平行、相交、異面都有可能.故選：D.9．（2025廣東）已知α和β是兩個(gè)不同平面，A:，B:α和β沒有公共點(diǎn)，則A是B的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】充要條件的證明、面面關(guān)系有關(guān)命題的推斷【分析】依據(jù)面面平行的定義推斷.【詳解】?jī)蓚€(gè)平面平行的定義是：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面平行，因此是的充要條件．故選：C．10．（2025江蘇）已知直線平面，直線平面，則與不行能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的推斷【分析】若與相交，得到與有交點(diǎn)，這與題設(shè)沖突，得到答案.【詳解】直線平面，直線平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線平面，故，即與有交點(diǎn)，這與題設(shè)沖突.故選：B考點(diǎn)三：考點(diǎn)三：異面直線所成角1．（2025浙江）在正四周體中，是的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，，則異面直線和所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】連接，或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.【詳解】連接，由于，是的中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，設(shè)正四周體的棱長(zhǎng)為2，則，在中由余弦定理得，所以和所成角的正弦值為，故選：B

2．（2025河北）如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則異面直線DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，可證或其補(bǔ)角即為異面直線DE和所成的角，故可求它的余弦值.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形，故，而為所在棱的中點(diǎn)，故，故，故或其補(bǔ)角即為異面直線DE和所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，故，故異面直線DE和所成的角的余弦值為，故選：C.3．（2025云南）如圖，在正方體中，異面直線與所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】連接，分析可知異面直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），結(jié)合正方體的性質(zhì)分析求解.【詳解】連接，由于∥，，可知為平行四邊形，則∥，可知異面直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），由正方體可知，即為正三角形，可知，所以異面直線與所成的角等于.故選：C.4．（2025湖南）如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角、棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類【分析】依據(jù)給定條件，利用幾何法求出異面直線所成的角.【詳解】在正方體中，連接，四邊形是其對(duì)角面，則四邊形是矩形，，于是是異面直線與所成的角，而，即為正三角形，，所以異面直線與所成的角為.故選：C5．（2025湖南）如圖，在正方體中，異面直線AC與所成的角為（

）

A． B． C． D．【答案】D【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】由異面直線所成角的概念求解，【詳解】由題意，正方體中得，故異面直線AC與所成的角，即正方形對(duì)角線與的夾角，故選：D6．（2025云南）在正方體中，異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】把平移到，連結(jié)構(gòu)成等邊三角形，異面直線與所成角即為.【詳解】連結(jié)、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；又在正方體中，為等邊三角形，就是異面直線與所成角,，異面直線與所成角的大小為.故選：C.7．（2025安徽）如圖，在正方體中，直線與所成的角是（）A． B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求異面直線所成的角【分析】連接，，證明，則即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，依據(jù)正三角形即可求解.【詳解】連接，，在正方體中，由于，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，由正方體的性質(zhì)可得：為正三角形，所以，則直線與所成的角是，故選：.8．（2025河北）如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,的中點(diǎn),則異面直線與BF所成角的大小為．【答案】【學(xué)問點(diǎn)】異面直線所成的角的概念及辨析、求異面直線所成的角【分析】先取中點(diǎn)為,連接,記與交點(diǎn)為,依據(jù)平行可知與BF所成角即為與所成角,通過正方體性質(zhì)可得,即,依據(jù)可知,即,即可知與BF所成角為.【詳解】取中點(diǎn)為,連接,記與交點(diǎn)為,如圖所示:由于G,F分別是棱,的中點(diǎn),所以,且,故四邊形為平行四邊形,所以,所以與BF所成角即為與所成角,由于正方體,E,G是棱AD,的中點(diǎn),所以,所以,即,由于,所以,所以,故與所成角為,即與BF所成角為.故答案為:考點(diǎn)四：直線與平面所成角考點(diǎn)四：直線與平面所成角1．（2025湖南）如圖，為圓柱底面直徑，為母線，若，則與圓柱底面所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直【分析】依據(jù)線面角定義得為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由于母線底面，則與圓柱底面所成角即為，又由于為圓柱底面直徑，則，由于，所以.故選：B.2．（2025江蘇）如圖，正方體中，直線與平面所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【學(xué)問點(diǎn)】求線面角【分析】連接，平面，故是與平面所成角，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，由于平面，故線與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，.故選：C3．（2025河北）如圖，在三棱柱中，全部的棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱底面ABC，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【學(xué)問點(diǎn)】證明線面垂直、求線面角、線面垂直證明線線垂直【分析】取的中點(diǎn)，連接，依據(jù)題意，先得到平面，則所求直線與平面所成的角為，通過幾何關(guān)系求其正弦值即可【詳解】取的中點(diǎn)，連接，易得由于側(cè)棱底面ABC，側(cè)棱側(cè)棱，所以側(cè)棱底面ABC，底面ABC，所以，由于，平面，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，由平面，平面可得由于全部的棱長(zhǎng)都相等，不妨假設(shè)棱長(zhǎng)為，則，，則.故選：A4．（2025安徽）如圖，在直三棱柱中，．若，則與平面所成的角的大小為．【答案】/【學(xué)問點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直【分析】依據(jù)線面垂直可得線面角的幾何角，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【詳解】連接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故為與平面所成的角，由于，所以,，由于為銳角，所以，故答案為：5．（2025浙江）已知一個(gè)各棱均相等的四周體成，則棱與平面的夾角的余弦值為．【答案】33/【學(xué)問點(diǎn)】求線面角【分析】作平面，由即為所求的角，然后利用正棱錐的性質(zhì)結(jié)合條件即得．【詳解】在四周體成中，作平面，連接，則即為棱與平面的夾角，令，由四周體的棱長(zhǎng)均相等，則為的中心，所以，.故答案為：.6．（2025四川）如圖，在正方體中，直線與平面所成角的正切值為.【答案】【學(xué)問點(diǎn)】求線面角【分析】依據(jù)正方體性質(zhì)及線面角定義求解.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體中，平面，故在平面上的射影為，所以為直線與平面所成角，故.故答案為：7．（2025湖南）如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)，則直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為．

【答案】【學(xué)問點(diǎn)】求線面角【分析】依據(jù)線面角的學(xué)問求得正確答案.【詳解】連接，由于平面，所以是直線與平面所成角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，所以，所以直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為.故答案為：

考點(diǎn)考點(diǎn)五：二面角1．（2025河北）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，E為PC的中點(diǎn)．平面與平面所成二面角的正切值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直證線面垂直【分析】由底面得出，進(jìn)而由，得出平面與平面所成二面角的正切值.【詳解】分別取的中點(diǎn)為，連接，設(shè)，則.由于是等邊三角形，所以，又由于平面平面，平面平面，平面，底面，由于四棱錐的體積為，所以，解得.則，，所以，，又由于底面為矩形，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，.故選：B2．（2025浙江）如圖，在底面邊長(zhǎng)為2的菱形的四棱錐中，，平面平面，，設(shè)是棱上一點(diǎn)，三棱錐的體積為.(1)證明：；(2)求；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【學(xué)問點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面，再依據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）作于，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明平面，再依據(jù)三棱錐的體積公式即可得解；（3）作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，證明平面，則，則即為二面角的平面角，再解即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，由于，所以，在菱形中，，則是等邊三角形，所以，又平面，故平面，又平面，所以；（2）作于，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，所以，所以；（3）作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由平面，平面，得，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，.3．（2025浙江）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)M在線段PD上且.

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、求二面角、證明線面垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明平面，則有，再利用勾股定理證明，再依據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）過作，交于點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)證明平面，再依據(jù)棱錐的體積公式即可得解；（3）過作交于點(diǎn)，則即為二面角的平面角，再解即可.【詳解】（1）∵，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，，又，由余弦定理得，則，，又平面，平面；（2）過作，交于點(diǎn)，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，所以；（3）過作交于點(diǎn)，連接，由于平面，平面，所以，則即為二面角的平面角，在中，，所以，所以二面角的正切值為.

4．（2025浙江）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)點(diǎn)在棱上，，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求二面角、證明面面垂直【分析】（1）先求出底面積，再利用體積公式求解體積即可.（2）先利用線面垂直判定定理得到平面，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作圖，找到二面角的平面角，利用三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】（1）由于，所以，由于平面,所以三棱錐的體積.（2）由于平面,平面,所以,又平面,所以平面,由于平面,所以平面平面.（3）過點(diǎn)作于,取的中點(diǎn),連接由于平面平面所以平面⊥平面,又平面平面平面所以平面∥，由于且是的中點(diǎn),所以平面,所以是二面角的平面角,由于是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又//，所以是的中點(diǎn),在中,，所以即二面角的正弦值為.5．（2025浙江）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長(zhǎng)；(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)2(2)【學(xué)問點(diǎn)】求二面角、證明線面垂直【分析】（1）依據(jù)題意可得平面，進(jìn)而分析可知正方形，即可得結(jié)果；（2）依據(jù)題意利用補(bǔ)形法分析可得二面角的平面角為，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）連接，由于平面，平面，則，又由于，平面，所以平面，且平面，可得，由于為平行四邊形，且，則為矩形，所以正方形，可得.（2）依據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱，取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且//，由于//，可得//，所以平面即為平面，同理平面即為平面，由于//，平面，則平面，且平面，則，所以二面角的平面角為，可得，在中，則，所以二面角的余弦值為.

.6．（2025湖南）如圖所示，平面平面，四邊形為矩形，，，，．

(1)求多面體的體積；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、證明線面垂直、求組合體的體積、求二面角【分析】（1）通過割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積計(jì)算公式求得正確答案.（2）作出二面角的平面角，進(jìn)而計(jì)算出其余弦值.【詳解】（1）如圖，連接BD，

∵四邊形AEFB為矩形，∴，，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面，平面ABEF，平面ABEF，∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，又，AB∩AE＝A，平面，∴AD⊥平面AEFB，∴，∵，，∴．∴，∴多面體ABCDEF的體積為．（2）如圖，過B作交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接FG，

∵FB⊥平面ABCD，平面，∴DG⊥FB，又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面，∴DG⊥平面FBG，∵平面，∴DG⊥FG，∴∠FGB為二面角F-CD-A的平面角，由題意得，∵，∴，在Rt△FBG中，，，∴，∴，∴二面角F-CD-A的余弦值為．考點(diǎn)考點(diǎn)六：立體幾何解答題1．（2025北京）如圖，在三棱錐中，分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.請(qǐng)先寫出第（1）問的解答過程，然后閱讀下面第（2）問的解答過程.證明：（2）由于是的中點(diǎn)，所以①_________.由于，由（1）知，，所以②_________所以③_________.所以.在第（2）問的解答過程中，設(shè)置了①～③三個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合規(guī)律推理.請(qǐng)選出符合規(guī)律推理的選項(xiàng)，并填寫在橫線上（只需填寫“A”或“B”）.空格序號(hào)選項(xiàng)①（A）（B）②（A）（B）平面③（A）平面（B）平面【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【學(xué)問點(diǎn)】證明線面平行、線面垂直證明線線垂直、證明線面垂直【分析】（1）由中位線得到線線平行，然后得到線面平行，即得證；（2）等腰三角形三線合一得到線線垂直，由（1）的結(jié)論和條件得到另一組垂線，從的證明面面垂直.【詳解】（1）在中，由于，分別是，的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）①A，②A，③B.2．（2025福建）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面.

(1)若，求四棱錐的體積(2)求證：平面【答案】(1)(2)證明見解析【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直【分析】（1）依據(jù)體積公式可求四棱錐的體積.（2）可證，結(jié)合可證平面.【詳解】（1）由于底面，故四棱錐的高為，而正方形的面積為，故.（2）由于底面，而平面，故，由正方形可得，因平面，故平面.3．（2025湖北）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中的珍寶，該書中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.在如圖所示的陽馬中，底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié).(1)證明：兩兩垂直；(2)設(shè)陽馬的體積為，四周體的體積為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、線面垂直證明線線垂直、證明線面垂直【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得，，和“陽馬”的定義得；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得底面，再利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）由底面，底面，則，，又在陽馬中，底面為矩形，則，因此可得兩兩垂直.（2）取的中點(diǎn)，連接，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，且，又底面，則底面，則四周體的體積，又陽馬的體積，則，因此可得.4．（2025安徽）如圖，四棱柱中，底面是菱形，底面，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：(1)直線平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【學(xué)問點(diǎn)】證明面面垂直、證明線面平行【分析】（1）設(shè)，連接，可證，故由線面平行的判定定理可得平面.（2）由線面垂直的判定定理可證平面，故可得平面平面.【詳解】（1）設(shè)，連接，∵底面是菱形，∴為的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴直線平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.5．（2025廣西）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點(diǎn)，，分別是，，邊的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)見解析(2)見解析【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、證明線面平行【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，通過構(gòu)造平行四邊形，證明；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明.【詳解】（1）連結(jié)，由于分別是的中點(diǎn)，所以，且，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）由于，為AB的中點(diǎn)，所以，由平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面；6．（2025云南）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，.

(1)證明：；(2)若，三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見詳解(2)【學(xué)問點(diǎn)】求線面角、線面垂直證明線線垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直【分析】（1）依據(jù)題意可證平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)分析證明；（2）依據(jù)體積關(guān)系可得，利用等體積法可得到平面的距離為，再依據(jù)線面夾角的定義分析求解.【詳解】（1）由于，，平面，可得平面，且平面，所以.（2）由于，，則，由（1）可知：平面，可知三棱錐的高為，則三棱錐的體積，解得，設(shè)到平面的距離為，則，由于，則，解得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.7．（2025新疆）如圖，在四棱錐中，，，.(1)證明：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直、三角形面積公式及其應(yīng)用、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得證；（2）利用三棱錐的體積公式與三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由于，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）由于平面，所以是三棱錐的高，又，，所以，所以.8．（2025安徽）如圖，在三棱錐中，底面是正三角形，是的中點(diǎn)，底面．(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、線面垂直證明線線垂直、證明線面垂直【分析】（1）利用正三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)得，，最終再利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明；（2）利用勾股定理求出，最終利用椎體體積公式即可.【詳解】（1）連接，由于△ABC為正三角形，M為BC的中點(diǎn)，所以，由于底面，平面，所以，又，平面，所以平面，由于平面，所以.（2）由于底面是正三角形，，則，由于底面，底面，所以，所以，所以.9．（2025湖南）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，.(1)求四棱錐的體積；(2)求證：平面.【答案】(1)(2)證明見解析【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）首先求出，再利用錐體體積公式即可得到答案；（2）利用線面垂直的性質(zhì)得，再利用線面垂直的判定即可.【詳解】（1）由于平面，平面，則，所以，則.（2）由于平面，平面，則，由于底面為正方形，所以，又由于，平面，所以平面.10．（2025吉林）如圖，在三棱錐中，底面，，，分別是，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【學(xué)問點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行【分析】（1）依據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行；（2）依據(jù)等體積法，轉(zhuǎn)化為求，依據(jù)棱錐的體積公式求解即可【詳解】（1）由于，分別是，的中點(diǎn)，所以是中位線，所以，平面，平面，所以平面（2）由于,由于底面，即平面ADC,又，，，所以，又是的中點(diǎn)，所以，又，所以.11．（2025天津）如圖，在正方體中，

(1)求證：平面平面；(2)求直線和平面所成角．【答案】(1)證明見解析(2)【學(xué)問點(diǎn)】證明面面平行、求線面角、證明線面垂直【分析】（1）在正方體中，可得，則得平面，同理平面，所以得平面平面；（2）在正方體中，可得AC⊥平面，則得為直線和平面所成角，則在中，，即可的.【詳解】（1）在正方體中，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又由于平面，平面，所以平面，同理，平面，又，所以平面平面.（2）

設(shè)，連接，由于平面ABCD，所以，又由于AC⊥BD，，平面，所以AC⊥平面，所以為在平面的射影，