第第頁人教A版高二下學期數(shù)學（必修二）《6.2.4向量數(shù)量積》同步練習題及答案第2課時向量數(shù)量積的運算律一、必備知識基礎練1.(探究點一)向量a,b滿足|a|=2,|b|=4,向量a與b的夾角為2π3,則a·(a+A.0 B.8C.4+43 D.4-432.(探究點二)若平面向量a與b的夾角為120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,則|b|=()A.12 B.13 C.23.(探究點二)已知a,b是夾角為60°的單位向量,則|3a-2b|=()A.7 B.13 C.7 D.134.(探究點三·2025甘肅武威高一期中)若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),則a與b的夾角為()A.π6 B.π3 C.2π5.(探究點一)若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=2,則a·b=()A.-1 B.-12 C.126.(探究點三·2025河南安陽高一期末)已知e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,則向量e1+2e2與2e1-3e2的夾角是()A.30° B.60° C.120° D.150°7.(探究點二)已知向量a,b的夾角為2π3,|a|=1,|b|=2,在△ABC中,AB=2a+3b,AC=2a-b,BD=A.2 B.22 C.23 D.68.(探究點三)設向量a,b滿足|a|=|b|=1及|3a-2b|=7,則a與b的夾角為.

9.(探究點二、三)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,<a,b>=π6(1)求a·b;(2)求|a-2b|;(3)若(λa+b)⊥a,求實數(shù)λ的值.10.(探究點二、三)已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.(1)求|a+b|的值;(2)求a與a-2b的夾角.二、關鍵能力提升練11.已知非零向量a,b滿足|a|=2,且<a,b>=2π3,則|a+2A.2 B.3 C.2 D.112.已知向量a,b滿足2|a|=|b|,|a+b|=|2a-b|,則向量a與b夾角的余弦值為()A.12 B.-12 C.1413.若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點,且滿足(OB?OC)·(OB+OC-2OAA.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形14.(多選題)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,若向量a,b滿足AB=2a,BC=b,則()A.AC=2a+b B.a·b=-2C.(4a+b)⊥BC D.|a-b|=115.(多選題)已知e1與e2是夾角為π3的單位向量,a=e1-2e2,b=e1+e2A.|a|=3 B.a·b=-1C.<a,b>=2π3 D.a在b上的投影向量為-16.在△ABC中,AB=3,AC=4,D是BC的中點,則AD·(AB?AC)=17.單位向量a,b滿足(a+2b)·(a-b)=-23(1)求a與b夾角的余弦值;(2)若ka+b與a+3b的夾角為銳角,求實數(shù)k的取值范圍.三、學科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=2π3,D為BC的三等分點(靠近(1)求AD·(2)若點P滿足CP=λCA,求PB·PC的最小值,并求此時的參考答案1.A因為|a|=2,|b|=4,向量a與b的夾角為2π所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2×4×(-12)=-所以a·(a+b)=a2+a·b=4-4=0.故選A.2.B化簡(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=13或|b|=-12(舍去3.C|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=9-12×1×1×cos60°+4=7,則|3a-2b|=7.故選C.4.C由條件可知a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×cos<a,b>=0,則cos<a,b>=-12,所以<a,b>=2π3.5.B由|a+b|=2,可得a2+2a·b+b2=4,即1+2a·b+4=4,所以a·b=-12.故選B6.C由e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,得e1·e2=12×cos60°=12,|e1+2e2|=e12+4e22+4e1·e2=7,|2e1-3e2|=4e12+9e22-12e1·e2=7,(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e12-6e22+e1·e2=-72,因此cos<e1+2e2,2e1-3e2>=(e1+2e2)·(7.A因為向量a,b的夾角為2π3,|a|=1,|b所以a·b=|a||b|cos2π3=1×2×(-12又AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC?AB)=1所以|AD|=(2a+b)28.π3設a與b的夾角為θ,由題意得(3a-2b)2=7,所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7,又|a|=|b|=1,所以a·b=1所以|a||b|cosθ=12,即cosθ=1又θ∈[0,π],所以a與b的夾角為π39.解(1)a·b=|a||b|cosπ6=1×3(2)|a-2b|=(a(3)由題意得(λa+b)·a=0,即λa2+a·b=0,即λ+32=0,λ=-310.解(1)∵|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3,∴22-3×12-2a·b=3,解得a·b=-1.故|a+b|=(a(2)設a與a-2b的夾角為θ,則cosθ=a·(又θ∈[0,π],∴θ=π611.B因為|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4|b|2-4|b|+4=(2|b|-1)2+3≥3,所以|a+2b|≥3,當且僅當|b|=12時,等號成立.故選B12.C由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)2=(2a-b)2,即a2=2a·b,所以cos<a,b>=a·b|a13.A因為(OB?OC)·(OB+OC-2OA)=0,即CB·(AB+AC)=0,又因為AB?AC=CB,所以(AB?AC)·(AB+AC)14.AC因為AB=2a,BC=b,對于A,AC=AB+BC=2a+b,對于B,a·b=12AB·BC=12|AB|·|BC|cos120°=12對于C,(4a+b)·BC=(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+22=0,則(4a+b)⊥BC,故C正確:對于D,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×(-1)+4=7≠1,即|a-b|≠1,故D錯誤.故選AC.15.ACD對于選項A,e1與e2是夾角為π3的單位向量,則|a|=e12+4e22-4e1·e2=1+4-4×1×1×12=3,故|a|=3,故選項A正確;對于選項B,a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=e12-e1·e2-2e22=1-1×1×12-2×1=-32,故選項B錯誤;對于選項C,|b|=e12+e22+2e1·e2=1+1+2×1×1×12=3,所以cos<a,b>=a·b|a||b|16.-72由D為BC的中點可知,AD則AD·(AB?AC)=12(AB+AC)·(AB?AC)=117.解(1)因為|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-23,所以a2+a·b-2b2=-23,即1+a·b-2=-23,則a·b=13,則cos<a,b>=a·b|a(2)因為ka+b與a+3b的夾角為銳角,所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b與a+3b不共線.當ka+b與a+3b共線時,有ka+b=λ(a+3b),即ka+b=λa+3λb.由(1)知a與b不共線,所以k=λ,1=3所以當ka+b與a+3b不共線時,k≠13由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,即k+(3k+1)×13+3>0,解得k>-53.所以k>-53且k≠13,即實數(shù)k的取值范圍為(-53,1318.解(1)因為D為BC的三等分點(靠近C點),所以CD=13CB=13(AB?AC),所以AD=AC+