浙江省杭州市杭州市第四中學(xué)2026屆高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．2．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若函數(shù)的極大值點從小到大依次記為，并記相應(yīng)的極大值為，則的值為（）A． B． C． D．7．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標(biāo)原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．8．某設(shè)備使用年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為，，，，由最小二乘法得到回歸直線方程為，若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢，則該設(shè)備的使用年限為（）A．8年 B．9年 C．10年 D．11年9．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)10．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．1011．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．712．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎，“×”表示猜測某人未獲獎，而“○”則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎?wù)呤莀______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×14．如圖是一個算法偽代碼，則輸出的的值為_______________.15．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．16．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標(biāo)原點，求直線OG斜率的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的右焦點為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，、分別為線段、的中點，若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】

設(shè)點位于第二象限，可求得點的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】所對應(yīng)的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.4、D【解析】

設(shè)，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.5、C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當(dāng)時，，當(dāng)，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).6、C【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知，當(dāng)時有極大值，而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán)，而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點的通項公式，且相應(yīng)極大值，分組求和即得【詳解】當(dāng)時，，顯然當(dāng)時有，，∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個極值點又∵時，∴，，，…，均為其極值點∵函數(shù)不能在端點處取得極值∴，，∴對應(yīng)極值，，∴故選：C【點睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學(xué)生對數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題7、A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點P的坐標(biāo)，計算量就大一些.8、D【解析】

根據(jù)樣本中心點在回歸直線上，求出，求解，即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上，，由，估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.11、B【解析】考點：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時退出，故選B．12、D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.14、5【解析】

執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，即得結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖得,結(jié)束循環(huán)，輸出.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析與運算能力，屬基礎(chǔ)題.15、2【解析】

作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項和公差的方程組，解出這兩個量，計算出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當(dāng)時，取得最大值，對任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）.【解析】

（1）化簡得，所以，展開后利用基本不等式求最小值即可；（2）由（1），原不等式可轉(zhuǎn)化為，討論去絕對值即可求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，，∴，∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時，.（2）由（1）知，，對任意，都有，∴，即.①當(dāng)時，有，解得；②當(dāng)，時，有，解得；③當(dāng)時，有，解得；綜上，，∴實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查基本不等式的運用和求解含絕對值的不等式，考查學(xué)生的分類思想和計算能力，屬于中檔題.18、（1）.（2）【解析】

（1）設(shè)A的坐標(biāo)為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標(biāo)，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理，進(jìn)而求出中點G的坐標(biāo)，再求出直線OG的斜率的表達(dá)式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標(biāo)xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合，換元方法的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）由橢圓的離心率求出、的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由題意得出，可得出，【詳解】（1）由題意得，，.又因為，，所以橢圓的方程為；（2）由，得.設(shè)、，所以，，依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以.因為，，所以.即，將其整理為.因為，所以，.所以，即.【點睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，考查計算能力，屬于中等題.20、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解析】

（1）由，分和兩種