安徽省”皖南八?！?026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，則公比的值為（）A1 B.C.1或 D.或2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（）A.3 B.4C.6 D.113．過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.44．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.6．已知點(diǎn)，和直線，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.或 B.或C.或 D.或7．在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，以點(diǎn)為圓心的與軸都相切，且與彼此外切．若，且,,的前項(xiàng)之和為，則（）A. B.C. D.8．原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B.C. D.9．在數(shù)列中，，，則（）A.985 B.1035C.2020 D.207010．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其外形上下對(duì)稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.4511．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.12．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為_(kāi)_________．甲組乙組14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，為雙曲線上一點(diǎn)，且，線段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)______15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則_______16．達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂(lè)一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到直線的距離是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng).（1）若平面，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)F滿足，求平面與平面的夾角的余弦值.18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值19．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對(duì)于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.20．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且的面積為1.（1）求橢圓的短軸長(zhǎng)；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，若為等邊三角形，求的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn)，二面角的余弦值為.（1）求PD的長(zhǎng)；（2）求異面直線BF與PA所成角的余弦值；（3）求直線AF與平面BCF所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，即可解得公比，注意等比數(shù)列求和公式使用條件.【詳解】等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，若，，，符合題意；若，則，解得，即公比的值為1或，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式以及基本量計(jì)算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】利用橢圓的定義可得，再結(jié)合條件即求.【詳解】由橢圓的定義可知，因?yàn)椋裕驗(yàn)辄c(diǎn)分別是線段，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以.故選：A.3、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A4、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.5、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.6、C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：C7、C【解析】根據(jù)兩圓的幾何關(guān)系及其圓心在函數(shù)的圖象上，即可得到遞推關(guān)系式，通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列求得的通項(xiàng)公式，得出，最后利用裂項(xiàng)相消，求出數(shù)列前項(xiàng)和，即可求出.詳解】由與彼此外切，則，，，又∵，∴，故為等差數(shù)列且，，則，，則，即，故答案選：.8、C【解析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，則可求出原點(diǎn)到直線距離的最大值；【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以直線過(guò)直線與直線交點(diǎn)，聯(lián)立可得所以直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線距離最大，最大距離即為，此時(shí)最大值為，故選：C.9、A【解析】根據(jù)累加法得，，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，，……，，所以，將以上式子相加得，所以，，.當(dāng)時(shí)，，滿足；所以，.所以.故選：A10、C【解析】設(shè)雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長(zhǎng)【詳解】設(shè)點(diǎn)是雙曲線與截面的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為故選：11、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C12、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因?yàn)椋?，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別；乙組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：14、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齊次式，化簡(jiǎn)即可求出離心率【詳解】設(shè)雙曲線：，，不妨設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)因?yàn)榫€段的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化簡(jiǎn)得，，即，而，解得故答案為：15、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是，因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角是，所以直線的傾斜角是或，即或.故答案為：或16、【解析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長(zhǎng)，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）F為BD的中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，由求解.【小問(wèn)1詳解】為的中點(diǎn).如圖：取的中點(diǎn)，連接∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小問(wèn)2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿切螢榈妊切?，易求，則，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，解得設(shè)二面角為，則，因?yàn)槎娼菫殇J角，所以余弦值為.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個(gè)式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問(wèn)1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因?yàn)椋杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面又平面，所以又因?yàn)椋珽C，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因?yàn)椋?，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因?yàn)檩S，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因?yàn)槭瞧矫娴姆ㄏ蛄克裕驗(yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，取到最小值19、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問(wèn)3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，20、（1）2（2）【解析】（1）根據(jù)題意表示出的面積，即可求得結(jié)果；（2）分類討論直線斜率情況，然后根據(jù)是等邊三角形，得到，聯(lián)立直線和橢圓方程，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示上述關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，，所以，則橢圓的短軸長(zhǎng)為2.【小問(wèn)2詳解】若為等邊三角形，應(yīng)有，即.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，且，此時(shí)若為等邊三角形，則點(diǎn)應(yīng)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，且，即.當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線的方程為，且，此時(shí)若為等邊二角形，則點(diǎn)應(yīng)為短軸頂點(diǎn)，此時(shí),不為等邊三角形.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線的方程為.由得,同理.因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，則，即.綜上，的取值范圍是.21、（1）（2）（3）【解析】（1）以為軸，為軸，軸與垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，由空間向量法求二面角，從而求得，得長(zhǎng)；（2）由空間向量法求異面直線所成的角；（3）由空間向量法求線面角【小問(wèn)1詳解】以為軸，為軸，軸與垂直，由于菱形中，軸是的中垂線，建立如圖坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，則，，即，平面的一個(gè)法向量是，因?yàn)槎娼怯嘞抑禐?所以，（負(fù)值舍去）所以；【小問(wèn)2詳解】由（1），，，，所以異面直線BF與PA所