2026屆山東省煙臺市第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知O為坐標(biāo)原點，，點P是上一點，則當(dāng)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標(biāo)原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則等于（）A.0 B.2C. D.4．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.7．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.8．現(xiàn)有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進(jìn)行檢驗，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，309．下列說法正確的是（）A.空間中的任意三點可以確定一個平面B.四邊相等的四邊形一定是菱形C.兩條相交直線可以確定一個平面D.正四棱柱的側(cè)面都是正方形10．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切11．若傾斜角為的直線過，兩點，則實數(shù)（）A. B.C. D.12．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則___________.14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.15．雙曲線的離心率為____16．已知過橢圓上的動點作圓（為圓心）：的兩條切線，切點分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點.（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）經(jīng)過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線交于兩點M，N，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點Q.若，求直線l的方程.18．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個確定的點M,過該點的動直線與拋物線C交于A,B兩點，使得為定值.如果存在，求出點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.19．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點20．（12分）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗.根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數(shù)，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.（1）根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，記其中的y值大于50的天數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經(jīng)過點，，，，的線性回歸方程的系數(shù)公式，；.21．（12分）已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.22．（10分）如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，是圓臺上底面圓上的點，且平面平面，，，、分別是、的中點.（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點，試問直線上是否存在點，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點的所有可能位置；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時，取最小值為-10，此時點P的坐標(biāo)為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】先通過誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)，然后算出答案.【詳解】由題意，，故選：D.4、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.5、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當(dāng)時，，.故選：B.6、C【解析】先根據(jù)題意對數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因為由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C7、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.8、A【解析】求得組距，由此確定正確選項.【詳解】，即組距為，A選項符合，其它選項不符合.故選：A9、C【解析】根據(jù)立體幾何相關(guān)知識對各選項進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A，根據(jù)公理2及推論可知，不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；對于B，在一個平面內(nèi)，四邊相等的四邊形才一定是菱形，故B錯誤；對于C，根據(jù)公理2及推論可知，兩條相交直線可以確定一個平面，故C正確；對于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，側(cè)面可以是矩形，故D錯誤.故選：C10、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C11、C【解析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點的斜率公式計算可得；【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C12、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由向量的運算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：14、【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：15、【解析】由題意得：考點：雙曲線離心率16、【解析】由橢圓方程和圓的方程可確定橢圓焦點、圓心和半徑；當(dāng)最小時，可知，此時；根據(jù)橢圓性質(zhì)知，解方程可求得，進(jìn)而得到離心率.【詳解】由橢圓方程知其右焦點為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時，則最小，即，此時最?。淮藭r，；為橢圓右頂點時，，解得：，橢圓的離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為（2）或.【解析】（1）將點代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長和即可求出.【小問1詳解】將代入可得，解得，所以拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為；【小問2詳解】由題得，設(shè)直線方程為，，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因為直線與準(zhǔn)線交于點Q，則，則，因為，所以，解得，所以直線l的方程為或.18、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯(lián)立直線與拋物線有，把目標(biāo)式坐標(biāo)化可得與無關(guān)，可得.試題解析：(1)聯(lián)立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設(shè)存在滿足條件的點，直線，有，，設(shè)，有，，，，當(dāng)時，為定值，所以.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.20、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設(shè)，，則建立w關(guān)于x的回歸方程，然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應(yīng)的概率，從而可求出分布列和期望【小問1詳解】根據(jù)散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.【小問2詳解】設(shè)，變換后可得，設(shè)，建立w關(guān)于x的回歸方程，，所以所以w關(guān)于x的回歸方程為，所以，當(dāng)時，，即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為012.21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進(jìn)一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=22、（1）證明見解析；（2）存在，點與點重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系