廣西欽州市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（試卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．4．本卷主要命題范圍：北師大版必修第一冊(cè)第七章，必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第一冊(cè)第一章～第三章．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C.i D.2.已知空間向量與共線，則（）A.0 B.6 C.-4 D.43已知點(diǎn)，且直線MN與直線平行，則（）A B. C.2 D.-24.若雙曲線的焦距為20，且過點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.5.已知橢圓，點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為（）A. B.12 C. D.86.已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.7.如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗．已知該碗高10cm，口徑18cm，底徑8cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.8.若，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于直線，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.直線的傾斜角為 B.直線經(jīng)過點(diǎn)C.直線與直線垂直 D.直線在軸上的截距為10.已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)分別為，則下列說法正確是（）A.雙曲線的離心率為B.虛軸長為4C.直線與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為，則D.若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則11.在平面上，若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足且，則的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為圓．由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為．下列結(jié)論正確的有（）A.圓的方程為B.圓與圓的公切線有且只有三條C.的最小值為2D.當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)事件滿足，則____________．13.已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的一般式方程為__________________．14.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得直線與以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓相切，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_________________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓，直線．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求過點(diǎn)的圓的切線方程．16.甲、乙兩人投籃命中的概率分別是和．假設(shè)兩人是否投中，相互之間沒有影響；每次是否投中，也沒有影響．（1）若甲連續(xù)投籃2次，求甲至少投中1次的概率；（2）若甲、乙兩人各投籃2次，求甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多1的概率．17.已知橢圓過點(diǎn)且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過橢圓右焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，求直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在線段PD上且滿足，點(diǎn)在線段PA上且滿足．（1）證明：；（2）若存在，使直線BE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）給出如下的定義：若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸不平行，則稱直線為拋物線上點(diǎn)的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．請(qǐng)你運(yùn)用上述定義解決以下問題：（i）證明：拋物線上點(diǎn)處的切線方程為；（ii）若過點(diǎn)可作拋物線的2條切線，切點(diǎn)分別為.證明：直線的斜率之積為常數(shù)．

廣西欽州市2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（試卷滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交．4．本卷主要命題范圍：北師大版必修第一冊(cè)第七章，必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第一冊(cè)第一章～第三章．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C.i D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，得到，所以．故選：B.2.已知空間向量與共線，則（）A.0 B.6 C.-4 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線坐標(biāo)表示列方程求解的值，即可得的值.【詳解】因?yàn)榭臻g向量與共線，顯然，所以，解得，，所以.故選:A.3.已知點(diǎn)，且直線MN與直線平行，則（）A. B. C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】求得直線MN的斜率，結(jié)合題意可得，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又直線MN與直線平行，所以，解得.故選：B.4.若雙曲線的焦距為20，且過點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的焦距為20，可求得，由過點(diǎn)，列方程組可求得，進(jìn)而可得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為20，即，解得.又雙曲線過點(diǎn)，所以，解得，即，所以漸近線方程為.故選：C.5.已知橢圓，點(diǎn)，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為（）A. B.12 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程可得其左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，又已知直線過右焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可得焦點(diǎn)三角形的周長.【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為，所以，所以，所以其左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，即為左焦點(diǎn).由直線的方程可知，該直線過定點(diǎn)，即過右焦點(diǎn)，記為點(diǎn)，如圖.所以的周長為,由橢圓的定義可知，所以的周長為.故選：C.6.已知向量，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】,故向量在向量上的投影向量為，故選：D7.如圖1，這是一只古代的青花牡丹紋碗．已知該碗高10cm，口徑18cm，底徑8cm，該碗的軸截面（不含碗底部分）是拋物線的一部分，如圖2，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)值.【詳解】以該碗軸截面的對(duì)稱軸為軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)該拋物線的方程為（的單位均為cm），點(diǎn)縱坐標(biāo)為（單位：cm），則，，于是，解得，故該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：A8.若，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)和，列舉符合條件的取值，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.【詳解】由于，故所有的取值的方法共有：種當(dāng)，時(shí)：必有零點(diǎn)，所以有3種取法；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若有零點(diǎn)則需：，即，此時(shí)取值組成的數(shù)對(duì)分別為：共3種，綜上符合條件的概率為：，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于直線，下列說法錯(cuò)誤是（）A.直線的傾斜角為 B.直線經(jīng)過點(diǎn)C.直線與直線垂直 D.直線在軸上的截距為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，即可判斷BD，根據(jù)斜率即可判斷A,根據(jù)兩直線的斜率關(guān)系，結(jié)合垂直的性質(zhì)即可求解C.【詳解】對(duì)于直線，直線過，所以BD說法正確，直線的斜率為，傾斜角為，A說法錯(cuò)誤.直線的斜率為，由于，故兩直線不垂直，C說法錯(cuò)誤.故選：AC10.已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（）A.雙曲線離心率為B.虛軸長為4C.直線與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為，則D.若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得雙曲線的離心率與虛軸長判斷AB；利用雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算判斷C，利用雙曲線的性質(zhì)和余弦定理求得，進(jìn)而求得面積判斷D.【詳解】由雙曲線，得，所以，所以雙曲線的離心率為，虛軸長為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為，所以由雙曲線關(guān)于軸對(duì)稱，可得，又在雙曲線的右支上，所以，所以，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，又，由余弦定理可得，所以，即，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.在平面上，若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足且，則的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為圓．由直線上的一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為．下列結(jié)論正確的有（）A.圓的方程為B.圓與圓的公切線有且只有三條C.的最小值為2D.當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由得到一個(gè)等式，整理即可；對(duì)于B，首先根據(jù)圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而可知公切線的條數(shù)；對(duì)于C，將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值即可；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，從而可求兩圓的公共弦方程.【詳解】對(duì)于A，由得.設(shè)，由，得，整理得，即點(diǎn)的軌跡圓的方程為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由圓的方程，即，可知圓心為，半徑；又圓的圓心為，半徑，所以兩圓的圓心距為，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有且只有三條，故B正確.對(duì)于C，如圖，由相切的性質(zhì)可知，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，也取得最小值，而的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以，故C正確.對(duì)于D，若交于點(diǎn)B，由切線的性質(zhì)可知，所以，所以，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值，由C知此時(shí)與直線垂直，所以的斜率為，直線的斜率為1，設(shè)，則，解得，所以，由知點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，其方程為，所以為圓與圓的公共弦，其方程為，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)事件滿足，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的和事件的概率計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知，故,則，故答案為：13.已知直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的一般式方程為__________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離即可求解斜率，進(jìn)而化成一般式即可求解.【詳解】的圓心,半徑，則圓心到直線的距離為，由于，故，即，結(jié)合，解得，故直線方程為，即，故答案為：14.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得直線與以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓相切，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，再結(jié)合雙曲線定義，求得，結(jié)合△為直角三角形，利用勾股定理，即可求解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，連接，作圖如下所示：在△中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，且；由題可知，，且，故，且；根據(jù)雙曲線定義可知，，又，故在△中，由勾股定理，即，結(jié)合，故，整理得，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓，直線．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求過點(diǎn)的圓的切線方程．【答案】（1）相離（2）和.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，結(jié)合圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系判斷；（2）討論斜率情況，結(jié)合相切的等量關(guān)系可求答案.【小問1詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€，所以圓心C到直線l的距離為，因?yàn)椋?，所以直線與圓相離.小問2詳解】若切線沒有斜率，則方程為.圓心C到直線的距離為，滿足條件；若切線有斜率，設(shè)其值為，切線方程為，即，，解得；此時(shí)，切線方程為；綜上所述，該圓過點(diǎn)的切線方程和.16.甲、乙兩人投籃命中的概率分別是和．假設(shè)兩人是否投中，相互之間沒有影響；每次是否投中，也沒有影響．（1）若甲連續(xù)投籃2次，求甲至少投中1次的概率；（2）若甲、乙兩人各投籃2次，求甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多1的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用甲至少投中次的對(duì)立事件，即可求出概率；（2）分析甲比乙恰好多次命中的兩種可能情況：甲命中次且乙次，或甲命中次且乙次，各自用獨(dú)立事件的概率乘法求出后相加.【小問1詳解】甲連續(xù)投籃次，“至少投中次”的對(duì)立事件是“兩次均未投中”，甲投不中的概率為，連續(xù)兩次未投中的概率為，故至少投中次的概率為.【小問2詳解】甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多包含兩種互斥情況，第一種：甲投中次，乙兩次未投中，甲投中次可能為第一次命中或第二次投中，故其概率為，乙兩次未投中的概率為，此時(shí)甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多的概率；第二種：甲投中次，乙投中次，甲連續(xù)投中次的概率為，乙投中次的概率為，此時(shí)甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多的概率；甲乙相互獨(dú)立，故甲投中的次數(shù)比乙投中的次數(shù)恰好多的概率為.17.已知橢圓過點(diǎn)且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓過點(diǎn)且離心率為列方程求解即可；（2）設(shè)出直線的方程及，聯(lián)立方程根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得到的表達(dá)式，列方程即可直線方程中的參數(shù).【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，即，所以，所以.因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，將代入得，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，，如圖，所以，由消去得，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即.18.如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在線段PD上且滿足，點(diǎn)在線段PA上且滿足．（1）證明：；（2）若存在，使直線BE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，進(jìn)而利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可.（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式列方程即可得解.【小問1詳解】∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，故【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∵，，∴，于是，，，，設(shè)，則，，由可得，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，于是，所以，令，得，，故可取，因，，由于直線BE與平面PAC所成角的正弦值為，∴，解得或（舍去）,故19