信息學(xué)競賽并查集算法實踐試題及答案考試時長：120分鐘滿分：100分信息學(xué)競賽并查集算法實踐試題及答案考核對象：信息學(xué)競賽參賽選手及愛好者題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.并查集算法的時間復(fù)雜度為O(n2)，適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)集。2.并查集的核心操作包括查找和合并，其中路徑壓縮可以優(yōu)化查找效率。3.并查集算法在處理動態(tài)連通性問題時有顯著優(yōu)勢，但無法解決圖的最小生成樹問題。4.并查集的路徑壓縮操作會導(dǎo)致樹的深度增加，從而降低查找效率。5.并查集算法可以用于解決約瑟夫環(huán)問題，但需要額外設(shè)計數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。6.并查集的按秩合并策略可以有效避免樹退化，提高算法性能。7.并查集算法的空間復(fù)雜度為O(n)，其中n為元素數(shù)量。8.并查集的初始化操作需要為每個元素創(chuàng)建獨(dú)立的集合。9.并查集算法在處理靜態(tài)連通性問題時有更好的性能表現(xiàn)。10.并查集的查找操作可以保證每次調(diào)用都能返回集合的根節(jié)點。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個操作不屬于并查集的核心操作？A.查找B.合并C.遍歷D.更新2.并查集的按秩合并策略中，“秩”指的是什么？A.集合的大小B.樹的深度C.元素的權(quán)重D.集合的哈希值3.并查集的路徑壓縮操作主要目的是什么？A.減少樹的深度B.增加樹的深度C.優(yōu)化合并操作D.提高初始化速度4.并查集算法在處理動態(tài)連通性問題時的主要優(yōu)勢是什么？A.高效的初始化B.快速的查找C.穩(wěn)定的合并性能D.低空間復(fù)雜度5.并查集的初始化操作中，每個元素通常被初始化為哪個狀態(tài)？A.根節(jié)點B.葉節(jié)點C.空節(jié)點D.無效節(jié)點6.并查集的按秩合并策略中，秩較小的樹會合并到秩較大的樹上，為什么？A.避免樹退化B.提高查找效率C.優(yōu)化空間使用D.增加算法復(fù)雜度7.并查集算法在處理約瑟夫環(huán)問題時，需要如何設(shè)計數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？A.使用哈希表B.使用鏈表C.使用數(shù)組D.使用樹結(jié)構(gòu)8.并查集的查找操作中，路徑壓縮如何優(yōu)化性能？A.將路徑上的節(jié)點直接指向根節(jié)點B.增加樹的深度C.減少樹的寬度D.優(yōu)化合并操作9.并查集算法在處理靜態(tài)連通性問題時的性能表現(xiàn)如何？A.優(yōu)于動態(tài)問題B.劣于動態(tài)問題C.相同D.無法比較10.并查集的查找操作中，如何判斷一個元素是否在同一個集合中？A.查找其根節(jié)點是否相同B.查找其父節(jié)點是否相同C.查找其兄弟節(jié)點是否相同D.查找其子節(jié)點是否相同三、多選題（每題2分，共20分）1.并查集算法的核心操作有哪些？A.查找B.合并C.遍歷D.更新2.并查集的按秩合并策略有哪些優(yōu)點？A.減少樹退化B.提高查找效率C.優(yōu)化空間使用D.增加算法復(fù)雜度3.并查集的路徑壓縮操作有哪些作用？A.減少樹的深度B.提高查找效率C.優(yōu)化合并操作D.增加算法復(fù)雜度4.并查集算法可以用于解決哪些問題？A.動態(tài)連通性問題B.靜態(tài)連通性問題C.最小生成樹問題D.約瑟夫環(huán)問題5.并查集的初始化操作有哪些步驟？A.為每個元素創(chuàng)建獨(dú)立的集合B.設(shè)置每個元素的父節(jié)點為其自身C.設(shè)置每個元素的秩為0D.設(shè)置每個元素的根節(jié)點為其自身6.并查集的查找操作中，如何優(yōu)化性能？A.路徑壓縮B.按秩合并C.哈希表優(yōu)化D.數(shù)組優(yōu)化7.并查集的合并操作有哪些方式？A.按秩合并B.不按秩合并C.按大小合并D.按哈希值合并8.并查集算法的空間復(fù)雜度有哪些影響因素？A.元素數(shù)量B.集合數(shù)量C.樹的深度D.合并操作次數(shù)9.并查集的查找操作中，如何判斷一個元素是否為根節(jié)點？A.其父節(jié)點指向其自身B.其秩為0C.其根節(jié)點指向其自身D.其子節(jié)點數(shù)量為010.并查集的按秩合并策略中，秩的定義有哪些？A.樹的深度B.集合的大小C.元素的權(quán)重D.集合的哈希值四、案例分析（每題6分，共18分）1.問題描述：有n個節(jié)點，編號從1到n。初始時，每個節(jié)點屬于一個獨(dú)立的集合?，F(xiàn)需要執(zhí)行m次操作，每次操作可以選擇兩個節(jié)點，將它們所在的集合合并。請使用并查集算法實現(xiàn)該問題，并計算每次操作后的連通分量數(shù)量。輸入格式：第一行輸入兩個整數(shù)n和m，表示節(jié)點數(shù)量和操作次數(shù)。接下來m行，每行輸入兩個整數(shù)u和v，表示需要合并的兩個節(jié)點。輸出格式：每次操作后輸出當(dāng)前的連通分量數(shù)量。示例輸入：```53122345```示例輸出：```432```解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點不同則合并。-合并后，更新連通分量數(shù)量并輸出。2.問題描述：有n個節(jié)點，編號從1到n。初始時，每個節(jié)點屬于一個獨(dú)立的集合?，F(xiàn)需要執(zhí)行m次操作，每次操作可以選擇兩個節(jié)點，判斷它們是否屬于同一個集合。請使用并查集算法實現(xiàn)該問題，并計算每次操作的結(jié)果。輸入格式：第一行輸入兩個整數(shù)n和m，表示節(jié)點數(shù)量和操作次數(shù)。接下來m行，每行輸入兩個整數(shù)u和v，表示需要判斷的兩個節(jié)點。輸出格式：每次操作后輸出“YES”或“NO”，表示兩個節(jié)點是否屬于同一個集合。示例輸入：```53122345```示例輸出：```NOYESNO```解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點相同則輸出“YES”，否則輸出“NO”。3.問題描述：有n個節(jié)點，編號從1到n。初始時，每個節(jié)點屬于一個獨(dú)立的集合。現(xiàn)需要執(zhí)行m次操作，每次操作可以選擇兩個節(jié)點，將它們所在的集合合并。請使用并查集算法實現(xiàn)該問題，并計算每次操作后的連通分量數(shù)量。輸入格式：第一行輸入兩個整數(shù)n和m，表示節(jié)點數(shù)量和操作次數(shù)。接下來m行，每行輸入兩個整數(shù)u和v，表示需要合并的兩個節(jié)點。輸出格式：每次操作后輸出當(dāng)前的連通分量數(shù)量。示例輸入：```6412234556```示例輸出：```5432```解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點不同則合并。-合并后，更新連通分量數(shù)量并輸出。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：請詳細(xì)論述并查集算法的原理、優(yōu)缺點以及適用場景。解題思路：-原理：并查集算法通過兩個核心操作——查找和合并，來管理動態(tài)連通性問題。查找操作用于確定一個元素所屬的集合，合并操作用于將兩個集合合并為一個。路徑壓縮和按秩合并是兩種優(yōu)化策略，可以顯著提高算法性能。-優(yōu)點：-時間復(fù)雜度較低，適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)集。-空間復(fù)雜度低，只需O(n)的存儲空間。-可以動態(tài)管理連通性，適用于實時性問題。-缺點：-在極端情況下，時間復(fù)雜度可能退化到O(n2)。-需要額外的優(yōu)化策略，如路徑壓縮和按秩合并。-適用場景：-動態(tài)連通性問題，如網(wǎng)絡(luò)連通性管理、圖的最小生成樹問題等。-約瑟夫環(huán)問題等需要快速判斷元素所屬集合的問題。-需要高效管理大量節(jié)點和邊的場景。2.論述題：請詳細(xì)論述并查集算法的路徑壓縮和按秩合并策略，并分析其對算法性能的影響。解題思路：-路徑壓縮：-在查找操作中，將路徑上的節(jié)點直接指向根節(jié)點，從而減少樹的深度。-優(yōu)化后的查找操作時間復(fù)雜度接近O(1)，顯著提高性能。-適用于頻繁的查找操作場景。-按秩合并：-在合并操作中，將秩較小的樹合并到秩較大的樹上，從而避免樹退化。-秩可以定義為樹的深度或集合的大小。-優(yōu)化后的合并操作時間復(fù)雜度接近O(α(n))，α(n)為阿克曼函數(shù)的反函數(shù)，非常小。-適用于需要長期維護(hù)連通性的場景。-性能影響：-路徑壓縮和按秩合并可以顯著提高算法的時間效率，降低最壞情況下的時間復(fù)雜度。-優(yōu)化后的并查集算法在大多數(shù)情況下表現(xiàn)優(yōu)異，適用于大規(guī)模數(shù)據(jù)集。-需要注意的是，優(yōu)化策略會增加算法的復(fù)雜度，但通常值得。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.×（并查集算法的時間復(fù)雜度為O(nα(n))，α(n)為阿克曼函數(shù)的反函數(shù)，非常小。）2.√3.√4.×（路徑壓縮可以優(yōu)化查找效率，減少樹的深度。）5.√6.√7.√8.√9.×（并查集算法在處理動態(tài)連通性問題時有更好的性能表現(xiàn)。）10.√二、單選題1.C2.B3.A4.B5.A6.A7.C8.A9.B10.A三、多選題1.AB2.AB3.AB4.AB5.ABC6.AB7.AB8.AD9.AC10.AB四、案例分析1.解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點不同則合并。-合并后，更新連通分量數(shù)量并輸出。代碼示例：```pythonclassUnionFind:def__init__(self,n):self.parent=list(range(n+1))self.rank=[0](n+1)self.count=ndeffind(self,x):ifself.parent[x]!=x:self.parent[x]=self.find(self.parent[x])returnself.parent[x]defunion(self,x,y):rootX=self.find(x)rootY=self.find(y)ifrootX!=rootY:ifself.rank[rootX]>self.rank[rootY]:self.parent[rootY]=rootXelifself.rank[rootX]<self.rank[rootY]:self.parent[rootX]=rootYelse:self.parent[rootY]=rootXself.rank[rootX]+=1self.count-=1returnTruereturnFalsedefget_count(self):returnself.countn,m=map(int,input().split())uf=UnionFind(n)for_inrange(m):u,v=map(int,input().split())uf.union(u,v)print(uf.get_count())```2.解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點相同則輸出“YES”，否則輸出“NO”。代碼示例：```pythonclassUnionFind:def__init__(self,n):self.parent=list(range(n+1))deffind(self,x):ifself.parent[x]!=x:self.parent[x]=self.find(self.parent[x])returnself.parent[x]defconnected(self,x,y):returnself.find(x)==self.find(y)n,m=map(int,input().split())uf=UnionFind(n)for_inrange(m):u,v=map(int,input().split())ifuf.connected(u,v):print("YES")else:print("NO")```3.解題思路：-初始化并查集，每個節(jié)點為獨(dú)立的集合。-每次操作時，查找兩個節(jié)點的根節(jié)點，若根節(jié)點不同則合并。-合并后，更新連通分量數(shù)量并輸出。代碼示例：```pythonclassUnionFind:def__init__(self,n):self.parent=list(range(n+1))self.rank=[0](n+1)self.count=ndeffind(self,x):ifself.parent[x]!=x:self.parent[x]=self.find(self.parent[x])returnself.parent[x]defunion(self,x,y):rootX=self.find(x)rootY=self.find(y)ifrootX!=rootY:ifself.rank[rootX]>self.rank[rootY]:self.parent[rootY]=rootXelifself.rank[rootX]<self.rank[rootY]:self.parent[rootX]=rootYelse:self.parent[rootY]=rootXself.rank[rootX]+=1self.count-=1returnTruereturnFalsedefget_count(self):returnself.countn,m=map(int,input().split())uf=UnionFind(n)for_inrange(m):u,v=map(int,input().split())