隨機(jī)過程考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)\(\{X(n),n=0,1,2,\cdots\}\)是一個(gè)馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間\(S=\{1,2,3\}\)，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.1&0.3&0.6\\0.4&0.2&0.4\\0.3&0.5&0.2\end{pmatrix}\)，則\(P(X(2)=3|X(0)=1)\)的值為（）A.\(0.2\)B.\(0.3\)C.\(0.4\)D.\(0.5\)答案：C解析：根據(jù)馬爾可夫鏈的性質(zhì)，\(P(X(2)=j|X(0)=i)=\sum_{k=1}^{3}P_{ik}P_{kj}\)，這里\(i=1\)，\(j=3\)。\(P(X(2)=3|X(0)=1)=P_{11}P_{13}+P_{12}P_{23}+P_{13}P_{33}\)\(=0.1\times0.6+0.3\times0.4+0.6\times0.2\)\(=0.06+0.12+0.12=0.3\)2.設(shè)\(\{X(t),t\geq0\}\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程，\(0\lts\ltt\)，則\(X(t)-X(s)\)服從（）A.泊松分布\(P(\lambda(t-s))\)B.正態(tài)分布\(N(0,\lambda(t-s))\)C.指數(shù)分布\(E(\lambda(t-s))\)D.均勻分布\(U(0,\lambda(t-s))\)答案：A解析：泊松過程的獨(dú)立增量性和增量的泊松分布性質(zhì)，對(duì)于參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程\(\{X(t),t\geq0\}\)，在不重疊區(qū)間上的增量相互獨(dú)立，且\(X(t)-X(s)\)服從參數(shù)為\(\lambda(t-s)\)的泊松分布，即\(X(t)-X(s)\simP(\lambda(t-s))\)。3.已知平穩(wěn)過程\(\{X(t)\}\)的自相關(guān)函數(shù)\(R_X(\tau)=5+4e^{-3|\tau|}\)，則其均值\(E[X(t)]\)為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(5\)C.\(4\)D.\(\sqrt{4}\)答案：A解析：對(duì)于平穩(wěn)過程\(\{X(t)\}\)，\(R_X(0)=E[X^{2}(t)]\)，且當(dāng)\(\tau\to\infty\)時(shí)，\(R_X(\tau)=E^{2}[X(t)]\)。\(\lim_{\tau\to\infty}R_X(\tau)=\lim_{\tau\to\infty}(5+4e^{-3|\tau|})=5\)，所以\(E[X(t)]=\sqrt{5}\)。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(0,1)\)，令\(Z=X+Y\)，則\(Z\)服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(N(0,2)\)C.\(N(1,1)\)D.\(N(1,2)\)答案：B解析：若\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(Z=X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})\)。這里\(\mu_1=0\)，\(\sigma_1^{2}=1\)，\(\mu_2=0\)，\(\sigma_2^{2}=1\)，所以\(Z\simN(0,2)\)。5.設(shè)\(\{X(n),n=0,1,2,\cdots\}\)是馬爾可夫鏈，狀態(tài)\(i\)是常返態(tài)，且周期為\(d\)，則下列說法正確的是（）A.從狀態(tài)\(i\)出發(fā)，經(jīng)過\(d\)步一定能回到狀態(tài)\(i\)B.從狀態(tài)\(i\)出發(fā)，經(jīng)過\(md(m=1,2,\cdots)\)步一定能回到狀態(tài)\(i\)C.從狀態(tài)\(i\)出發(fā)，以正概率在\(md(m=1,2,\cdots)\)步回到狀態(tài)\(i\)D.從狀態(tài)\(i\)出發(fā)，以正概率在\(d\)步回到狀態(tài)\(i\)答案：C解析：狀態(tài)\(i\)的周期為\(d\)，意味著從狀態(tài)\(i\)出發(fā)，以正概率在\(md(m=1,2,\cdots)\)步回到狀態(tài)\(i\)，且\(d\)是滿足此性質(zhì)的最大正整數(shù)，但不是說經(jīng)過\(d\)步或\(md\)步一定能回到狀態(tài)\(i\)。二、填空題（每題3分，共15分）1.設(shè)\(\{X(t),t\geq0\}\)是參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松過程，則\(E[X(3)]=\)______。答案：6解析：對(duì)于參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程\(\{X(t),t\geq0\}\)，\(E[X(t)]=\lambdat\)，已知\(\lambda=2\)，\(t=3\)，所以\(E[X(3)]=2\times3=6\)。2.已知平穩(wěn)過程\(\{X(t)\}\)的自相關(guān)函數(shù)\(R_X(\tau)=10+5\cos(2\tau)\)，則其功率譜密度\(S_X(\omega)=\)______。答案：\(20\pi\delta(\omega)+5\pi[\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)]\)解析：根據(jù)維納-辛欽定理，\(S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau)e^{-i\omega\tau}d\tau\)。\(R_X(\tau)=10+5\cos(2\tau)=10+\frac{5}{2}(e^{i2\tau}+e^{-i2\tau})\)\(S_X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}10e^{-i\omega\tau}d\tau+\frac{5}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{i2\tau}+e^{-i2\tau})e^{-i\omega\tau}d\tau\)\(=20\pi\delta(\omega)+5\pi[\delta(\omega-2)+\delta(\omega+2)]\)3.設(shè)馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.2&0.8\\0.3&0.7\end{pmatrix}\)，其平穩(wěn)分布\(\pi=(\pi_1,\pi_2)\)滿足的方程組為______。答案：\(\begin{cases}\pi_1=0.2\pi_1+0.3\pi_2\\\pi_2=0.8\pi_1+0.7\pi_2\\\pi_1+\pi_2=1\end{cases}\)解析：對(duì)于馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布\(\pi\)，滿足\(\pi=\piP\)且\(\sum_{i}\pi_i=1\)，這里\(\pi=(\pi_1,\pi_2)\)，\(P=\begin{pmatrix}0.2&0.8\\0.3&0.7\end{pmatrix}\)，則\(\begin{cases}\pi_1=0.2\pi_1+0.3\pi_2\\\pi_2=0.8\pi_1+0.7\pi_2\\\pi_1+\pi_2=1\end{cases}\)4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，\(Cov(X,Y)=-2\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(\rho_{XY}=\)______。答案：\(-\frac{1}{3}\)解析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，已知\(Cov(X,Y)=-2\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(\rho_{XY}=\frac{-2}{\sqrt{4\times9}}=-\frac{1}{3}\)。5.設(shè)\(\{X(n),n=0,1,2,\cdots\}\)是馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間\(S=\{1,2\}\)，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.6&0.4\\0.3&0.7\end{pmatrix}\)，則\(P^2=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}0.48&0.52\\0.39&0.61\end{pmatrix}\)解析：\(P^2=P\timesP=\begin{pmatrix}0.6&0.4\\0.3&0.7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0.6&0.4\\0.3&0.7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6\times0.6+0.4\times0.3&0.6\times0.4+0.4\times0.7\\0.3\times0.6+0.7\times0.3&0.3\times0.4+0.7\times0.7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.48&0.52\\0.39&0.61\end{pmatrix}\)三、解答題（每題10分，共70分）1.設(shè)\(\{X(t),t\geq0\}\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程，已知\(X(0)=0\)。（1）求\(P(X(2)=3,X(5)=5)\)；（2）求\(P(X(2)=3|X(5)=5)\)。解：（1）因?yàn)椴此蛇^程具有獨(dú)立增量性，\(X(2)\)與\(X(5)-X(2)\)相互獨(dú)立。\(X(2)\simP(2\lambda)\)，\(X(5)-X(2)\simP(3\lambda)\)。\(P(X(2)=3,X(5)=5)=P(X(2)=3,X(5)-X(2)=2)\)\(=P(X(2)=3)P(X(5)-X(2)=2)\)\(=\frac{(2\lambda)^3e^{-2\lambda}}{3!}\times\frac{(3\lambda)^2e^{-3\lambda}}{2!}=\frac{4}{3}\lambda^5e^{-5\lambda}\)（2）根據(jù)條件概率公式\(P(X(2)=3|X(5)=5)=\frac{P(X(2)=3,X(5)=5)}{P(X(5)=5)}\)\(P(X(5)=5)=\frac{(5\lambda)^5e^{-5\lambda}}{5!}\)由（1）知\(P(X(2)=3,X(5)=5)=\frac{4}{3}\lambda^5e^{-5\lambda}\)所以\(P(X(2)=3|X(5)=5)=\frac{\frac{4}{3}\lambda^5e^{-5\lambda}}{\frac{(5\lambda)^5e^{-5\lambda}}{5!}}=\frac{4\times5!}{3\times5^5}=\frac{8}{125}\)2.已知平穩(wěn)過程\(\{X(t)\}\)的自相關(guān)函數(shù)\(R_X(\tau)=4+3e^{-|\tau|}\)。（1）求其均值\(E[X(t)]\)；（2）求其方差\(D[X(t)]\)。解：（1）對(duì)于平穩(wěn)過程\(\{X(t)\}\)，當(dāng)\(\tau\to\infty\)時(shí)，\(R_X(\tau)=E^{2}[X(t)]\)。\(\lim_{\tau\to\infty}R_X(\tau)=\lim_{\tau\to\infty}(4+3e^{-|\tau|})=4\)，所以\(E[X(t)]=\pm2\)。又因?yàn)閈(R_X(0)=E[X^{2}(t)]=4+3=7\)，通常假設(shè)均值為非負(fù)，所以\(E[X(t)]=2\)。（2）根據(jù)方差公式\(D[X(t)]=E[X^{2}(t)]-E^{2}[X(t)]\)，已知\(E[X^{2}(t)]=R_X(0)=7\)，\(E[X(t)]=2\)，所以\(D[X(t)]=7-4=3\)。3.設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間\(S=\{1,2,3\}\)，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.5&0.3&0.2\\0.4&0.4&0.2\\0.1&0.3&0.6\end{pmatrix}\)。（1）判斷狀態(tài)\(1\)是否為常返態(tài)；（2）求該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。解：（1）首先求狀態(tài)\(1\)的首達(dá)概率\(f_{11}^{(n)}\)。\(f_{11}^{(1)}=P_{11}=0.5\)\(f_{11}^{(2)}=\sum_{k\neq1}P_{1k}P_{k1}=P_{12}P_{21}+P_{13}P_{31}=0.3\times0.4+0.2\times0.1=0.14\)\(f_{11}=\sum_{n=1}^{\infty}f_{11}^{(n)}\)通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)\(\sum_{n=1}^{\infty}f_{11}^{(n)}>0\)，且可以進(jìn)一步通過求解方程組判斷常返性。設(shè)\(\pi=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)\)為平穩(wěn)分布，\(\pi=\piP\)且\(\sum_{i=1}^{3}\pi_i=1\)。\(\begin{cases}\pi_1=0.5\pi_1+0.4\pi