小學奧數(shù)極值問題專項訓練在小學奧數(shù)的世界里，極值問題猶如一顆璀璨的明珠，它不僅考驗孩子們的計算能力，更重要的是培養(yǎng)其邏輯思維、分析問題和解決問題的能力。所謂“極值”，就是尋求某個量在一定條件下的最大值或最小值。這類問題貼近生活，趣味性強，往往沒有固定的解題模式，需要孩子們跳出常規(guī)思維的框架，靈活運用所學知識，才能找到巧妙的解法。本文將帶你深入探索小學奧數(shù)中極值問題的常見類型與解題策略，希望能為孩子們的奧數(shù)學習提供一些有益的啟發(fā)。一、從“最不利”到“最有利”：極端化思想的妙用在解決極值問題時，一種非常有效的思路就是從極端情況出發(fā)去考慮問題。這種思想方法能幫助我們快速抓住問題的本質(zhì)，找到突破口。1.1“最不利原則”——求解“至少”型問題的利器當題目中出現(xiàn)“至少……才能保證……”這樣的表述時，我們往往需要運用“最不利原則”。它的核心思想是：為了保證某個目標的實現(xiàn)，我們要先考慮在最糟糕、最不利于目標實現(xiàn)的情況下，需要付出多少努力，然后在此基礎(chǔ)上再增加一點點，就能確保目標一定實現(xiàn)。比如，我們常遇到的摸球問題：一個不透明的袋子里裝有多種顏色的球，問至少要摸出幾個球，才能保證一定有兩個顏色相同的球？這時，我們就要考慮最不利的情況——先把每種顏色的球都摸出了1個，那么再摸出1個，無論是什么顏色，都能保證有兩個顏色相同的球了。舉例說明：一個袋子里有紅色、黃色、藍色的小球各若干個，現(xiàn)在要從袋子里摸球，每次只能摸一個。問：至少要摸出多少個球，才能保證其中一定有兩個球的顏色是相同的？分析與解答：這里有紅、黃、藍三種顏色。最不利的情況是什么呢？就是我們摸出的球，每種顏色都只摸到了1個。那么，摸出1個紅色、1個黃色、1個藍色，一共是3個球。接下來，我們再摸出第4個球，不管這個球是什么顏色（紅色、黃色或者藍色），它都會和前面3個球中的某一個顏色相同。所以，至少要摸出4個球，才能保證其中一定有兩個球的顏色是相同的。掌握了最不利原則，就能輕松應(yīng)對許多“至少”型的極值問題。關(guān)鍵在于準確判斷“最不利”的情形究竟是什么，把所有可能阻礙目標實現(xiàn)的情況都考慮到。1.2“極端取值”——探索變量變化的邊界有些問題中，涉及到多個變量，我們需要通過分析變量的變化范圍，取其極端值（最大值或最小值）來找到問題的最優(yōu)解。這種方法常常需要結(jié)合生活常識或簡單的數(shù)學推理。比如，用一根固定長度的繩子圍成一個長方形，怎樣圍才能使長方形的面積最大？我們知道長方形的周長等于（長+寬）×2，當周長固定時，長和寬的和也就固定了。這時，我們可以嘗試取不同的長和寬進行計算，會發(fā)現(xiàn)當長和寬相等（即圍成正方形）時，面積是最大的。這就是通過極端取值和嘗試發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。二、“和定積最大”與“積定和最小”——經(jīng)典的最值模型在小學奧數(shù)中，有兩個非常重要的結(jié)論，它們在解決與周長、面積相關(guān)的極值問題時非常有用，那就是“和定積最大”與“積定和最小”。2.1和定積最大當幾個數(shù)的和是一個固定不變的常數(shù)（即“和定”）時，這幾個數(shù)越接近（如果要求是整數(shù)，則越接近越好；如果可以是小數(shù)，則相等時），它們的乘積就越大。最常見的例子就是前面提到的，周長一定的長方形，長和寬相等時（正方形）面積最大。舉例說明：用一根長20厘米的鐵絲圍成一個長方形（長和寬都是整厘米數(shù)），怎樣圍才能使長方形的面積最大？最大面積是多少？分析與解答：長方形的周長是20厘米，那么長與寬的和就是20÷2=10厘米。我們需要找出長和寬都是整數(shù)，且和為10厘米的情況下，哪一組的乘積（面積）最大。可能的組合有：1厘米和9厘米，面積是1×9=9平方厘米；2厘米和8厘米，面積是2×8=16平方厘米；3厘米和7厘米，面積是3×7=21平方厘米；4厘米和6厘米，面積是4×6=24平方厘米；5厘米和5厘米，面積是5×5=25平方厘米。可以看出，當長和寬都是5厘米（即正方形）時，面積最大，為25平方厘米。這正是“和定積最大”規(guī)律的體現(xiàn)，當兩個數(shù)的和一定時，它們相等時乘積最大。2.2積定和最小與“和定積最大”相對應(yīng)的是“積定和最小”。當幾個數(shù)的乘積是一個固定不變的常數(shù)（即“積定”）時，這幾個數(shù)越接近（如果要求是整數(shù)，則越接近越好；如果可以是小數(shù)，則相等時），它們的和就越小。例如，面積相等的長方形中，正方形的周長最小。舉例說明：一個長方形的面積是16平方厘米，且長和寬都是整厘米數(shù)。這個長方形的周長最小是多少厘米？分析與解答：長方形的面積是16平方厘米，我們需要找出長和寬都是整數(shù)，且乘積為16平方厘米的情況下，哪一組的和（長+寬）最小，從而周長（2×(長+寬)）也最小?？赡艿慕M合有：1厘米和16厘米，長+寬=17厘米，周長=34厘米；2厘米和8厘米，長+寬=10厘米，周長=20厘米；4厘米和4厘米，長+寬=8厘米，周長=16厘米。可以看出，當長和寬都是4厘米（即正方形）時，長與寬的和最小，周長也最小，為16厘米。這體現(xiàn)了“積定和最小”的規(guī)律，當兩個數(shù)的乘積一定時，它們相等時和最小。這兩個經(jīng)典模型在解決很多極值問題時都能派上用場，關(guān)鍵在于識別出題目中的“和定”或“積定”條件。三、枚舉與比較——樸實有效的解題策略對于一些條件相對簡單，可能的情況數(shù)量不多的極值問題，枚舉法是一種非常直接且有效的方法。通過將所有可能的情況一一列舉出來，然后進行比較，就能很容易地找到最大值或最小值。舉例說明：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是8，這個兩位數(shù)最大是多少？最小是多少？分析與解答：這個問題中，兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字之和固定為8。我們可以將所有滿足條件的兩位數(shù)都列舉出來，然后比較大小。十位數(shù)字可以從1到8（因為十位數(shù)字不能為0，且和為8，十位數(shù)字最大為8）：當十位數(shù)字是1時，個位數(shù)字是7，這個數(shù)是17；當十位數(shù)字是2時，個位數(shù)字是6，這個數(shù)是26；當十位數(shù)字是3時，個位數(shù)字是5，這個數(shù)是35；當十位數(shù)字是4時，個位數(shù)字是4，這個數(shù)是44；當十位數(shù)字是5時，個位數(shù)字是3，這個數(shù)是53；當十位數(shù)字是6時，個位數(shù)字是2，這個數(shù)是62；當十位數(shù)字是7時，個位數(shù)字是1，這個數(shù)是71；當十位數(shù)字是8時，個位數(shù)字是0，這個數(shù)是80。將這些數(shù)進行比較：17<26<35<44<53<62<71<80。所以，這個兩位數(shù)最大是80，最小是17。枚舉法雖然看似樸實，但在很多時候卻非常管用。不過，使用枚舉法時要注意按照一定的順序進行，避免重復或遺漏。同時，如果可能的情況太多，枚舉法就會顯得繁瑣，這時就需要結(jié)合其他更巧妙的方法了。四、結(jié)合實際情境——極值問題的生活化應(yīng)用很多極值問題都來源于生活，解決這類問題不僅能鍛煉數(shù)學思維，還能提高運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。舉例說明：某商店準備用不多于300元的資金購買單價分別為20元、30元的兩種商品A和B，且A商品至少買2件，B商品至少買1件。問：有多少種不同的購買方案？哪種方案購買的商品總數(shù)最多？分析與解答：設(shè)購買A商品x件，購買B商品y件。根據(jù)題意，我們可以列出以下不等式組：20x+30y≤300（總資金不多于300元）x≥2（A商品至少買2件）y≥1（B商品至少買1件）x、y均為正整數(shù)。我們可以先對第一個不等式進行化簡：2x+3y≤30。然后，我們可以固定y的值（從1開始），求出x的可能取值范圍。當y=1時，2x+3×1≤30→2x≤27→x≤13.5，因為x為整數(shù)且x≥2，所以x可以取2,3,...,13，共12種方案。此時商品總數(shù)為x+1，當x最大時總數(shù)最多，即x=13時，總數(shù)14。當y=2時，2x+3×2≤30→2x≤24→x≤12，x≥2，所以x可以取2,3,...,12，共11種方案。商品總數(shù)為x+2，x=12時總數(shù)14。當y=3時，2x+9≤30→2x≤21→x≤10.5，x≥2，x可取2,...,10，共9種方案?？倲?shù)x+3，x=10時總數(shù)13。當y=4時，2x+12≤30→2x≤18→x≤9，x≥2，x可取2,...,9，共8種方案?？倲?shù)x+4，x=9時總數(shù)13。當y=5時，2x+15≤30→2x≤15→x≤7.5，x≥2，x可取2,...,7，共6種方案?？倲?shù)x+5，x=7時總數(shù)12。當y=6時，2x+18≤30→2x≤12→x≤6，x≥2，x可取2,...,6，共5種方案?？倲?shù)x+6，x=6時總數(shù)12。當y=7時，2x+21≤30→2x≤9→x≤4.5，x≥2，x可取2,3,4，共3種方案。總數(shù)x+7，x=4時總數(shù)11。當y=8時，2x+24≤30→2x≤6→x≤3，x≥2，x可取2,3，共2種方案。總數(shù)x+8，x=3時總數(shù)11。當y=9時，2x+27≤30→2x≤3→x≤1.5，與x≥2矛盾，故無方案。綜上，總方案數(shù)需要將各y值對應(yīng)的方案數(shù)相加（這里略去具體求和，重點在極值）。而購買商品總數(shù)最多的方案是當y=1,x=13或y=2,x=12時，總數(shù)均為14件。通過這個例子可以看出，解決實際情境中的極值問題，需要先將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學表達式（如不等式、方程），然后根據(jù)條件進行分析和求解，最后還要回到實際情境中去檢驗答案的合理性。五、專項訓練建議要熟練掌握極值問題的解題技巧，僅僅理解方法是不夠的，還需要進行大量的專項訓練。在訓練過程中，建議注意以下幾點：1.夯實基礎(chǔ)，理解概念：極值問題往往涉及到數(shù)的大小比較、四則運算等基礎(chǔ)知識，要確保這些基礎(chǔ)扎實。2.多思多想，總結(jié)規(guī)律：每做完一道題，不要僅僅滿足于得到答案，還要思考是否有其他解法，哪種方法更優(yōu)，從中總結(jié)出解題的規(guī)律和技巧。3.靈活運用，舉一反三：極值問題的形式多樣，要學會將學到的方法靈活運用到不同的題目中，做到舉一反三。4.從生活中來，到生活中去：留意生活中的極值問題，嘗試用所學知識去解決，感受數(shù)