2.因數(shù)和倍數(shù)（講義）2025-2026學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊人教版單元思維導(dǎo)圖經(jīng)典案例【案例1】(1)在自然數(shù)的范圍內(nèi)，最小的質(zhì)數(shù)是()，最小的合數(shù)是()，最小的奇數(shù)是()，最小的偶數(shù)是()，最小的自然數(shù)是()。(2)()的最大因數(shù)是29，最小的倍數(shù)是()。解析：(1)自然數(shù)范圍（通常指正整數(shù)1,2,3,…）最小質(zhì)數(shù)：2最小合數(shù)：4最小奇數(shù)：1最小偶數(shù)：2最小自然數(shù)：1（按通常教材定義，自然數(shù)從1開始）(2)一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身，所以這個數(shù)是29。最小倍數(shù)也是它本身（自然數(shù)范圍內(nèi)），所以是29。答案：(1)2,4,1,2,1(2)29,29【案例2】(1)3和5的倍數(shù)的最大兩位數(shù)是()，是2的倍數(shù)又含有因數(shù)5最小三位數(shù)()。(2)一個三位數(shù)，既是12和5的倍數(shù)，又有因數(shù)9，這個三位數(shù)最大是()解析：(1)3和5的倍數(shù)→即15的倍數(shù)。最大兩位數(shù)：15×6=90（15×7=105是三位數(shù)，不行）→90。是2的倍數(shù)又含因數(shù)5→即10的倍數(shù)。最小三位數(shù)：100。(2)既是12和5的倍數(shù)→即60的倍數(shù)（因為12和5互質(zhì)，所以是60的倍數(shù)）。又有因數(shù)9→即60和9的公倍數(shù)，先求最小公倍數(shù)：60=22×3×5，9=32，LCM=22×32×5=180。三位數(shù)中180的倍數(shù)最大：180×5=900（180×6=1080不是三位數(shù)）→900。答案：(1)90,100(2)900【案例3】一筐蘋果不超過250個，三個三個的數(shù)，五個五個的數(shù)，七個七個的數(shù)恰好都數(shù)完，這筐蘋果最多有()個。解析：蘋果數(shù)能被3、5、7整除→是3,5,7的公倍數(shù)。3,5,7互質(zhì)，LCM=3×5×7=105。不超過250的最大倍數(shù)：105×2=210（105×3=315超了）。答案：210【案例4】(1)數(shù)a與數(shù)b是互質(zhì)的，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的()倍。(2)自然數(shù)1是()A.質(zhì)數(shù) B、合數(shù) C、奇數(shù) D、互質(zhì)數(shù)(3)7和11都是()A.互質(zhì)數(shù) B、質(zhì)數(shù) C、質(zhì)因數(shù) D、因數(shù)解析：(1)a與b互質(zhì)→最大公因數(shù)=1，最小公倍數(shù)=a×b。最小公倍數(shù)÷最大公因數(shù)=ab÷1=ab倍。(2)1不是質(zhì)數(shù)，不是合數(shù)，是奇數(shù)，互質(zhì)數(shù)是針對兩個數(shù)而言，不能說1是互質(zhì)數(shù)。選C（奇數(shù)）。(3)7和11都是質(zhì)數(shù)，它們也互質(zhì)，但題目問“都是”，選B（質(zhì)數(shù)）。答案：(1)ab(2)C(3)B【案例5】(1)兩個數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是180，且知其中一個為60，另一個為()。(2)三個連續(xù)的自然數(shù)的和是21，這三個數(shù)的最小公倍數(shù)是()。9、4，12，16的最大公因數(shù)是()。(3)a和b都是自然數(shù)，且5a=b，那么a與b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)()。解析：(1)公式：兩數(shù)乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)。設(shè)另一個數(shù)為x，則12×180=60×x→x=(12×180)/60=36。(2)三個連續(xù)自然數(shù)和是21→中間數(shù)=7→三個數(shù)為6,7,8。最小公倍數(shù)：6,7,86=2×3,8=23,7=7LCM=23×3×7=168。9,4,12,16的最大公因數(shù)：9=32,4=22,12=22×3,16=2?公共部分只有2?=1（因為9沒有2的因子）→最大公因數(shù)=1。(3)5a=b→b是a的5倍。若a和b是自然數(shù)，且b=5a，則a和b的最大公因數(shù)是a，最小公倍數(shù)是b。答案：(1)36(2)168,1(3)b,a【案例6】甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會解析：甲：1分=60秒乙：1分15秒=75秒丙：1分30秒=90秒在起點相會時間=60,75,90的最小公倍數(shù)。60=22×3×5,75=3×52,90=2×32×560、75和90最小公倍數(shù)：22×32×52=4×9×25=900秒=15分鐘。答案：15分鐘【案例7】五(1)班買來46本書、32枝筆，獎給各方面表現(xiàn)突出的同學(xué)。每個同學(xué)得到的獎品同樣多，最后余下1本書和2枝筆。問最多有多少個同學(xué)得獎每個獲獎同學(xué)分別獲得書和筆各是多少枝？解析：46本書，最后余1本→發(fā)出去45本。32枝筆，余2枝→發(fā)出去30枝。每個同學(xué)得到的書和筆同樣多→人數(shù)能整除45和30。45和30最大公約數(shù)是15。每人得書：45÷15=3本，筆：30÷15=2枝。答案：15人，每人3本書2枝筆三、單元訓(xùn)練（一）填一填。1.在12,0.6,20,6這些數(shù)中,()是()的因數(shù),()是()的倍數(shù)。2.既是8的倍數(shù)，又是64的因數(shù)的數(shù)有()。3.從2,6,14,25,28中找一個與眾不同的數(shù),可以是(),理由是()。4.“學(xué)習(xí)強國”是黨中央推出的全國學(xué)習(xí)平臺，王華“學(xué)習(xí)強國”的積分達到了1□7□分。這個四位數(shù)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，王華的積分最多有()分。5.一個運算程序的運算規(guī)則如右圖所示。如果輸入23，那么結(jié)果是()；如果輸入一個數(shù)，結(jié)果是66，那么這個數(shù)是()。6.花園小學(xué)舉辦體育節(jié)活動，每個班級都要進行長方形隊列表演，要求隊形更多變。你建議五(1)班在36人和40人中選擇()人參演，原因是。（二）選一選。1.若甲=a×b×c,則下面說法錯誤的是()。(a、b、c均是大于1的自然數(shù))A.a、b、c都是甲的因數(shù)B.a×b是甲的因數(shù)C.甲一定是合數(shù)D.甲一定是偶數(shù)2.下面說法正確的有()個。①一個自然數(shù)，不是奇數(shù)就是偶數(shù)。 ②9的倍數(shù)一定是3的倍數(shù)。③一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。 ④兩個質(zhì)數(shù)的和一定是偶數(shù)。A.1 B.2 C.3 D.43.下面a、b、c、d四個數(shù)中,()是3的倍數(shù)。A.a=3×100+4×10+1 B.b=2×1000+2×100+3×10+6C.c=5×99+6×9+(5+6) D.d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7)4.運動會上每個班的學(xué)生都要參加入場式和團體操表演。五(1)班入場隊列如右圖，表演團體操時出現(xiàn)了下面幾個隊列，()可能是五(1)班的。（三）按要求完成練習(xí)。1.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的框里。0 1 0.9 13 2633 515271912.五(1)班學(xué)習(xí)小組開展沉浸版“因數(shù)和倍數(shù)”探案游戲。(1)在案發(fā)現(xiàn)場，“警察”發(fā)現(xiàn)以下兩件物品，成功破譯出密碼()，找到線索。()2)問訊“嫌疑人”時，小錦、小明兩個“嫌疑人”為了證明自己沒有作案的時間，都告知“警察”自己當(dāng)時正在靶場打靶。小錦說：“我當(dāng)時打中4槍，得了27分。”小明說：“我當(dāng)時打中3槍，剛好是連續(xù)的3個區(qū)域，得了21分?！薄熬臁币宦牐ⅠR逮捕了小錦。你知道為什么嗎？你知道小明打中的是哪三個區(qū)域嗎？3.自然與數(shù)學(xué)的完美結(jié)合——斐波那契數(shù)列，又稱“黃金分割數(shù)列”，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契自然與數(shù)學(xué)的完美結(jié)合——斐波那契數(shù)列，又稱“黃金分割數(shù)列”，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖為例子引入，故又稱“兔子數(shù)列”，指的是下面這樣一個數(shù)列。1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,(),(),…先觀察上面這組數(shù)，在括號里填上合適的數(shù)，再完成下面各題。(1)這組數(shù)的規(guī)律是從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都。(2)觀察這組數(shù)的奇偶變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)：。(3)這組數(shù)的前100個數(shù)中，有()個奇數(shù)，( )個偶數(shù)。（四）解決問題。1.(易錯題)為方便顧客上下車，機場計劃用48m長的移動護欄圍出一個長方形的網(wǎng)約車臨時停車區(qū)。已知停車區(qū)的長和寬都是整米數(shù)，而且數(shù)值都是質(zhì)數(shù)。停車區(qū)的長和寬可能是多少？面積最大是多少？2.開心果在唐代由波斯(伊朗)傳入我國，距今已有1300年歷史。媽媽去超市買了1500g開心果，讓小明猜猜每斤(500g)開心果的價錢。小明猜不出來，請你幫幫他。3.明明用40根同樣的小棒搭圖形。搭一個三角形需要三根小棒，搭一個四邊形需要四根小棒……他搭了一些四邊形和一些六邊形后，說自己還剩下13根小棒。他說得對嗎？為什么？單元訓(xùn)練參考答案（一）1.612 12 6解析在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，那么被除數(shù)就是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商就是被除數(shù)的因數(shù)。注意：前提是在“整數(shù)除法”中。2.8,16,32,643.示例：2只有2是質(zhì)數(shù)解析本題是個開放題，有多種答案，例如：選擇2，因為只有2是質(zhì)數(shù)。選擇6，因為只有6是3的倍數(shù)。選擇25，因為只有25是奇數(shù)()或5的倍數(shù))。4.1875解析第一步根據(jù)5的倍數(shù)特征可知，個位上可填0或5。第二步根據(jù)3的倍數(shù)特征,在1□70和1□75的百位上依次填9，8，7，…，0，找到使各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)的最大數(shù)字，分別為7和8。第三步比較可得18751770。5.53132解析23是一個質(zhì)數(shù)，故結(jié)果為23當(dāng)A2當(dāng)2A+2=66時,A=32,是合數(shù),符合。6.3636的因數(shù)比40的因數(shù)多，能變換更多隊形(表述合理即可)解析注意：題干中要求隊形更多變。36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,能變換5種隊形。40=1×40=2×20=4×10=5×8,只能變換4種隊形。（二）1.D解析A、B、C選項都是正確的，分析過程如下。D選項錯誤，當(dāng)a、b、c都是奇數(shù)時，奇數(shù)×奇—數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)。2.C解析①正確，根據(jù)能不能被2整除，可將自然數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)。②正確，9的因數(shù)中有3，所以9的倍數(shù)一定是3的倍數(shù)。③正確，當(dāng)一個數(shù)除以1時，得到的商就是它的最大因數(shù)，即它本身；當(dāng)一個數(shù)乘1時，得到的積就是它的最小倍數(shù)，即它本身。④錯誤，除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，當(dāng)2與其他任何一個質(zhì)數(shù)相加時，結(jié)果都是奇數(shù)。3.D解析本題考查3的倍數(shù)特征。根據(jù)數(shù)的組成,a、b分別為341和2236。3+4+1=8,2+2+3+6=13,8和13都不是3的倍數(shù)，所以a，b都不是3的倍數(shù)。如圖,c不是3的倍數(shù),d是3的倍數(shù)。4.D解析題圖中，有1名學(xué)生單獨站一列，其余學(xué)生2人站一列，說明五(1)班的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)。選項中的學(xué)生人數(shù)分別為30，36，30，23，其中只有D選項的23是奇數(shù)。（三）1.解析本題需要注意的是，奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)研究的都是自然數(shù)，不包括小數(shù)。2.(1)2951解析本題考查學(xué)生對特殊數(shù)的了解。既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是2。既是奇數(shù)又是合數(shù)的一位數(shù)是9。最小的合數(shù)是4，比最小的合數(shù)大1的數(shù)是5。既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的非零自然數(shù)是1。(2)答：因為小錦打中4槍，4個奇數(shù)的和是偶數(shù)，而27是奇數(shù)，所以能確認小錦在撒謊。小明打中的是5分、7分和9分所在的區(qū)域。解析從題圖可知，靶上的分數(shù)都是奇數(shù)。小錦打中4槍，4個奇數(shù)的和是偶數(shù)，所以不可能得27分。3個連續(xù)奇數(shù)的和是中間數(shù)的3倍，21÷3=7(分)，所以小明打中的是5分、7分和9分所在的區(qū)域。3.89144(1)等于它前面兩個數(shù)的和(2)奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，這樣三個一組，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)(3)6733解析(1)這組數(shù)的規(guī)律是從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，所以括號里的數(shù)是34+55=89,55+89=144。(2)觀察發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……這樣依次不斷重復(fù)出現(xiàn)。(3)100÷3=33(組)……1(個)，前100個數(shù)能分為33組，每組有2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，最后余下的1個是奇數(shù)，所以奇數(shù)一共有33×2+1=67(個)，偶數(shù)一共有33×1=33(個)。（四）1.48÷2=24(m)24=5+19=7+17=11+1319×5=95(m2)17×7=119()m2)13×11=143(m2)14311995答：停車區(qū)的長和寬可能是19m和5m，17m和7m或13m和11m。面積最大是143m2。解析本題將找一個數(shù)的因數(shù)與長方形的周長結(jié)合。第一步48m是長方形網(wǎng)約車臨時停車區(qū)的周長，所以長+寬=48÷2=24(m)。第二步24=5+19=7+17=11+13，據(jù)此得出圍成的停車區(qū)的長和寬的所有情況。第三步分別進行計算后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)停車區(qū)的長和寬分別為13m和11m時，停車區(qū)的面積最大。2.1500÷500=3，所以總價是3的倍數(shù)。1+4=5，總價個位上的數(shù)可能是1，4，7。又因為個位上的數(shù)是2的倍數(shù)，所以個