（滿分：150分；考試時間：120分鐘）注意事項：1.答卷前，請考生先在答題卡上準確工整地填寫本人姓名、準考證號；2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5mm黑色簽字筆答題；3.請在答題卡中題號對應的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效；4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀；考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由根據(jù)誘導公式可得答案.【詳解】故選：A2.“關(guān)于的不等式的解集為”，是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式解集為的條件，求出命題p中a的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義，判斷p與q之間的關(guān)系即可.【詳解】因為的解集為，則，解得，即命題對應的范圍是，若成立（），則一定滿足（），故是的充分條件；若成立（），例如取，此時的判別式，解集不是，故不能推出，即不是的必要條件，綜上，是的充分不必要條件.故選：A.3.已知一扇形的半徑為2，圓心角為，則該扇形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用扇形的弧長和面積公式，即可求解.【詳解】因為扇形的半徑為2，圓心角為，可得扇形的弧長為，所以扇形的面積為.故選：C.4.函數(shù)（其中e=2.71828…）的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合零點來分析.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，因此是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，故選項A、B不符合題意；令，則,

因為，所以或，解得或.因此，函數(shù)有三個零點，C選項正確.故選：C.5.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算出各個區(qū)間端點的符號，再利用零點存在性定理即可求解．【詳解】因為當接近于1時，趨向于，，，，，所以零點所在的大致區(qū)間為，故選：B．6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因為在R上單調(diào)遞增，所以，，又在R上單調(diào)遞減，所以，而在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以.故選：A.7.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域包含所有正數(shù)，分和討論求解.【詳解】由函數(shù)的值域為R，得的值域包含所有正數(shù)，當時，得符合題意；當時，則，解得；綜上，.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，其中，，若恒成立，則的最小值為（）A. B.5 C. D.9【答案】A【解析】【分析】若恒成立，則與有相同的單調(diào)性及相同的零點，即，，.利用基本不等式常數(shù)代換即可求解.【詳解】因為，若恒成立，則與有相同的單調(diào)性及相同的零點，即，，.則，因，，所以，所以，當且僅當時，即時取等號.所以.則的最小值為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.A的真子集個數(shù)為7C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知條件作出Venn圖，結(jié)合元素與集合的關(guān)系以及集合之間的關(guān)系，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】，由，，，作出圖，如圖所示，

由圖可知，，，故A錯誤，正確；集合的真子集個數(shù)為個，故B正確；因為，所以，錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.，都有B.的值域為C.，且，都有D.方程有3個不等實數(shù)根【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合函數(shù)的解析式，以及函數(shù)與方程的零點問題，逐項計算，即可求解.【詳解】對于A，因，，故A正確；對于B，當時，，所以，由A知為奇函數(shù)，故的值域為，故B錯誤；對于C，對，且，不妨設(shè)，則，，，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，當時，，則為，解得，當時，方程成立，又為奇函數(shù)，根據(jù)對稱性知也滿足方程，綜上，方程有3個不等的實數(shù)根，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個不等的實數(shù)根，分別記為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.函數(shù)有8個零點【答案】ABD【解析】【分析】先作出函數(shù)的圖象，對于A，觀察函數(shù)的圖象與何時有個交點即可；對于B，通過求解即可；對于C，由韋達定理可知，由圖象可得，進而得，最后結(jié)合的范圍求解即可；對于D，令，求出的根，代入，繼續(xù)根據(jù)圖象求根的個數(shù)即可.【詳解】在平面直角坐標系中，作出函數(shù)的圖象.關(guān)于x的方程有4個不等的實數(shù)根，等價于函數(shù)的圖象與有個交點.對于A：由圖可知，當時，函數(shù)的圖象與有個交點，故A正確；對于B：由圖可知，，即，得，解得，故B正確；對于C：由圖可知，是的兩個解，因此，由韋達定理可得.，得，因此有，得.因此，故C錯誤；對于D：設(shè)，則，即，當時，，解得或；當時，，得或，解得或.當時，由圖可知，無解；當時，由圖可知，有2個解；當時，由圖可知，有3個解；當時，由圖可知，有3個解.綜上所述，函數(shù)有個零點，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第14題第一空2分，第二空3分.12.已知角的終邊過點，則_____.【答案】##【解析】【分析】利用誘導公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)定義求解.【詳解】由題，，所以，.故答案：.13.已知，，則用a、b表示對數(shù)_______.【答案】【解析】【分析】由對數(shù)的換底公式及對數(shù)運算法則求解即可．【詳解】，故答案為：.14.若定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù).當時，，其中，則________；方程在區(qū)間上的所有實數(shù)解之和為4，請寫出一個符合條件的正整數(shù)a的值________.【答案】①.②.（寫出其中任何一個即可）【解析】【分析】根據(jù)題意可得的周期為4，進而得，運算得；方程可變形為，令，可得的圖象都關(guān)于點對稱，問題等價于函數(shù)與的圖象在區(qū)間有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由，可知的圖象關(guān)于點對稱，又是偶函數(shù)，所以，所以，則，可得，所以的周期為4，則，令代入，得，又，.因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又的圖象關(guān)于點對稱，關(guān)于直線對稱，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于不是方程的解，所以方程可變形為，令，可以看成由反比例函數(shù)向右平移1個單位，向上平移個單位得到，所以的圖象也關(guān)于點對稱，原方程在區(qū)間上的所有實數(shù)解之和為4，等價于函數(shù)與的圖象在區(qū)間有兩個交點，注意到，，，作出圖象如下，可得，即.所以符合要求的正整數(shù)的取值為.故答案為：，（寫出其中一個即可）.四、解答題：本題共5題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知角為第二象限角.（1）若，化簡并求值：.（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由角為第二象限角，，求出，，再根據(jù)誘導公式化簡即可；（2）先利用，求出，再求出，帶入即可求解.【小問1詳解】因為角為第二象限角，，所以，所以所以.【小問2詳解】因為，所以所以所以因為角為第二象限角，所以，所以；所以所以.16.已知函數(shù)．（1）若的解集為，求的解析式及實數(shù)c；（2）若，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為有唯一零點，且開口向上，進行求解；（2）當時，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，利用分類討論的思想進行求解．【小問1詳解】由的解集為，知有唯一零點，且開口向上，令，展開得：，，解得：，；【小問2詳解】，，，，由，不等式等價于，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，綜上：當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為．17.靜脈注射是一種常見的醫(yī)療方法，即把藥液、營養(yǎng)液等液體物質(zhì)直接注射到人體靜脈中.而藥物在人體內(nèi)的含量會隨著時間的增加而變化，通過一些技術(shù)手段我們可以測得藥物在患者體內(nèi)的含量，再根據(jù)不同藥物在體內(nèi)起效的最低含量，決定何時需要再次用藥.現(xiàn)給某患者在1小時內(nèi)靜脈注射了某種藥物75mg，在注射過程中，患者體內(nèi)的藥物含量逐漸增加；停止注射后，患者體內(nèi)的藥物含量隨時間而衰減（如圖）.為了描述該種藥物在此患者體內(nèi)藥物含量（mg）與時間t（小時）的關(guān)系，現(xiàn)有以下五種函數(shù)模型供選擇：①；②；③；④；⑤；（1）根據(jù)題圖，選出你認為最符合實際的兩個函數(shù)模型，用于描述患者體內(nèi)的藥物含量在不同時間的變化情況，給出理由；并求出相應的函數(shù)解析式；（2）如果這種藥物在患者體內(nèi)的含量需保持在10mg及以上時才有療效.為保證有療效，那么第一次注射結(jié)束后，最遲應在什么時候再向該患者補充注射這種藥物?參考數(shù)據(jù)：，，，，，.【答案】（1）選擇模型①和③，理由見詳解；.（2）應該在第一次注射后小時再次注射.【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線過點和代入各個模型運算驗證排除；再利用待定系數(shù)法分別求解和的解析式；（2）當時，令，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和對數(shù)的運算得解.【小問1詳解】由圖可知患者體內(nèi)的藥物含量不過點，故排除模型②；圖中曲線過點，對于模型④，故排除模型④；對模型⑤，圖中曲線過點，代入得，解得，但此時，不合題意，排除模型⑤；所以可選擇模型①和模型③來描述患者體內(nèi)的藥物含量在不同時間的變化情況.因為圖中曲線過點，代入，可求得，此時滿足圖中曲線時的變化；代入，即，得，所以，又符合圖象過點，此時滿足圖中曲線時的變化；所以.【小問2詳解】由（1），當時，，得，又，所以，得，又第一次注射用時1小時，故為保證有療效，那么第一次注射結(jié)束后小時需再次注射.18.已知函數(shù)的定義域為，對都有，且時，，其中.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性的定義證明；（3）若對任意，總存在，使得不等式成立，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）2（2）在R上單調(diào)遞減，證明見詳解；（3）【解析】【分析】（1）賦值法令，代入運算得解；（2）結(jié)合條件按照單調(diào)性定義證明步驟證明即可；（3）由題問題轉(zhuǎn)化為，即結(jié)合在R上為減函數(shù)，原問題等價于對任意的，總存在，使得成立，令，，等價于，分別求出得解.【小問1詳解】令，得，又，得.小問2詳解】函數(shù)在R上為減函數(shù)，理由如下：對，不妨設(shè)，即，所以，令，，得，即，所以，所以函數(shù)在R上為減函數(shù).【小問3詳解】不等式等價于，所以，由（2）知在R上為減函數(shù)，故原問題等價于對任意的，總存在，使得成立，令，，原命題等價于對任意，都有成立，這進一步等價于，對于，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以；對于，令，記，對稱軸為，當即時，，所以；當即時，成立，所以；綜上，實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象關(guān)于對稱，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)m，n是方程的兩個實數(shù)根（其中，，且，），求的值.（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)只有一個零點，如果存在，求出t的取值范圍，如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）56；（3）或.【解析】【分析】（1）由反函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題意可得答案；（2）由（1）可得等價于，然后由韋達定理結(jié)合題意可得答案；（3）問題等價于方程只有1個根，令，則方程化為，然后通過分析方程二次項系數(shù)與判別式可得答案.